3.4 基本不等式 1重要不等式：a2b22ab(a，bR)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，有a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立2基本不等式如果a0，b0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立其中，叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)因此基本不等式也可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3基本不等式的證明（1）代數(shù)法：方法一 因?yàn)閍0，b0，所以我們可以用，分別代替重要不等式中的a，b，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即( a0，b0)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立方法二 因?yàn)?，所以，即，所以方法?要證，只要證，即證，即證，顯然總是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立（2）幾何法：如圖，AB是圓的直徑，C是AB上一點(diǎn)，ACa，BCb，過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD易證，則CD2CACB，即CD_這個(gè)圓的半徑為，顯然它大于或等于CD，即，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即ab時(shí)，等號(hào)成立 由此我們可得的幾何意義：半徑不小于半弦4重要不等式和均值不等式的常用變形公式及推廣公式（1）(a，b同號(hào))；(a，b異號(hào))（2）(a0)；(a0)（3）(a0，b0)；(a0，b0)（4），4aba2b22ab，2(a2b2)(ab)2（5）（6）為正實(shí)數(shù)，且5均值不等式鏈若a0，b0，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立其中和分別叫做a，b的調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)6最值定理已知x0，y0，則若xy為定值s，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，積xy有最大值(簡(jiǎn)記：和定積最大)；若xy為定值t，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，和xy有最小值(簡(jiǎn)記：積定和最小)K知識(shí)參考答案：1ab 2ab 3 K重點(diǎn)重要不等式，基本不等式的公式、證明、幾何解釋、變形及推廣K難點(diǎn)均值不等式鏈的應(yīng)用、利用基本不等式求最值、不等式的證明K易錯(cuò)忽略等號(hào)成立的條件、等號(hào)成立的一致性導(dǎo)致錯(cuò)誤利用基本不等式判斷不等式是否成立要判斷不等式是否成立，關(guān)鍵是把握其運(yùn)用基本不等式時(shí)能否嚴(yán)格遵循“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件（1）設(shè)f(x)ln x，0ab，若pf()，q，r(f(a)f(b)，則下列關(guān)系式中正確的是AqrpBprqCqrpDprq（2）給出下列不等式：；若0a1b，則logablogba2其中正確的是_【答案】（1）B；（2） 方法2：(特值法)令a1，b2，則pf()ln，qln，r(ln 1ln 2)ln因?yàn)?，所以lnln，所以prq，故選B（2）當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，所以，故不正確，正確；由于x0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故不正確；當(dāng)時(shí)，時(shí)，故不正確；當(dāng)0a1b時(shí)，故logablogba2，正確綜上，正確【名師點(diǎn)睛】基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的判斷、比較代數(shù)式的大小等一般地，結(jié)合所給代數(shù)式的特征，將所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換（利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化），使其中的不等關(guān)系明晰即可解決問(wèn)題利用基本不等式證明不等式利用基本不等式證明不等式的一般思路：先觀察題中要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特征，若不能直接使用基本不等式證明，則考慮對(duì)代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)、變形、配湊等，使之達(dá)到能使用基本不等式的形式；若題目中還有其他條件，則先觀察已知條件和所證不等式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”的代換另外，解題時(shí)要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到（1）已知a0，b0，c0，求證：；（2）已知ab，ab2，求證：【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）因?yàn)閍0，b0，c0，所以利用基本不等式可得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于（1），合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形式，是證明輪換對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的不等式（用b換a，a換c，c換b后，代數(shù)式不變的式子叫輪換對(duì)稱(chēng)式，其特征是a，b，c的地位一樣）的常用思路；對(duì)于（2），觀察ab，a2b2，可聯(lián)想到通過(guò)加減2ab的方法配湊出(ab)2，從而化為可使用基本不等式的形式，結(jié)合ab2可使問(wèn)題得到解決利用基本不等式求最值（1）直接應(yīng)用類(lèi)：此類(lèi)問(wèn)題較為基礎(chǔ)，注意“一正、二定、三相等”即可（1）已知f(x)x2(x0)，則f(x)有A最大值為4 