壓軸小題突破練(2)1在四面體ABCD中，二面角ABCD為60，點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，記直線PA與平面BCD所成的角為，則()A的最大值為60B的最小值為60C的最大值為30D的最小值為30答案A解析過A作AH平面BCD于點(diǎn)H，AGBC于點(diǎn)G，連接PH，GH，則易知AGH為二面角ABCD的平面角，即AGH60，APH為PA與平面BCD所成的角，則tanAPH.因?yàn)锳H為定長，所以當(dāng)PH取得最小值時(shí)，APH取得最大值，易知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，PH取得最小值，所以maxAGH60，故選A.2已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是AB，AD，AA1的中點(diǎn)，又P，Q分別在線段A1B1，A1D1上，且A1PA1Qx,0x1，設(shè)平面MEF平面MPQl，則下列結(jié)論中不成立的是()Al平面ABCDBlACC平面MEF與平面MPQ垂直D當(dāng)x變化時(shí)，l是定直線答案C解析連接BD，A1D，A1B，AC1，顯然平面MEF平面A1DB，設(shè)A1BMPH，A1DQMG，連接HG，則lHG，又HG平面ABCD，所以l平面ABCD，ACBD.又HGlBD，故ACl，當(dāng)P，Q分別與B1，D1重合時(shí)，平面MEF平面MPQ，又0x1，故平面MEF與平面MPQ不垂直無論x怎么變化，l是過M點(diǎn)與EF平行的定直線3已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，P是A1C1上任意一點(diǎn)，記平面PAB，平面PBC與下底面所成的二面角分別為，則tan()的最小值為()ABCD答案C解析如圖，作PP1AC，易知，PP1底面ABCD，作PMAB，PNBC，連接MP1，NP1，易證得PMP1，PNP1.設(shè)MP1x，則NP11x，tan，tan，tan ().0x1，當(dāng)x時(shí)，tan()有最小值，故選C.4已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是B1C1的中點(diǎn)，若正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球與直線EF交于點(diǎn)G，H，且GH3，若點(diǎn)Q是棱BB1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AQD1Q的最小值為()A6B3C6D6答案C解析設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，內(nèi)切球球心為O，由題意可得內(nèi)切球半徑r.OEOFa，EFa，取EF中點(diǎn)P，則OPa，所以cosPOG，所以GOH，OG，a3，把平面DD1B1B與平面AA1B1B展成一個(gè)平面，則A，Q，D1共線時(shí)AQD1Q最小，最小值為D1A6.5已知三棱錐DABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABBC2，AC2，若三棱錐DABC體積的最大值為2，則球O的表面積為()A8B9C.D.答案D解析由ABBC2，AC2，可得AB2BC2AC2.所以ABC為直角三角形，且AC為斜邊所以過ABC的截面圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)E.當(dāng)DE平面ABC，且球心O在DE上時(shí)，三棱錐DABC的體積取最大值因?yàn)槿忮FDABC體積的最大值為2，所以SABCDE2，即22DE2，解得DE3.設(shè)球的半徑為R，則AE2OE2AO2，即()2(3R)2R2，解得R.所以球O的表面積為4R242.6如圖，ABB，直線AB與平面所成的角為75，點(diǎn)A是直線AB上一定點(diǎn)，動(dòng)直線AP與平面交于點(diǎn)P，且滿足PAB45，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的軌跡是()A雙曲線的一支B拋物線的一部分C圓D橢圓答案D解析用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線此題中平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足PAB45，可理解為P在以AB為軸的圓錐的側(cè)面上，再由斜線段AB與平面所成的角為75，可知P的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義故可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是橢圓7在棱長為6的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面DCC1D1所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足APDMPC，則三棱錐PBCD體積的最大值是()A36B12C24D18答案B解析AD平面D1DCC1，ADDP，同理BC平面D1DCC1，則BCCP，APDMPC，PADPMC，AD2MC，PD2PC，下面研究點(diǎn)