綜合能力訓(xùn)練第卷(選擇題,共40分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.已知集合A=xx-1232,B=x|y=lg(4x-x2),則AB等于()A.(0,2B.-1,0)C.2,4)D.1,4)2.設(shè)直線x+y=1與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,若OAOB,則OAB的面積為()A.1B.52C.5D.23.已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.執(zhí)行如圖所示的程序框圖.若輸入n=3,則輸出的S=()A.67B.37C.89D.496.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)被斜率為1的直線截得的弦的中點為(4,1),則該雙曲線離心率的值是()A.52B.62C.103D.27.已知函數(shù)f(x)=sin(x2),-1<x<0,ex-1,x0,若f(1)+f(a)=2,則a的所有可能值為()A.1B.-22C.1,-22D.1,228.已知實數(shù)a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|1,則a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|1,則a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|1,則a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|1,則a2+b2+c2<100第卷(非選擇題,共110分)二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)9.已知a,bR,i是虛數(shù)單位,若(1+i)(1-bi)=a,則ab的值為.10.在(2x-1)5的展開式中,含x2的項的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)11.已知兩球O1和O2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)部,且互相外切,若球O1與過點A的正方體的三個面相切,球O2與過點C1的正方體的三個面相切,則球O1和O2的表面積之和的最小值為.12.在極坐標(biāo)系中,直線4cos-6+1=0與圓=2sin 的公共點的個數(shù)為.13.設(shè)變量x,y滿足約束條件y3x-2,x-2y+10,2x+y8,則yx-1的最小值是.14.a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成30角;當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成60角;直線AB與a所成角的最小值為45;直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號)三、解答題(本大題共6小題,共80分)15.(13分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.16.(13分)已知數(shù)列an中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n2,nN*).(1)求a2,a3,并證明an-n是等比數(shù)列;(2)設(shè)bn=an2n-1,求數(shù)列bn的前n項和Sn.17.(13分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點,點P,Q分別在棱DD1,BB1上移動,且DP=BQ=(0<<2).(1)當(dāng)=1時,證明:直線BC1平面EFPQ.(2)是否存在,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.18.(13分)某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”,求事件A發(fā)生的概率;(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19.(14分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點F1,F2與橢圓短軸的一個端點構(gòu)成邊長為4的正三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓C上任意一點P作橢圓C的切線與直線F1P的垂線F1M相交于點M,求點M的軌跡方程;(3)若切線MP與直線x=-2交于點N,求證:|NF1|MF1|為定值.20.(14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+a2x2-x(a0).(1)若f(x)>0對x(0,+)都成立,求a的取值范圍;(2)已知e為自然對數(shù)的底數(shù),證明:nN*,e<1+1n21+2n21+nn2<e.#綜合能力訓(xùn)練1.A解析 A=-1,2,B=(0,4),AB=(0,2.故選A.2.B解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1與拋物線y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+p2+2p,x1=1+p-p2+2p,y2=-p-p2+2p,x2=1+p+p2+2p,由OAOB得,x1x2+y1y2=0,即(1+p)2-(p2+2p)+p2-(p2+2p)=0,化簡得2p=1,從而A3-52,-1+52,B3+52,-1-52,OA2=x12+y12=5-25,OB2=x22+y22=5+25,OAB的面積S=12|OA|OB|=52.故選B.3.C解析 f(x)是R上的奇函數(shù),g(x)=xf(x)是R上的偶函數(shù).g(-log25.1)=g(log25.1).奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)>0,f(x)>0.當(dāng)x>0時,g(x)=f(x)+xf(x)>0恒成立,g(x)在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù).2<log25.1<3,1<20.8<2,20.8<log25.1<3.