1.5.2綜合法和分析法1.理解綜合法和分析法的概念.2.會(huì)用綜合法、分析法證明較為簡(jiǎn)單的不等式.自學(xué)導(dǎo)引1. 綜合法：就是要從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理，逐步推導(dǎo)，從而最后導(dǎo)出要證明的命題.2.分析法：從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個(gè)命題成立的充分條件，利用已知的一些定理，逐步探索，最后達(dá)到命題所給出的條件(或者一個(gè)已證明過的定理或一個(gè)明顯的事實(shí)).基礎(chǔ)自測(cè)1.設(shè)a，bR，A，B，則A、B的大小關(guān)系是()A.aB B.ABC.A>B D.A<B解析要證>，只須證ab2>ab，即2>0，a，bR，2>0，A>B，選C.答案C2.若1<x<10，下面不等式中正確的是()A.(lg x)2<lg x2<lg(lg x)B.lg x2<(lg x)2<lg(lg x)C.(lg x)2<lg(lg x)<lg x2D.lg(lg x)<(lg x)2<lg x2解析1<x<10，0<lg x<1，lg(lg x)<0，x2>x，lg x2>lg x>(lg x)2，lg x2>(lg x)2>lg(lg x)，選D.答案D3.已知a，b，m都是正數(shù)，在空白處填上適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào).(1)當(dāng)a_b時(shí)，>，(2)當(dāng)a_b時(shí)，.解析當(dāng)a>b時(shí)，才有>，當(dāng)a<b時(shí)，才有.答案><知識(shí)點(diǎn)1綜合法證明不等式【例1】 已知a，b，cR，求證：.證明3111(abc)(ab)(bc)(ca)()33 .反思感悟：觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征：每個(gè)分式加1，分子就會(huì)含有因式abc，從而可以利用基本不等式.1.已知x，y，z是互不相等的正數(shù)且xyz1，求證：>8.證明x、y、z是互不相等的正數(shù)，且xyz1.1>，1>1>又0<x<1，>1.同理>1，>1>8.知識(shí)點(diǎn)2分析法證明不等式【例2】 已知函數(shù)f(x)lg，x，若x1，x2且x1x2，求證：f(x1)f(x2)>f.證明要證明原不等式，只需證明>.事實(shí)上：0<x1，x2<，x1x2，>0，>.即有l(wèi)g>lg，故f(x1)f(x2)>f.反思感悟：在分析法中，每次所尋求的應(yīng)是使上一個(gè)結(jié)論成立的充分條件或充要條件，若只找到結(jié)論成立的必要條件則不一定能得到相應(yīng)的結(jié)論.從而造成證明上的邏輯錯(cuò)誤.2.若a、bR，且ab1，求證： 2.證明 2ab12 4 1ab1ab.ab成立.原不等式成立.知識(shí)點(diǎn)3綜合利用綜合法與分析法證明不等式【例3】 在某兩個(gè)正數(shù)x，y之間，若插入一個(gè)數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列；若插入兩個(gè)數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：(a1)2(b1)(c1).證明由條件，得消去x，y，即得2a，且有a>0，b>0，c>0.要證(a1)2(b1)(c1)只需證a1要證2abc，而2a，只需證bc即b3c3bc(bc)，b2c2bcbc(bc)20，上式顯然成立(a1)2(b1)(c1)得證.反思感悟：綜合法和分析法是思路完全相反的兩種方法.分析法易于探求解題思路.綜合法易于表述，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，有時(shí)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.3.已知a、b是不等的正數(shù)，且a3b3a2b2.求證：1<ab<.證明a3b3a2b2，且aba2abb2ab. a、bR.(ab)2a22abb2>a2abb2ab，且ab>0，兩邊同除以ab，得ab>1.欲證ab<，即證3(ab)<4，由于ab>0，可證3(ab)2<4(ab)，而aba2abb2，即3(a22abb2)<4(a2abb2)，得a22abb2>0.(ab)2>0，ab，則不等式成立，故ab<成立.1<ab<.課堂小結(jié)用綜合法和分析法證明時(shí)應(yīng)注意證明的思路和方向上的差別，一個(gè)是“執(zhí)因索果”，而另一個(gè)則是“執(zhí)果求因”.在實(shí)際解題中，常用分析法思維，用綜合法表達(dá).對(duì)于比較復(fù)雜的問題，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.隨堂演練1.