P在面DCC1D1內(nèi)的軌跡(立體幾何平面化)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)設(shè)D(0,0)，C(6,0)，C1(6,6)，設(shè)P(x，y)，PD2PC，2，化簡得(x8)2y216(4x6)，該圓與CC1的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大，交點(diǎn)坐標(biāo)(6,2)，三棱錐PBCD的底面BCD的面積為18，要使三棱錐PBCD的體積最大，只需高最大，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2)時(shí)，CP2，棱錐的高最大，此時(shí)三棱錐PBCD的體積V18212，故選B.8如圖，在四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使ADC，則下列結(jié)論不正確的是()AABCDBBACC二面角ABCD的平面角的正切值為D異面直線AC與BD所成角的大小為答案C解析因?yàn)镃DBD且ADCD，所以CD平面ABD，因此CDAB，故A正確；因?yàn)锳BCD，ADAB，所以AB平面ACD，因此ABAC，即BAC，故B正確；取BD的中點(diǎn)E，連接AE，易知平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，AEBD，所以AE平面BCD.過E作EFBC交BC于點(diǎn)F，連接AF，所以AFE為二面角ABCD的平面角，所以tanAFE，故C錯(cuò)取AB，BC，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，連接MN，MP，NP，則異面直線AC與BD所成的角即為NMP(或其補(bǔ)角)，易知MPBD，MNAC，易求得NP，故MNP為等邊三角形，所以異面直線AC與BD所成角的大小為，故D正確9如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線AC1上取一點(diǎn)P，以A為球心，AP為半徑作一個(gè)球，設(shè)APx，記該球面與正方體表面的交線的長度和為f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是()答案B解析球面與正方體的表面都相交，我們考慮三種特殊情形：當(dāng)x1時(shí)；當(dāng)x時(shí)；當(dāng)x時(shí)當(dāng)x1時(shí)，以A為球心，1為半徑作一個(gè)球，該球面與正方體表面的交線弧長為321，且為函數(shù)f(x)的最大值；當(dāng)x時(shí)，以A為球心，為半徑作一個(gè)球，根據(jù)圖形的相似，該球面與正方體表面的交線弧長為中的一半；當(dāng)x時(shí)，以A為球心，為半徑作一個(gè)球，該球面與正方體表面的交線弧長為321，對(duì)照選項(xiàng)可得B正確10在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，將ABF沿BF所在的直線進(jìn)行翻折，將CDE沿DE所在的直線進(jìn)行翻折，則在翻折的過程中()A點(diǎn)A與點(diǎn)C在某一位置可能重合B點(diǎn)A與點(diǎn)C的最大距離為ABC直線AB與直線CD可能垂直D直線AF與直線CE可能垂直答案D解析若點(diǎn)A與點(diǎn)C在某一位置重合，則在ABE中，BEAEAB，即有BEAEAB，則BE，AE，AB三邊不構(gòu)成三角形，故A錯(cuò)在正方形ABCD中，設(shè)AC與BF，ED分別交于點(diǎn)M，N，則AMNMNCAB，在翻折的過程中，總有ACAMMCAMMNNCAB，故B錯(cuò)因?yàn)锽FDE，ABFCED，所以在翻折的過程中，AB與CE不平行，過點(diǎn)B作BPCE，且BPCE，則直線BP，BA是相交直線，由四邊形BECP為平行四邊形得CPBE，且CPBE，從而有CPDF，且CPDF，所以四邊形CDFP為平行四邊形，故FPCD，故若ABCD，則FPAB，又CDCE，故FPPB，從而有FP平面ABP，所以FPAP，則在FPA中，AF>FP，但AFCDFP，矛盾，故C錯(cuò)由上知若直線AF與直線CE垂直，則AFBP，又FPPB，從而有BP平面APF，所以BPAP，故只需APAB即可，即D正確，故選D.11如圖，已知ABC是等腰直角三角形，C，點(diǎn)M在ABC外，且MB1，MC2，則MA的最大值是_答案21解析如圖，以C為原點(diǎn)，MC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則M(2,0)設(shè)A(x，y)，則由ACBC且ACBC可得B(y，x)，又MB1，則(y2)2x21，即知點(diǎn)A的軌跡是以P(0,2)為圓心，1為半徑為圓，則AMMPPA21.12如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA，CC的中點(diǎn)，過直線EF的平面分別與棱BB，DD分別交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)BMx，x0,1，給出以下四個(gè)結(jié)論：平面MENF平面BDDB；直線AC平面MENF始終成立；四邊形MENF周長Lf(x)，x0,1是單調(diào)函數(shù)；四棱錐CMENF的體積Vh(x)為常數(