結(jié)合函數(shù)g(x)的性質(zhì)得b<a<c.故選C.4.C解析 由三視圖可知該幾何體為直四棱柱.S底=12(1+2)2=3,h=2,V=Sh=32=6.5.B解析 由題意得,輸出的S為數(shù)列1(2n-1)(2n+1)的前3項和,而1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,即Sn=121-12n+1=n2n+1.故當(dāng)輸入n=3時,S3=37,故選B.6.A解析 設(shè)直線l與雙曲線交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2).由弦的中點為(4,1),直線的斜率為1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=1,b2a2=14,e2=1+b2a2=54.e=52.故選A.7.C解析 f(1)=e1-1=1,f(a)=1.若a(-1,0),則sin(a2)=1,a=-22.若a0,+),則ea-1=1,a=1.因此a=1或a=-22.8.D解析 (舉反例排除)選項A中,令a=b=10,c=-110,則|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故選項A不成立;選項B中,令a=10,b=-100,c=0,則|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故選項B不成立;選項C中,令a=100,b=-100,c=0,則|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故選項C不成立;故選D.9.2解析 (1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,則1+b=a,1-b=0,所以a=2,b=1,即ab=2.故答案為2.10.-40解析 (2x-1)5的展開式的通項為Tr+1=C5r(2x)5-r(-1)r=(-1)rC5r25-rx5-r.根據(jù)題意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2項的系數(shù)為(-1)3C5325-3=-22C52=-40.11.3(2-3)解析 AO1=3R1,C1O2=3R2,O1O2=R1+R2,(3+1)(R1+R2)=3,R1+R2=33+1,球O1和O2的表面積之和為4(R12+R22)42R1+R222=2(R1+R2)2=3(2-3).12.2解析 4cos-6+1=0,展開得23cos +2sin +1=0,直線的直角坐標(biāo)方程為23x+2y+1=0.=2sin 兩邊同乘得2=2sin ,圓的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,圓心為(0,1),半徑r=1.圓心到直線的距離d=|230+21+1|(23)2+22=34<r=1.直線與圓相交.直線與圓公共點的個數(shù)為2.13.1解析 由約束條件y3x-2,x-2y+10,2x+y8作出可行域如圖,聯(lián)立x-2y+1=0,2x+y=8,解得A(3,2),yx-1的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P(1,0)連線的斜率,則其最小值為kPA=2-03-1=1.14.解析 由題意,AB是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線,由ACa,ACb,得AC圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點B,作BDa,交底面圓C于點D,如圖所示,連接DE,則DEBD,DEb.連接AD,在等腰三角形ABD中,設(shè)AB=AD=2,當(dāng)直線AB與a成60角時,ABD=60,故BD=2.又在RtBDE中,BE=2,DE=2,過點B作BFDE,交圓C于點F,連接AF,由圓的對稱性可知BF=DE=2,ABF為等邊三角形,ABF=60,即AB與b成60角,正確,錯誤.由最小角定理可知正確;很明顯,可以滿足直線a平面ABC,直線AB與a所成的最大角為90,錯誤.故正確的說法為.15.解 (1)由題設(shè)及A+B+C=,得sin B=8sin2B2,故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=1517.(2)由cos B=1517得sin B=817,故SABC=12acsin B=417ac.又SABC=2,則ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4.所以b=2.16.解 (1)由已知an=2an-1-n+2(n2,nN*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2an-1-(n-1).an-nan-1-(n-1)=2(n2,nN*),且a1-1=1,an-n是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)2n-1,即an=2n-1+n,bn=an2n-1=1+n2n-1.設(shè)cn=n2n-1,且前n項和為Tn,則Tn=120+221+322+n2n-1,12Tn=121+222+323+n2n,-,得12Tn=1+12+122+123+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-2+n2n.故Tn=4-2+n2n-1,Sn=n+4-2+n2n-1.17.解法一 (1)證明:如圖,連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知BC1AD1.當(dāng)=1時,P是DD1的中點,又F是AD的中點,所以FPAD1,所以BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直線BC1平面EFPQ.(2)如圖,連接BD.因為E,F分別是AB,AD的中點,所以EFBD,且EF=12BD.又DP=BQ,DPBQ,所以四邊形PQBD是平行四邊形,故PQBD,且PQ=BD,從而EFPQ,且EF=12PQ.在RtEBQ和RtFDP中,因為BQ=DP=,BE=DF=1,所以EQ=FP=1+2,所以四邊形EFPQ也是等腰梯形.