2.6.1曲線(xiàn)與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解曲線(xiàn)與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，了解“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”的概念(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2.能根據(jù)曲線(xiàn)方程的概念解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題(重點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知教材整理曲線(xiàn)的方程方程的曲線(xiàn)閱讀教材P60例1以上的部分，完成下列問(wèn)題1方程與曲線(xiàn)的定義在直角坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x，y)0的實(shí)數(shù)解滿(mǎn)足以下關(guān)系：如果曲線(xiàn)C上點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程f(x，y)0的解，且以方程f(x，y)0的解(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上，那么，方程f(x，y)0叫做曲線(xiàn)C的方程，曲線(xiàn)C叫做方程f(x，y)0的曲線(xiàn)2方程與曲線(xiàn)的關(guān)系圖2611判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)以方程f(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，那么方程f(x，y)0就是曲線(xiàn)的方程()(2)如果f(x，y)0是某曲線(xiàn)C的方程，則曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程()(3)若曲線(xiàn)C上的點(diǎn)滿(mǎn)足方程f(x，y)0，則坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程f(x，y)0的點(diǎn)不在曲線(xiàn)C上()(4)方程xy20是以A(2,0)，B(0,2)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的方程()(5)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy1.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2點(diǎn)A在方程x2(y1)210表示的曲線(xiàn)上，則m_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392118】解析據(jù)題意，有m2(m1)210，解得m2或.答案2或3方程|y|2x|表示的曲線(xiàn)是_解析|y|2x|，y2x，表示兩條直線(xiàn)答案兩條直線(xiàn)4已知曲線(xiàn)C的方程為x2xy2y70，則下列四點(diǎn)中，在曲線(xiàn)C上的點(diǎn)有_(填序號(hào))(1,2)；(1，2)；(2，3)；(3,6)解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)知，只有(1,2)滿(mǎn)足方程答案合 作 探 究攻 重 難曲線(xiàn)與方程的概念下列命題正確的是_(填序號(hào))過(guò)點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線(xiàn)方程為x3；到x軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為y2；到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為xy1；ABC的頂點(diǎn)A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D為BC的中點(diǎn)，則中線(xiàn)AD的方程為x0. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392119】解析正確，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是3，滿(mǎn)足方程x3，滿(mǎn)足方程x3的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在過(guò)點(diǎn)A(3,0)且垂直于x軸的直線(xiàn)上錯(cuò)誤，因?yàn)榈絰軸距離為2的點(diǎn)的軌跡方程為|y|2，即y2.錯(cuò)誤，因?yàn)榈絻勺鴺?biāo)軸的距離的乘積等于1的點(diǎn)的軌跡方程為|x|y|1即xy1.錯(cuò)誤，因?yàn)槿切沃芯€(xiàn)AD是一條線(xiàn)段，而不是直線(xiàn)，AD方程應(yīng)為x0(3y0)答案名師指津判斷方程是否是曲線(xiàn)的方程，要從兩個(gè)方面著手，一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否都適合方程，二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線(xiàn)上.再練一題1若命題“曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)0的解”是正確的，則下列命題正確的是_(填序號(hào))方程f(x，y)0的曲線(xiàn)是C；方程f(x，y)0的曲線(xiàn)不一定是C；f(x，y)0是曲線(xiàn)C的方程；以方程f(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上解析只有正確地理解曲線(xiàn)與方程的定義，才能準(zhǔn)確作答易知錯(cuò)誤答案由方程確定曲線(xiàn)方程2x2y24x2y30表示什么圖形？精彩點(diǎn)撥由曲線(xiàn)的方程研究曲線(xiàn)的特點(diǎn)，類(lèi)似于用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的圖象，可由方程的特點(diǎn)入手分析自主解答方程的左邊配方得2(x1)2(y1)20，而2(x1)20，(y1)20，2(x1)20，(y1)20，x10且y10，即x1，y1.方程表示點(diǎn)(1，1)名師指津曲線(xiàn)的方程是曲線(xiàn)的代數(shù)體現(xiàn)，判斷方程表示什么曲線(xiàn)，可根據(jù)方程的特點(diǎn)利用配方、因式分解等方法對(duì)已知方程變形，轉(zhuǎn)化為我們熟知的曲線(xiàn)方程，在變形時(shí)，應(yīng)保證變形過(guò)程的等價(jià)性.再練一題2方程4x2y26x3y0表示什么圖形？解方程4x2y26x3y0等價(jià)于(2xy)(2xy)3(2xy)0，等價(jià)于(2xy)(2xy3)0，等價(jià)于2xy0或2xy30.故方程表示兩條相交直線(xiàn)2xy0和2xy30.點(diǎn)與曲線(xiàn)的關(guān)系及應(yīng)用(1)判斷點(diǎn)A(4,3)，B(3，4)，C(，2)是否在方程x2y225(x0)所表示的曲線(xiàn)上；(2)點(diǎn)P(a1，a4)在曲線(xiàn)yx25x3上，則a的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392120】精彩點(diǎn)撥(1)由曲線(xiàn)與方程的關(guān)系知，只要點(diǎn)M的坐標(biāo)適合曲線(xiàn)的方程，則點(diǎn)M就在方程所表示的曲線(xiàn)上；而若點(diǎn)M為曲線(xiàn)上的點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)(x0，y0)一定適合曲線(xiàn)的方程(2)利用點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程，代入解方程可得自主解答(1)把點(diǎn)A(4,3)的坐標(biāo)代入方程x2y225中，滿(mǎn)足方程，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足x0，則點(diǎn)A在方程x2y225(x0)所表示的曲線(xiàn)上；把點(diǎn)B(3，4)的坐標(biāo)代入x2y225，因?yàn)?3)2(4)23425，所以點(diǎn)B不在方程x2y225(x0)所表示的曲線(xiàn)上把點(diǎn)C(，2)的坐標(biāo)代入x2y225，得()2(2)225，滿(mǎn)足方程，但因?yàn)闄M坐標(biāo)不滿(mǎn)足x0的條件，所以點(diǎn)C不在方程x2y225(x0)所表示的曲線(xiàn)上(2)因?yàn)辄c(diǎn)P(a1，a4)在曲線(xiàn)yx25x3上，所以a4(a1)25(a1)3，即a26a50，解得a1或5.