shù)以上結(jié)論正確的是_答案解析因?yàn)镋FBB，EFBD，BBBDB，所以EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB成立；因?yàn)锳CEF，所以直線AC平面MENF始終成立；因?yàn)镸F，f(x)4，所以f(x)在0,1上不是單調(diào)函數(shù)；VCMENFVFMCEVFCNE，故h(x)為常數(shù)13正四面體ABCD的棱長為6，其中AB平面，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC的中點(diǎn)，當(dāng)正四面體以AB為軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段EF在平面上的射影長的取值范圍是_答案3,3解析如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接GE，GF，EF，結(jié)合已知可得GFAB，在正四面體中，ABCD，又GECD，GEGF，EF2GE2GF2，當(dāng)四面體繞AB旋轉(zhuǎn)時(shí)，GF平面，GE與GF的垂直性保持不變，顯然當(dāng)CD與平面垂直時(shí)，GE在平面上的射影長最短為0，此時(shí)EF在平面上射影E1F1的長取得最小值3.當(dāng)CD與平面平行時(shí)，GE在平面上的射影長取得最大值3，E1F1取得最大值3，所以射影E1F1長度的取值范圍是3，314如圖，ACB90，DA平面ABC，AEDB交DB于E，AFDC交DC于F，且ADAB2，則三棱錐DAEF體積的最大值為_答案解析AD平面ABC，DAAB，ADBC，AEDB，又ADAB2，DE.又BCAC，ACADA，BC平面ACD，平面BCD平面ACD，AFDC，平面BCD平面ACDCD，AF平面ACD，AF平面BCD，AFBD，又AEBD，AFAEA，BD平面AEF，由AFEF，得AF2EF2AE222AFEF，即AFEF1，SAEF，當(dāng)且僅當(dāng)AFEF1時(shí)“”成立，三棱錐DAEF體積的最大值為.15.如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90，沿直線AC將ACD翻折成ACD，直線AC與BD所成角的余弦的最大值是_答案解析設(shè)直線AC與BD所成角為，平面ACD翻折的角度為，設(shè)O是AC中點(diǎn)，由已知得AC，如圖，以O(shè)B為x軸，OA為y軸，過O與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由A，B，C，作DHAC于H，翻折過程中，DH始終與AC垂直，CH，則OH，DH，因此可設(shè)D，則，與平行的單位向量為n(0,1,0)，所以cos|cos，n|，所以cos1時(shí)，cos取最大值.16已知等腰直角三角形ABC中，ABAC2，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿DE將ABC折成直二面角(如圖)，則四棱錐ADECB的外接球的表面積為_答案10解析因?yàn)锳DE為等腰直角三角形，所以ADE的外接圓的圓心在DE上，即平面ADE截四棱錐ADECB的外接球所得的截面圓的圓心在DE上，即在平面DECB內(nèi)，所以等腰梯形DECB的外接圓的半徑即為四棱錐ADECB的外接球的半徑以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則易得C(，0)，E，因?yàn)樗倪呅蜠ECB為等腰梯形，所以其外接圓的圓心在線段BC的垂直平分線上，設(shè)其坐標(biāo)為P(0，y)，則由|PC|PE|得，解得y，所以等腰梯形DECB的外接圓的半徑r|PC|，所以四棱錐ADECB的外接球的表面積為4r210.17如圖，矩形ABCD中，AB1，BC，將ABD沿對(duì)角線BD向上翻折，若翻折過程中AC長度在內(nèi)變化，則點(diǎn)A所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為_答案解析如圖1，過點(diǎn)A作AOBD，垂足為點(diǎn)O，過點(diǎn)C作直線AO的垂線，垂足為點(diǎn)E，則易得AOOE，CE1.在圖2中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得點(diǎn)A在點(diǎn)O為圓心，以AO為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且BD垂直于圓O所在的平面，又因?yàn)镃EBD，所以CE垂直于圓O所在的平面，設(shè)當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A1處時(shí)，CA1，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A2處時(shí)，CA2，則有CEEA1，CEEA2，則易得EA1，EA2，則易得OEA2是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，在OEA1中，由余弦定理得cosEOA1，所以EOA1120，所以A1OA230，所以點(diǎn)A所形成的軌跡為半徑為OA，圓心角為A1OA230的圓弧，所以運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為.