同理可證四邊形PQMN也是等腰梯形.分別取EF,PQ,MN的中點為H,O,G,連接OH,OG,則GOPQ,HOPQ,而GOHO=O,故GOH是平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角,則GOH=90.連接EM,FN,則由EFMN,且EF=MN知四邊形EFNM是平行四邊形.連接GH,因為H,G是EF,MN的中點,所以GH=ME=2.在GOH中,GH2=4,OH2=1+2-222=2+12,OG2=1+(2-)2-222=(2-)2+12,由OG2+OH2=GH2,得(2-)2+12+2+12=4,解得=122,故存在=122,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角.解法二 以D為原點,射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).BC1=(-2,0,2),FP=(-1,0,),FE=(1,1,0).(1)證明:當(dāng)=1時,FP=(-1,0,1).因為BC1=(-2,0,2),所以BC1=2FP,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直線BC1平面EFPQ.(2)設(shè)平面EFPQ的一個法向量為n=(x,y,z),則由FEn=0,FPn=0可得x+y=0,-x+z=0.于是可取n=(,-,1).同理可得平面MNPQ的一個法向量為m=(-2,2-,1).若存在,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角,則mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=122.故存在=122,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=C31C41+C32C102=13.所以,事件A發(fā)生的概率為13.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=C32+C32+C42C102=415,P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715,P(X=2)=C31C41C102=415.所以,隨機變量X的分布列為X012P415715415隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0415+1715+2415=1.19.(1)解 依題意,2c=a=4,c=2,b=23.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y212=1.(2)解 由(1)知F1(-2,0),設(shè)P(x0,y0),M(x,y),過橢圓C上點P的切線方程為x0x16+y0y12=1,直線F1P的斜率kF1P=y0x0+2,則直線MF1的斜率kMF1=-x0+2y0,直線MF1的方程為y=-x0+2y0(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),聯(lián)立,解得x=-8,故點M的軌跡方程為x=-8.(3)證明 依題意及(2),知點M,N的坐標(biāo)可表示為M(-8,yM),N(-2,yN),點N在切線MP上,由式得yN=3(x0+8)2y0,點M在直線MF1上,由式得yM=6(x0+2)y0,|NF1|2=yN2=9(x0+8)24y02,|MF1|2=(-2)-(-8)2+yM2=36y02+(x0+2)2y02,故|NF1|2|MF1|2=9(x0+8)24y02y0236y02+(x0+2)2=116(x0+8)2y02+(x0+2)2,注意到點P在橢圓C上,即x0216+y0212=1,于是y02=48-3x024,代入式并整理得|NF1|2|MF1|2=14,故|NF1|MF1|的值為定值12.20.(1)解 f(x)=ln(1+x)+a2x2-x,其定義域為(-1,+),f(x)=11+x+ax-1=x(ax+a-1)1+x.當(dāng)a=0時,f(x)=-x1+x,當(dāng)x(0,+)時,f(x)<0,則f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞減,此時,f(x)<f(0)=0,不符合題意.當(dāng)0<a<1時,令f(x)=0,得x1=0,x2=1-aa>0,當(dāng)x0,1-aa時,f(x)<0,則f(x)在區(qū)間0,1-aa內(nèi)單調(diào)遞減,此時,f(x)<f(0)=0,不符合題意.當(dāng)a=1時,f(x)=x21+x,當(dāng)x(0,+)時,f(x)>0,則f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,此時,f(x)>f(0)=0,符合題意.當(dāng)a>1時,令f(x)=0,得x1=0,x2=1-aa<0,當(dāng)x(0,+)時,f(x)>0,則f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,此時,f(x)>f(0)=0,符合題意.綜上所述,a的取值范圍為1,+).(2)證明 由(1)可知,當(dāng)a=0時,f(x)<0對x(0,+)都成立,即ln(1+x)<x對x(0,+)都成立,ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn2<1n2+2n2+nn2,即ln1+1n21+2n21+nn2<1+2+nn2=n+12n.由于nN*,則n+12n=12+12n12+121=1.ln1+1n21+2n21+nn2<1.1+1n21+2n21+nn2<e.由(1)可知,當(dāng)a=1時,f(x)>0對x(0,+)都成立,即x-12x2<ln(1+x)對x(0,+)都成立,1n2+2n2+nn2-1212n4+22n4+n2n4<ln1+1n2+ln1+2n2+ln1+nn2,即n(n+1)2n2-12n(n+1)(2n+1)6n4<ln1+1n21+2n21+nn2,得6n3+4n2-3n-112n3<ln1+1n21+2n21+nn2.由于nN*,則6n3+4n2-3n-112n3=6n3+(3n2-3n)+(n2-1)12n36n312n3=12.12<ln1+1n21+2n21+nn2.e<1+1n21+2n21+nn2.e<1+1n21+2n21+nn2<e.