B最小值為4C最小值為0D最大值為0（2）已知0x4，則x(4x)取得最大值時(shí)x的值為A0 B2C4D16（3）已知函數(shù)f(x)(x0)，若f(ab)16，則f(ab)的最大值為_(kāi)；（4）已知a，bR，且ab8，則|a2b|的最小值是_【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8【解析】（1）因?yàn)閤0，所以f(x)(x)2220，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1時(shí)取等號(hào)故選D（2）因?yàn)?x4，所以4x0，所以x(4x)4，當(dāng)且僅當(dāng)x4x，即x2時(shí)取等號(hào)故選C（3）因?yàn)椋詀b4，所以，f(ab)16，故f(ab)的最大值為16（4）依題意得a，b同號(hào)，于是|a2b|a|2b|8，當(dāng)且僅當(dāng)|a|2b|4時(shí)取等號(hào)，因此|a2b|的最小值是8【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值要牢記三個(gè)關(guān)鍵詞：一正、二定、三相等，即一正：各項(xiàng)必須為正；二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值；三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)條件是否具備（2）配湊定值類(lèi)：此類(lèi)問(wèn)題一般不能直接使用基本不等式，要從整體上把握進(jìn)而運(yùn)用基本不等式，對(duì)不滿(mǎn)足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng)、湊項(xiàng)、湊系數(shù)等（1）已知x0，則函數(shù)y的最小值為_(kāi)；（2）若x1，則函數(shù)y的最小值為_(kāi)；（3）若0x，則函數(shù)yx(125x)的最大值為_(kāi)【答案】（1）5；（2）3；（3）（3）湊系數(shù)：因?yàn)?x，所以y5x (125x)，當(dāng)且僅當(dāng)5x125x，即x時(shí)取等號(hào)故填【名師點(diǎn)睛】不論條件怎么變形，都需要根據(jù)條件：湊和為定值時(shí)求積最大、湊積為定值求和最?。?）條件最值類(lèi)：在求解含有兩個(gè)變量的代數(shù)式的最值問(wèn)題時(shí)，通常采用“變量替換”或“常數(shù)1”的替換，或構(gòu)造不等式求解（1）已知a0，b0，ab1，則的最小值為_(kāi)；（2）已知a0，b0，2，則ab的最小值為_(kāi)；（3）若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足xy3xy，則xy的最小值是_；（4）已知x0，y0，xyxy3，則xy的最小值是_【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2（3）構(gòu)造一元二次不等式：由x0，y0，xy3xy，得xy3，當(dāng)且僅當(dāng)xy3時(shí)等號(hào)成立，故30，即0，由0解得3，即xy9故xy的最小值為9（4）構(gòu)造一元二次不等式：由x0，y0，xyxy3，得xy3(xy)，當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)等號(hào)成立，故(xy)30，解得xy2或xy6(舍去)，故xy的最小值是2【名師點(diǎn)睛】在構(gòu)造不等式求最值時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用例如，當(dāng)a0，b0時(shí)，a2b22ab逆用就是ab；逆用就是ab等還要注意“添項(xiàng)、拆項(xiàng)、湊系數(shù)”的技巧和等號(hào)成立的條件等基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用利用基本不等式解決應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)建模型，一般來(lái)說(shuō)，都是從具體的幾何圖形，通過(guò)相關(guān)的關(guān)系建立關(guān)系式在解題過(guò)程中盡量向模型(a0，b0，x0)上靠攏如圖，要規(guī)劃一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，該休閑廣場(chǎng)含有大小相等的左右兩個(gè)矩形草坪（如圖中陰影部分所示），且草坪所占面積為18 000 m2，四周道路的寬度為10 m，兩個(gè)草坪之間的道路的寬度為5 m試問(wèn)，怎樣確定該矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)與寬的尺寸（單位：m），能使矩形休閑廣場(chǎng)所占面積最?。?【答案】當(dāng)矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為140 m，寬為175 m時(shí)，可使休閑廣場(chǎng)的面積最小 因?yàn)閤200，所以S，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有(x20) 214 400，解得x140，代入y，得y175，即當(dāng)x140，y175時(shí)，S取得最小值24 500故當(dāng)矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為140 m，寬為175 m時(shí)，可使休閑廣場(chǎng)的面積最小方法2：設(shè)矩形草坪的長(zhǎng)為a m，寬為b m，則ab9 000，其中a0，b0易知矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為(a20) m，寬為(2b25) m故休閑廣場(chǎng)的面積S(a20)(2b25)2ab40b25a50018 50025a40b18 500，當(dāng)且僅當(dāng)25a40b時(shí)等號(hào)成立此時(shí)，代入ab9 