課時(shí)規(guī)范練13萬有引力定律及其應(yīng)用基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1.(開普勒第三定律)已知地球和火星繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑分別為R1和R2(公轉(zhuǎn)軌跡近似為圓),如果把行星與太陽連線掃過的面積與其所用時(shí)間的比值定義為掃過的面積速率。則地球和火星繞太陽公轉(zhuǎn)過程中掃過的面積速率之比是()A.B.C.D.答案B解析公轉(zhuǎn)的軌跡近似為圓,地球和火星的運(yùn)動(dòng)可以看作勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)開普勒第三定律知=C,運(yùn)動(dòng)的周期之比,在一個(gè)周期內(nèi)掃過的面積之比為,面積速率為,可知面積速率之比為,故B正確,A、C、D錯(cuò)誤。2.(對(duì)萬有引力定律的理解)(2018河南六市一聯(lián))萬有引力定律和庫侖定律都滿足距離平方反比規(guī)律,因此引力場(chǎng)和電場(chǎng)之間有許多相似的性質(zhì),在處理有關(guān)問題時(shí)可以將它們進(jìn)行類比。例如電場(chǎng)中引入電場(chǎng)強(qiáng)度來反映電場(chǎng)的強(qiáng)弱,其定義為E=,在引力場(chǎng)中可以用一個(gè)類似的物理量來反映引力場(chǎng)的強(qiáng)弱。設(shè)地球質(zhì)量為M,半徑為R,地球表面處重力加速度為g,引力常量為G。如果一個(gè)質(zhì)量為m的物體位于距地心2R處的某點(diǎn),則下列表達(dá)式中能反映該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)弱的是()A.GB.GC.GD.答案C解析類比電場(chǎng)強(qiáng)度定義式E=,該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)弱a=,所以C正確。3.(求天體的質(zhì)量)(2019江西上饒中學(xué)月考)對(duì)于環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星來說,它們繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期會(huì)隨著軌道半徑的變化而變化,某同學(xué)根據(jù)測(cè)得的不同衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與周期T的關(guān)系作出如圖所示圖象,則可求得地球質(zhì)量為(已知引力常量為G)()A.B.C.D.答案C解析由萬有引力提供向心力有G=mr,得r3=T2。由題圖可知,所以地球的質(zhì)量M=,故C正確,ABD錯(cuò)誤。4.(求天體的密度)(2019河北邯鄲永年區(qū)二中月考)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0,在赤道的大小為g;地球自轉(zhuǎn)的周期為T,引力常量為G。地球的密度為()A.B.C.D.答案B解析在地球兩極重力等于萬有引力,根據(jù)萬有引力定律有G=mg0,在地球的赤道上重力等于萬有引力與向心力的差值,即G-m()2R=mg。地球的質(zhì)量為M=R3。聯(lián)立以上三式可得地球的密度=,選項(xiàng)B正確。5.(多選)(宇宙速度)下列關(guān)于三種宇宙速度的說法正確的是()A.第一宇宙速度v1=7.9 km/s,第二宇宙速度v2=11.2 km/s,則人造衛(wèi)星繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大于等于v1,小于v2B.美國發(fā)射的“鳳凰”號(hào)火星探測(cè)衛(wèi)星,其發(fā)射速度大于第三宇宙速度C.第二宇宙速度是使物體可以掙脫地球引力束縛,成為繞太陽運(yùn)行的小行星的最小發(fā)射速度D.第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度答案CD解析根據(jù)v=可知,衛(wèi)星的軌道半徑r越大,即距離地面越遠(yuǎn),衛(wèi)星的環(huán)繞速度越小,v1=7.9km/s是人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的最大運(yùn)行速度,選項(xiàng)D正確;其余繞地球在圓軌道上運(yùn)行時(shí)的衛(wèi)星的速度都小于第一宇宙速度,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;美國發(fā)射的“鳳凰”號(hào)火星探測(cè)衛(wèi)星,仍在太陽的引力范圍內(nèi),所以其發(fā)射速度小于第三宇宙速度,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;第二宇宙速度是物體掙脫地球束縛而成為一顆繞太陽運(yùn)行的小行星的最小發(fā)射速度(在地面上發(fā)射),選項(xiàng)C正確。6.(多選)(雙星問題)(2018全國卷)2017年,人類第一次直接探測(cè)到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程,在兩顆中子星合并前約100 s時(shí),它們相距約400 km,繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體,由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí),可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星()A.質(zhì)量之積B.質(zhì)量之和C.速率之和D.各自的自轉(zhuǎn)角速度答案BC解析設(shè)兩中子星質(zhì)量為m1、m2,環(huán)繞半徑為r1、r2,兩星間距為r。所以有G=m12r1,G=m22r2可解得m1=;m2=所以m1+m2=,故B項(xiàng)正確;設(shè)兩星速率分別為v1、v2。所以有v1+v2=(r1+r2)=r由題意可得、r,故C項(xiàng)正確。7.(重力與萬有引力的關(guān)系)(2019河南滑縣二聯(lián))已知地球兩極的重力加速度為g,地球同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍?？紤]地球自轉(zhuǎn)的影響,把地球視為質(zhì)量均勻分布的球體,則赤道上的重力加速度為()A.gB.(1-)gC.(1-)gD.(1-)g答案D解析設(shè)地球質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)周期為T。有一質(zhì)量為m的衛(wèi)星,該衛(wèi)星在地球兩極,有:G=mg;該衛(wèi)星在地球赤道上,有:G-mR=mg1;該衛(wèi)星在同步軌道上,有:G=mnR,聯(lián)立上面三個(gè)式子,得g1=(1-)g,選項(xiàng)D正確。