正態(tài)分布一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 已知隨機(jī)變量XN(6,1)，且P(5<X<7)=a，P(4<X<8)=b，則P(4<X<7)=( )A. b-a2 B. b+a2 C. 1-b2 D. 1-a2（正確答案）B解：隨機(jī)變量XN(6,1)，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=6，P(1X5)=0.6826，P(5<X<7)=a，P(4<X<8)=b，P(7<X<8)=b-a2，P(4<X<7)=b-b-a2=b+a2故選：B根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性，即可求得P(4<X<7)本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性解決問(wèn)題2. 某班有50名學(xué)生，一次考試的成績(jī)(N)服從正態(tài)分布N(100,102).已知P(90100)=0.3，估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為( )A. 10 B. 20 C. 30 D. 40（正確答案）A解：考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(100,102). 考試的成績(jī)關(guān)于=100對(duì)稱，P(90100)=0.3，P(100110)=0.3，P(110)=0.2，該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為0.250=10 故選A根據(jù)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(100,102).得到考試的成績(jī)關(guān)于=100對(duì)稱，根據(jù)P(90100)=0.3，得到P(100110)=0.3，從而得到P(110)=0.2，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)關(guān)于=100對(duì)稱，利用對(duì)稱寫(xiě)出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解3. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,2)，且P(x6)=0.9，則P(0<x<3)=( )A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7（正確答案）A【分析】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，注意根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性解決問(wèn)題.根據(jù)對(duì)稱性，由P(x6)=0.9的概率可求出P(x<0)=P(x>6)=0.1，即可求出P(0<x<3)【解答】解：P(x6)=0.9，P(x>6)=1-0.9=0.1P(x<0)=P(x>6)=0.1，P(0<x<3)=0.5-P(x<0)=0.4故選A4. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,7)，若P(<2)=P(>4)，則與D的值分別為( )A. =3,D=7 B. =3,D=7 C. =3，D=7 D. =3,D=7（正確答案）C解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,7)，P(<2)=P(>4)，=4+22=3，D=7故選：C根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,7)，P(<2)=P(>4)，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性得結(jié)論本題考查正態(tài)分布，正態(tài)曲線有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱；(2)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題5. 已知隨機(jī)變量ZN(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( ) 附：若ZN(,2)，則P(-<Z+)=0.6826；P(-2<Z+2)=0.9544；P(-3<Z+3)=0.9974A. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539（正確答案）B解：由題意P陰影=P(0<X1)=1-120.6826=1-0.3413=0.6587，則落入陰影部分點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為100000.6587=6587故選：B求出P陰影=P(0<X1)=1-120.6826=1-0.3413=0.6587，即可得出結(jié)論本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題6. 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布密度曲線為函數(shù)f(x)=12e-(x-2)22的圖象，若02f(x)dx=13，則P(X>4)=( )A. 16 B. 14 C. 13 D. 12（正確答案）A解：正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為f(x)=12e-(x-2)22(xR)，總體X的期望為2，標(biāo)準(zhǔn)差為1，故f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，02f(x)dx=13，P(X>4)=12-13=16，故選：A根據(jù)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)的意義即可得出X的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，再由概率分布的對(duì)稱特點(diǎn)，即可得到答案本題考查正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查概率分布的對(duì)稱性及運(yùn)算能力，正確理解正態(tài)總體的概率密度函數(shù)中參數(shù)、的意義是關(guān)鍵7. 已知隨機(jī)變量XN(1,2)，若P(0<x<3)=0.5，P(0<X<1)=0.2，則P(X<3)=( )A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8（正確答案）D解：由題意，P(1<x<3)=0.5-0.2=0.3，隨機(jī)變量XN(1,2)，P(X<3)=0.3+0.5=0.8，故選：D根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱性，即可求得P(X<3)本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義、函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題8. 設(shè)XN(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是( )(注：若XN(,2)，則P(-<X<+)=68.26%，P(-2<X<+2)=95.44%)A. .7539 B. 6038 C. 7028 D. 6587（正確答案）D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義，可以求出陰影部分的面積，利用幾何概型即可計(jì)算.本題考查了正態(tài)分布、幾何概型，屬于中檔題【解答】解：XN(1,1)，=1，=1.+=2P(-<X<+)=68.26%，則P(0<X<2)=68.26%，則P(1<X<2)=34.13%，陰影部分的面積為：0.6587正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是6587故選D9. 