答案(2)1或5名師指津判斷點(diǎn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系的方法如果曲線(xiàn)C的方程是f(x，y)0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0).,(1)點(diǎn)P(x0，y0)在曲線(xiàn)C：f(x，y)0上f(x0，y0)0.(2)點(diǎn)P(x0，y0)不在曲線(xiàn)C：f(x，y)0上f(x0，y0)0.再練一題3若曲線(xiàn)y2xy2xk通過(guò)點(diǎn)(a，a)，aR，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析曲線(xiàn)y2xy2xk通過(guò)點(diǎn)(a，a)，a2a22ak，k2a22a2，k，k的取值范圍是.答案曲線(xiàn)與方程的關(guān)系探究問(wèn)題1怎樣理解曲線(xiàn)與方程的概念？提示定義中的條件(1)闡明了曲線(xiàn)具有純粹性(或方程具有完備性)，即曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)都適合這個(gè)方程而毫無(wú)例外；條件(2)闡明了曲線(xiàn)具有完備性(或方程具有純粹性)，即適合條件的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上而毫無(wú)遺漏曲線(xiàn)的方程和方程的曲線(xiàn)是兩個(gè)不同的概念，曲線(xiàn)的方程反映的是圖形所滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系，而方程的曲線(xiàn)反映的是數(shù)量關(guān)系所表示的圖形2理解曲線(xiàn)的方程與方程的曲線(xiàn)的概念時(shí)應(yīng)注意什么？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392121】提示(1)曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，二者缺一不可分析下列曲線(xiàn)上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系：(1)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)與方程xy5.(2)第二、四象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)與方程xy0.精彩點(diǎn)撥判斷方程是不是曲線(xiàn)的方程的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合方程；二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上自主解答(1)與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿(mǎn)足方程xy5，如點(diǎn)(1，5)，但是，以方程xy5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定滿(mǎn)足與兩坐標(biāo)軸的距離的積等于5，因此，與兩坐標(biāo)軸距離的積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy5.(2)第二、四象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足xy0；反之，以方程xy0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限的角平分線(xiàn)上，因此第二、四象限角平分線(xiàn)上的點(diǎn)的軌跡方程是xy0.名師指津判斷方程是不是曲線(xiàn)的方程的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)缺一不可，一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿(mǎn)足方程；二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上，要判斷點(diǎn)是否在方程的曲線(xiàn)上，只需驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿(mǎn)足方程即可.再練一題4判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的方程是y；(2)過(guò)點(diǎn)A(2,0)平行于y軸的直線(xiàn)l的方程為|x|2.解(1)不正確，因?yàn)橐栽c(diǎn)為圓心，r為半徑的圓上的一點(diǎn)如點(diǎn)在圓上，但此點(diǎn)坐標(biāo)不滿(mǎn)足方程y.(2)不正確，因?yàn)樽鴺?biāo)滿(mǎn)足方程|x|2的點(diǎn)不一定在直線(xiàn)l上，如|2|2，但點(diǎn)(2,0)不在直線(xiàn)l上因此方程|x|2不是直線(xiàn)l的方程，l的方程是x2.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1設(shè)方程F(x，y)0的解集非空，如果命題“坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)0的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上”是不正確的，則下面命題中正確的是_(填序號(hào))坐標(biāo)滿(mǎn)足f(x，y)0的點(diǎn)都不在曲線(xiàn)C上；曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿(mǎn)足f(x，y)0；坐標(biāo)滿(mǎn)足f(x，y)0的點(diǎn)有些在曲線(xiàn)C上，有些不在曲線(xiàn)C上；一定有不在曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿(mǎn)足f(x，y)0.解析因?yàn)槊}“坐標(biāo)滿(mǎn)足方程f(x，y)0的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上”是不正確的，所以其否定：存在不在曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿(mǎn)足f(x，y)0，是正確的，即正確答案2f(x0，y0)0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線(xiàn)f(x，y)0上的_條件. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392122】解析f(x0，y0)0，可知點(diǎn)P(x0，y0) 在曲線(xiàn)f(x，y)0上，又P(x0，y0)在曲線(xiàn)f(x，y)0上時(shí)，有f(x0，y0)0，f(x0，y0)0是P(x0，y0)在曲線(xiàn)f(x，y)0上的充要條件答案充要3若P(2，3)在曲線(xiàn)x2ay21上，則a的值為_(kāi)解析P(2，3)在曲線(xiàn)x2ay21上，49a1，解得a.答案4如圖262中，方程表示圖中曲線(xiàn)的是_圖262解析x2y21表示單位圓，故錯(cuò)；x2y20表示兩條直線(xiàn)yx和yx，故錯(cuò)；lg xlg y0可化為xy1(x>0，y>0)，故錯(cuò)；只有正確答案5方程(xy2)0表示什么曲線(xiàn)？解(xy2)0變形為x2y290或表示以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓和直線(xiàn)xy20在圓x2y290外面的兩條射線(xiàn)