000得a120，b75，即當(dāng)a120，b75時(shí)，S取得最小值24 500故當(dāng)矩形休閑廣場(chǎng)的長(zhǎng)為140 m，寬為175 m時(shí)，可使休閑廣場(chǎng)的面積最小【名師點(diǎn)睛】本題容易出現(xiàn)的思維誤區(qū)：未能理清草坪邊長(zhǎng)與休閑廣場(chǎng)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系；求出目標(biāo)函數(shù)后不會(huì)運(yùn)用基本不等式求最值，缺乏必要的配湊、轉(zhuǎn)化變形能力，從而無(wú)法利用基本不等式求最值，或者不會(huì)利用基本不等式等號(hào)成立的條件求變量的取值忽略等號(hào)成立的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤函數(shù)的最小值為_(kāi)【錯(cuò)解】，所以函數(shù)的最小值為2【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中使用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件為，即1，顯然x21，即等號(hào)無(wú)法取到，函數(shù)的最小值為2是不正確的 【名師點(diǎn)睛】（1）利用基本不等式求最值時(shí)，必修保證等號(hào)能取到才能求出最值，若題設(shè)條件中的限制條件或函數(shù)的定義域不能使等號(hào)成立，則要轉(zhuǎn)換到另一種形式解答，如借助函數(shù)單調(diào)性等；（2）對(duì)于模型，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立；（3）求函數(shù)y(a0，b0)在區(qū)間(0，c上的最值時(shí)，由函數(shù)圖象易得：若c，則當(dāng)x時(shí)，y取得最小值；若c，則當(dāng)xc時(shí)，y取得最小值ac忽略等號(hào)成立的一致性導(dǎo)致錯(cuò)誤若x0，y0，且x2y1，則的最小值為_(kāi)【錯(cuò)解】因?yàn)閤0，y0，所以1x2y，即8xy1，即xy，故8因?yàn)?，所以故的最小值為【錯(cuò)因分析】在求解過(guò)程中使用了兩次基本不等式：x2y，但這兩次取“”需滿(mǎn)足x2y與xy，互相矛盾，所以“”不能同時(shí)取到，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤【名師點(diǎn)睛】連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要注意各不等式取等號(hào)時(shí)的條件是否一致，若不能同時(shí)取等號(hào)，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時(shí)要對(duì)原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜?，直到取等?hào)的條件成立 1已知，則取最大值時(shí)的值為ABCD2若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是ABCD3若且，則的最小值是ABCD4若，則的最小值是ABCD5已知，則m，n之間的大小關(guān)系是AmnBmnCmnD不能確定6己知均為正實(shí)數(shù)，且直線與直線互相垂直，則的最小值為ABCD7已知，則的最小值為ABCD8若正數(shù)，滿(mǎn)足，則的取值范圍為_(kāi)9已知，且，則的最小值是_10若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值為_(kāi)11設(shè)，則函數(shù)的最大值為_(kāi)12已知a0，b0，ab8，則當(dāng)a的值為_(kāi)時(shí)，取得最大值 13已知，都是正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則的最小值為ABCD14已知，且，則的最小值為ABCD15已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為A8B6C4D216若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則A有最大值4B有最小值C有最大值D有最小值17已知，若不等式恒成立，則的最大值為ABCD18設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則xy的最大值為ABC12D1419已知a0，b0，c0，且abc1，則的最小值為_(kāi)20在4960的兩個(gè)中，分別填入一個(gè)自然數(shù)，使它們的倒數(shù)之和最小，則中應(yīng)分別填入_和_ 21若a，b，c0且(ac)(ab)，則2abc的最小值為_(kāi)22已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足：，則的最大值是_23某校要建一個(gè)面積為平方米的矩形球場(chǎng)，要求球場(chǎng)的一面利用舊墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成，且在矩形一邊的鋼筋網(wǎng)的正中間要留一個(gè)米的進(jìn)出口（如下圖所示）設(shè)矩形的長(zhǎng)為米，鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度為米（1）列出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出其定義域；（2）問(wèn)矩形的長(zhǎng)與寬各為多少米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最?。?24（1）求函數(shù)的最小值；（2）已知正數(shù)a，b和正數(shù)x，y，若ab10，且xy的最小值是18，求a，b的值25已知函數(shù)（1）若，試求函數(shù)的最小值；（2）對(duì)于任意的，不等式成立，試求的取值范圍 26（2018天津文理）已知，且，則的最小值為_(kāi)27（2018江蘇）在中，角，所對(duì)的邊分別為，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)28（2017山東理）若，且，則下列不等式成立的是ABCD29（2017天津文理）若，則的最小值為_(kāi)30（2017江蘇）某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是_31（2017山東文）若直線過(guò)點(diǎn)（1，2），則的最小值為_(kāi) 