已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)抽取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為( )(附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2)，則P(-<<+)=68.26%，P(-2<<+2)=95.44%)A. 4.56% B. 13.59% C. 27.18% D. 31.74%（正確答案）B解：由題意P(-3<<3)=68.26%，P(-6<<6)=95.44%，所以P(3<<6)=12(95.44%-68.26%)=13.59%故選：B由題意P(-3<<3)=68.26%，P(-6<<6)=95.44%，可得P(3<<6)=12(95.44%-68.26%)，即可得出結(jié)論本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題10. 隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布(3,2)，且P(X4)=0.84，則P(2<X<4)=( )A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84（正確答案）C解：P(X2)=P(X4)=1-0.84=0.16，P(2<X<4)=P(X4)-P(X2)=0.84-0.16=0.68故選：C根據(jù)對(duì)稱性先求出P(X2)，再得出P(2<X<4)本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題11. 某校高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布N(100,52)，且P(<110)=0.96，則P(90<<100)的值為( )A. 0.49 B. 0.48 C. 0.47 D. 0.46（正確答案）D解：近似地服從正態(tài)分布N(100,52)，P(<100)=0.5，P(100<<110)=P(<110)-P(<100)=0.96-0.5=0.46，P(90<<100)=P(100<<110)=0.46故選D根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性計(jì)算本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn)與概率計(jì)算，屬于中檔題12. 某地市高三理科學(xué)生有30000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績(jī)N(100,2)，已知P(80<100)=0.45，若按分層抽樣的方式取200份試卷進(jìn)行成績(jī)分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取( )A. 5份 B. 10份 C. 15份 D. 20份（正確答案）B解：P(>100)=0.5，P(100<<120)=P(80<<100)=0.45，P(>120)=P(>100)-P(100<<120)=0.05，應(yīng)從120分以上的試卷中抽取份數(shù)為2000.05=10故選：B利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出P(>120)，再根據(jù)分層抽樣原理按比例抽取即可本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn)，分層抽樣原理，屬于中檔題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 設(shè)隨機(jī)變量N(2,4)，若P(>a+2)=P(<2a-3)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi) （正確答案）53解：由題意可知隨機(jī)變量N(2,4)，滿足正態(tài)分布，對(duì)稱軸為=2，P(>a+2)=P(<2a-3)，則：a+2+2a-3=4，解得a=53故答案為53直接利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，列出方程求解即可本題考查正態(tài)分布的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力14. 已知隨機(jī)變量N(1,2)，若P(>3)=0.2，則P(-1)=_（正確答案）0.8解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(1,2)，曲線關(guān)于x=1對(duì)稱，P(>3)=0.2，P(-1)=P(>3)，P(-1)=1-P(>3)=1-0.2=0.8故答案為：0.8根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=1，且P(>3)=0.2，依據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性，即可求得答案本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查概率的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題15. 某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(110,102)，已知P(100110)=0.36，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有_ 人.（正確答案）7解：考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(110,102). 考試的成績(jī)關(guān)于=110對(duì)稱，P=(>120)=0.5-P(100110)=0.5-0.36=0.14，所以估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為500.14=7(人)故答案為：7根據(jù)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(110,102).得到考試的成績(jī)關(guān)于=110對(duì)稱，根據(jù)P(100110)=0.36，得到P(120)=0.14，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)關(guān)于=110對(duì)稱，利用對(duì)稱寫(xiě)出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解16. 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(1,2)，且P(<2)=0.8，則P(0<<1)的值為_(kāi) （正確答案）0.3解：P(1<<2)=P(<2)-P(<1)=0.8-0.5=0.3，P(0<<1)=P(1<<2)=0.3故答案為：0.3根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性先求出P(1<<2)，再求出P(0<<1)本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共3小題，共40分）17. 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查()試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；()下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得x.=116i=116xi=9.97，s=116i=116(xi-x.)2=116(i=116xi2-16x.2)0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1，2，16用樣本平均數(shù)x.