8.(多選)(衛(wèi)星參量的比較)(2018江蘇揚(yáng)州一模)2017年9月25日后,微信啟動(dòng)頁面采用“風(fēng)云四號(hào)”衛(wèi)星成像圖。“風(fēng)云四號(hào)”是我國新一代靜止軌道氣象衛(wèi)星,則其在圓軌道上運(yùn)行時(shí)()A.可定位在赤道上空任意高度B.線速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間C.角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相等D.向心加速度比月球繞地球運(yùn)行的向心加速度大答案CD解析同步衛(wèi)星只能在赤道上空,且高度保持不變。故A錯(cuò)誤;第一宇宙速度為人造衛(wèi)星的最大運(yùn)行速度,氣象衛(wèi)星的線速度小于第一宇宙速度,則B錯(cuò)誤;同步衛(wèi)星的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期,所以同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等,則C正確;同步衛(wèi)星與月球都是萬有引力提供向心力,由=ma可得:a=,所以同步衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的向心加速度比月球繞地球運(yùn)行的向心加速度大,則D正確。素養(yǎng)綜合練9.(2018湖南雅禮中學(xué)月考)我國發(fā)射的第10顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面有一定的夾角,它的運(yùn)行周期是24小時(shí)。圖中的“8”字是該衛(wèi)星相對(duì)地面的運(yùn)行軌跡,它主要服務(wù)區(qū)域?yàn)閬喬貐^(qū)。已知地球半徑為R,地球同步衛(wèi)星的軌道距地面高度約為地球半徑的6倍,地球表面重力加速度為g。下列說法正確的是()A.該北斗衛(wèi)星的軌道半徑約為6RB.圖中“8”字交點(diǎn)不一定在赤道正上方C.該北斗衛(wèi)星的線速度小于赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度D.依題意可估算出赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小約為g答案D解析該北斗衛(wèi)星的軌道半徑約為r=6R+R=7R,A項(xiàng)錯(cuò)誤;同步衛(wèi)星的軌道在赤道正上方,故圖中“8”字交點(diǎn)一定在赤道正上方,B項(xiàng)錯(cuò)誤;該衛(wèi)星的周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期,故衛(wèi)星的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度,根據(jù)v=r可知,該北斗衛(wèi)星的線速度大于赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度,C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)衛(wèi)星G=m(7R),其中GM=gR2,則地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度a=R,聯(lián)立解得a=,D項(xiàng)正確。10.(2019山東夏津一中月考)假設(shè)兩顆質(zhì)量相等的星球繞其球心連線中心轉(zhuǎn)動(dòng),理論計(jì)算的周期與實(shí)際觀測(cè)的周期有出入,且(n>1),科學(xué)家推測(cè),在以兩星球球心連線為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質(zhì),設(shè)兩星球球心連線長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)量均為m,據(jù)此推測(cè),暗物質(zhì)的質(zhì)量為()A.(n-1)mB.(2n-1)mC.mD.m答案D解析因?yàn)?n>1),所以T觀測(cè)=T理論<T理論,差異是以雙星連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著的暗物質(zhì)引起的,均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用等效于這些暗物質(zhì)在雙星連線中點(diǎn)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用,設(shè)這種暗物質(zhì)質(zhì)量為M,此時(shí)雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由雙星的萬有引力和暗物質(zhì)對(duì)雙星的萬有引力提供,由萬有引力定律得G+G,G由以上兩式解得M=m,選項(xiàng)D正確,ABC錯(cuò)誤。11.宇航員在某星球表面讓一個(gè)小球以初速v0做豎直上拋運(yùn)動(dòng),經(jīng)過時(shí)間t小球落到星球表面。(1)求該星球表面附近的重力加速度g星;(2)已知該星球的半徑為R,引力常量為G,求該星球的質(zhì)量M;(3)要使物體不再落回星球表面,沿星球表面平拋出的速度至少應(yīng)是多少?答案(1)(2)(3)速度至少應(yīng)是解析(1)由豎直上拋規(guī)律t上=tg星=(2)在星球表面物體所受萬有引力等于物體所受重力。即G=mg星,由可得M=(3)在星球表面物體的重力提供繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力mg星=m平拋的速度至少為v=。12.由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng),忽略其他星體對(duì)它們的作用,存在著一種運(yùn)動(dòng)形式:三顆星體在相互之間的萬有引力作用下,分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)。若A星體質(zhì)量為2m,B、C兩星體的質(zhì)量均為m,三角形的邊長(zhǎng)為a,求:(1)A星體所受合力大小FA;(2)B星體所受合力大小FB;(3)C星體的軌道半徑RC;(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T。答案(1)2(2)(3)a(4)解析(1)由萬有引力定律,A星體所受B、C星體引力大小為FBA=G=G=FCA,方向如圖則合力大小為FA=2(2)同上,B星體所受A、C星體引力大小分別為FAB=G=GFCB=G=G,方向如圖。合力大小FBx=FABcos60+FCB=2GFBy=FABsin60=,可得FB=(3)通過分析可知,圓心O在中垂線AD的中點(diǎn),RC=可得RC=a(4)三星體運(yùn)動(dòng)周期相同,對(duì)C星體,由FC=FB=mRC可得T=