1【答案】B【解析】由題可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立故選B2【答案】C【解析】由題可得故選C4【答案】D【解析】，故選D5【答案】A【解析】因?yàn)閍2，所以a20，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)取等號(hào)，故，由b0得b20，所以2b22，所以4，即n4，故綜上可得mn，故選A6【答案】D【解析】由兩直線互相垂直可得，即，則又為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為故選D7【答案】B【解析】由，得，則，故選B8【答案】【解析】由，得，解得，即 10【答案】【解析】由可得a0，b0，因?yàn)?，所以ab，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為11【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)的最大值為12【答案】4【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合a0，b0，ab8，可得a4，b213【答案】C【解析】，所以，又，都是正實(shí)數(shù)，所以即的最小值為，故選C14【答案】B【解析】由題可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故選B15【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則，即80，解得或(舍去)，故a4，即a的最小值為4，故選C17【答案】B【解析】可變形為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，則的最大值為故選B18【答案】A【解析】畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，易知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段AC上時(shí)xy取得最大值，此時(shí)2xy10，故xy(2xy)，當(dāng)且僅當(dāng)x，y5時(shí)取等號(hào)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(，5)落在線段AC上，故最大值為 19【答案】9【解析】因?yàn)閍0，b0，c0，且abc1，所以3332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立 21【答案】【解析】由a，b，c0及(ac)(ab)，可得(ac)(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào)，所以(2abc)2，即2abc，故2abc的最小值為，故選D22【答案】【解析】，由題意得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即所求最大值為23【答案】（1）；（2）長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，所用的鋼筋網(wǎng)的總長(zhǎng)度最小 24【答案】（1）9；（2）或【解析】（1）因?yàn)閤1，所以x10，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x1時(shí)等號(hào)成立所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得最小值為9（2）xy，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以由，解得或25【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立即，當(dāng)時(shí)，的最小值為（2），要使得，不等式成立，只要在上恒成立即可不妨設(shè)，則只要在上恒成立則即解得，的取值范圍是 【名師點(diǎn)睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正各項(xiàng)均為正；二定積或和為定值；三相等等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤27【答案】9【解析】由題意可知，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤28【答案】B【解析】因?yàn)?，且，所?，故選B【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小，若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同，通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同，可考慮利用中間量進(jìn)行比較本題雖小，但考查的知識(shí)點(diǎn)較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷 【名師點(diǎn)睛】利用均值不等式求最值時(shí)要靈活運(yùn)用以下兩個(gè)公式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)解題時(shí)要注意公式的適用條件、等號(hào)成立的條件，同時(shí)求最值時(shí)注意“1的妙用”30【答案】30【解析】總費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤31【答案】【解析】由直線 過(guò)點(diǎn)（1，2）可得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立【名師點(diǎn)睛】應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提條件：“一正”“二定”“三相等”，在利用基本不等式求最值時(shí)，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式