作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0.01)附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(,2)，則P(-3<Z<+3)=0.9974，0.9974160.9592，0.0080.09（正確答案）解：(1)由題可知尺寸落在(-3,+3)之內(nèi)的概率為0.9974，則落在(-3,+3)之外的概率為1-0.9974=0.0026，因?yàn)镻(X=0)=C160(1-0.9974)00.9974160.9592，所以P(X1)=1-P(X=0)=0.0408，又因?yàn)閄B(16,0.0026)，所以E(X)=160.0026=0.0416；(2)()由(1)知尺寸落在(-3,+3)之外的概率為0.0026，由正態(tài)分布知尺寸落在(-3,+3)之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理；()因?yàn)橛脴颖酒骄鶖?shù)x.作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，且x.=116i=116xi=9.97，s=116i=116(xi-x.)2=116(i=116xi2-16x.2)0.212，所以-3=9.97-30.212=9.334，+3=9.97+30.212=10.606，所以9.22(-3,+3)=(9.334,10.606)，因此需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22，則剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)=9.9716-9.2215=10.02，將剔除掉9.22后剩下的15個(gè)數(shù)據(jù)，利用方差的計(jì)算公式代入計(jì)算可知20.008，所以0.09(1)通過(guò)P(X=0)可求出P(X1)=1-P(X=0)=0.0408，利用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得結(jié)論；(2)()由(1)及知落在(-3,+3)之外為小概率事件可知該監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法合理；()通過(guò)樣本平均數(shù)x.、樣本標(biāo)準(zhǔn)差s估計(jì)、可知(-3,+3)=(9.334,10.606)，進(jìn)而需剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22，利用公式計(jì)算即得結(jié)論本題考查正態(tài)分布，考查二項(xiàng)分布，考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題18. 在某學(xué)校的一次選拔性考試中，隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)(單位：分)，并把所得數(shù)據(jù)列成了如下表所示的頻數(shù)分布表：組別40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)5182826176(1)求抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)已知這次考試共有2000名考生參加，如果近似地認(rèn)為這次成績(jī)z服從正態(tài)分布N(,2)(其中近似為樣本平均數(shù)x，2近似為樣本方差s2)，且規(guī)定82.7分是復(fù)試線，那么在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有多少人？(附：16112.7，若zN(,2)，則P(-<z<+)=0.682，P(-2<z<+2)=0.9544.)(3)已知樣本中成績(jī)?cè)?0,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，現(xiàn)從中選3人進(jìn)行回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望E()（正確答案）解：(1)由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，得：樣本平均數(shù)x=450.05+550.18+650.28+750.26+850.17+950.06=70，樣本方差S2=(-25)20.05+(-15)20.18+(-5)20.28+520.26+1520.17+2520.06=161，(2)由(1)知zN(70,161)，P(z>82.7)=1-0.68262=0.1587，在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有：20000.1587317人(3)由已知得的可能取值為1，2，3，P(=1)=C41C22C63=15，P(=2)=C42C21C63=35，P(=3)=C43C20C63=15，的分布列為： 1 2 3 P 15 35 15E=115+235+315=2(人)(1)由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2.(2)由(1)知zN(70,161)，由此能求出P(z>82.7)=1-0.68262=0.1587，從而能求出在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試人數(shù)(3)由已知得的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列與期望E()本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用19. “過(guò)大年，吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗.2018年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(,2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率；將頻率視為概率，若某人從某超市購(gòu)買(mǎi)了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為=142.7511.95；若Z服從正態(tài)分布N(,2)，則P(-<Z+)=0.6826，P(-2<Z+2)=0.9544（正確答案）解：(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x.為x=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5(2)Z服從正態(tài)分布N(,2)，且=26.5，11.95，P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826，Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率是0.6826根據(jù)題意得XB(4,12)，P(X=0)=C40(12)4=116；P(X=1)=C41(12)4=14；P(X=2)=C42(12)4=38；P(X=3)=C43(12)4=14；P(X=4)=C44(12)4=116X的分布列為X01234P116143814116E(X)=412=2本題考查了統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，正態(tài)分布，屬于中檔題(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x為x=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5(2)P(14.55<Z<38.45)=P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826，根據(jù)題意得XB(4,12)，P(X=0)=C40(12)4=116；P(X=1)=C41(12)4=14； P(X=2)=C42(12)4=38；P(X=3)=C43(12)4=14；P(X=4)=C44(12)4=116即可求得X的分布列、期望值