若a，b，cR，且abbcac1，則下列不等式成立的是() A.a2b2c22 B.(abc)23C.2 D.abc(abc)解析(abc)2a2b2c22ab2ac2bc3(abacbc)3，故應(yīng)選B.答案B2.已知0<a<1<b，下面等式中一定成立的是()A.logablogba2>0 B.logablogba2>0C.logablogba20 D.logablogba20解析0<a<1<b，則logab<0，logba<0，且logab，logablogba2，logablogba2220，選D.答案D3.求證：<2.證明<2()2<(2)2102<104<221<24故原不等式成立.4.已知x>0，y>0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因?yàn)閤>0，y>0，所以1xy23>0，1x2y3>0，故(1xy2)(1x2y)339xy.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.a>0，b>0，下列不等式中不成立的是()A.2 B.a2b22abC.ab D.2解析由(0，)且(0，)，得2 ，所以A成立，B顯然成立，不等式C可變形為a3b3a2bab2(a2b2)(ab)0.答案D2.設(shè)a、b、x、y均為正數(shù)，且a、b為常數(shù)，x、y為變量，若xy1，則的最大值為()A. B.C. D.解析，故選B.答案B3.已知x>y>z，且xyz0，下列不等式中成立的是()A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x|y|>z|y|解析由已知3x>xyz0，3z<xyz0，x>0，z<0.由得：xy>xz.答案C4.已知x>0，y>0，M，N，則M、N的大小關(guān)系是_.解析NNM>0，N>M.答案N>M5.設(shè)a、b、cR，且a、b、c不全相等，則不等式a3b3c33abc成立的一個(gè)充要條件是_.解析a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(abc)(ab)2(bc)2(ac)2而a、b、c不全相等(ab)2(bc)2(ac)2>0a3b3c33abcabc0.答案abc06.已知|a|<1，|b|<1，求證：<1.證明要證<1，只需證|ab|<|1ab|，也只需證a22abb2<12aba2b2，即證(1a2)b2(1a2)>0，也就是(1a2)(1b2)>0，|a|<1，|b|<1，最后一個(gè)不等式顯然成立.因此原不等式成立.綜合提高7.如果0<m<b<a，那么()A.cos<cos<cosB.cos<cos<cosC.cos<cos<cosD.cos<cos<cos解析用分析法易證(或用特值法)，0<<<<1.由ycos x在上是減函數(shù)可得.答案A8.設(shè)0<a<b，ab1，下列不等式正確的是()A.b<2ab<<a2b2B.2ab<a2b2<b<C.2ab<b<a2b2<D.2ab<a2b2<<b解析取a，b，分別計(jì)算即可.答案B9.已知a>b>c，則與的大小關(guān)系為_.解析ab>0，bc>0，.答案10.設(shè)abc，且恒成立，則m的取值范圍是_.解析abc，ab0，bc0，ac0.又(ac)(ab)(bc)224，m(，4.答案(，411.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，且a2b21，c2d21，求證：|acbd|1.證明方法一：(分析法)要證|acbd|1，只需證明(acbd)21.即證a2c22abcdb2d21.a2b21，c2d21.上式即證a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)，即證(adbc)20.a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，(adbc)20成立.|acbd|1.方法二：(綜合法)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2b21，c2d21，|acbd|ac|bd|1.方法三：(三角換元法)a2b21，c2d21，可令asin ，bcos ，csin ，dcos ，|acbd|sin sin cos cos |cos()|1.12.設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd.證明：(1)若abcd，則；(2)是|ab|cd|的充要條件.證明(1)因?yàn)?)2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，abcd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以abcd.由(1)，得.若，則()2()2，即ab2cd2.因?yàn)閍bcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.綜上，是|ab|cd|的充要條件.