直線的傾斜角和斜率一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 設(shè)點(diǎn)P是曲線y=x3-3x+35上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是( )A. 0,23 B. 0,2)23，)C. (2,23 D. 3,23（正確答案）B【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的傾斜角與斜率.先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的范圍，即曲線斜率的取值范圍，從而求出切線的傾斜角的范圍【解答】解：，tan-3，0,2)23,),故選B2. 已知直線2x-y-3=0的傾斜角為，則sin2的值是( )A. 14 B. 34 C. 45 D. 25（正確答案）C解：由直線2x-y-3=0方程，得直線2x-y-3=0的斜率k=2，直線2x-y-3=0的傾斜角為，tan=2，sin2=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2=221+22=45故選：C首先根據(jù)直線斜率求出的正切值，然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求即可計(jì)算得解本題考查直線斜率的意義，同角三角函數(shù)關(guān)系，倍角公式等三角恒等變換知識(shí)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題3. 函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的傾斜角為( )A. 0 B. 2 C. 3 D. 4（正確答案）D【分析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.先求出函數(shù)在切點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值，即為切線在此處的斜率，從而求得切線在此處的傾斜角【解答】解：函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為(1x2+12x)|x=1=1，設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的傾斜角為，則tan=1，=4，故選D4. 直線MN的斜率為2，其中點(diǎn)N(1,-1)，點(diǎn)M在直線y=x+1上，則( )A. M(5,7) B. M(4,5) C. M(2,1) D. M(2,3)（正確答案）B解：根據(jù)題意，設(shè)M的坐標(biāo)為(a,b)，若點(diǎn)M在直線y=x+1上，則有b=a+1， 若直線MN的斜率為2，則有b+1a-1=2， 聯(lián)立解可得a=4，b=5，即M的坐標(biāo)為(4,5)；故選：B設(shè)M的坐標(biāo)為(a,b)，根據(jù)題意可得b=a+1，b+1a-1=2，聯(lián)立解可得a=4，b=5，即可得答案本題考查直線的斜率計(jì)算，關(guān)鍵是掌握直線的斜率計(jì)算公式5. 一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為( )A. -53或-35 B. -32或-23 C. -54或-45 D. -43或-34（正確答案）D解：點(diǎn)A(-2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(2,-3)，故可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k(x-2)，化為kx-y-2k-3=0反射光線與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切，圓心(-3,2)到直線的距離d=|-3k-2-2k-3|k2+1=1，化為24k2+50k+24=0，k=-43或-34故選：D點(diǎn)A(-2,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A(2,-3)，可設(shè)反射光線所在直線的方程為：y+3=k(x-2)，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出本題考查了反射光線的性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、點(diǎn)斜式、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題6. 直線xsin+y+2=0的傾斜角的取值范圍是( )A. 0,) B. 0,434,) C. 0,4 D. 0,4(2，)（正確答案）B解：直線xsin+y+2=0的斜率為k=-sin，|sin|1，|k|1，傾斜角的取值范圍是0,434,)，故選：B由直線的方程可確定直線的斜率，可得其范圍，進(jìn)而可求傾斜角的取值范圍本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題7. 直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距取值范圍是(-3,3)，其斜率取值范圍是( )A. -1<k<15 B. k>1或k<12 C. k>15或k<1 D. k>12或k<-1（正確答案）D解：因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距取值范圍是(-3,3)， 所以直線端點(diǎn)的斜率分別為：2-01-3=-1，2-01+3=12，如圖：所以k>12或k<-1故選D直接利用直線斜率公式求出兩個(gè)端點(diǎn)的斜率，即可得到結(jié)果本題考查直線方程的應(yīng)用，直線的斜率范圍的求法，考查計(jì)算能力8. 已知直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P(1,2)，Q(4,3)，那么直線l的斜率為( )A. -3 B. -13 C. 13 D. 3（正確答案）C解：直線l的斜率k=3-24-1=13，故選：C利用斜率計(jì)算公式即可得出本題考查了斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9. 由射線y=43x(x0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到射線y=-512x(x0)的位置所成角為，則cos=( )A. -1665 B. 1665 C. -5665 D. 5665（正確答案）A解：如圖所示，由射線y=43x(x0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到射線y=-512x(x0)的位置所成角為，則tan=-512-431+43(-512)=-6316；sincos=-6316，即sin=-6316cos；sin2+cos2=3969256cos2+cos2=4225256cos2=1，cos=1665，應(yīng)取cos=-1665故選：A根據(jù)直線l1到l2的角的正切公式求出tan，再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出cos的值本題考查了直線l1到l2的角的正切公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題10. 若直線的參數(shù)方程為x=1+2ty=2-3t(t為參數(shù))，則直線的斜率為( )A. 23 B. -23 C. 32 D. -32（正確答案）D解：直線的參數(shù)方程為x=1+2ty=2-3t(t為參數(shù))，消去參數(shù)化為普通方程可得y=-32x+72故直線的斜率等于-32故選：D把直線的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程可得y=-32x+72，從而得到直線的斜率本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，根據(jù)直線的方程求直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題11. 設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2，曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率為( )A. 4 B. -14 C. 2 D. -12（正確答案）A解：f(x)=g(x)+2xy=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1，g(1)=2，f(1)=g(1)+21=2+2=4，y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處切線斜率為4故選：A欲求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率，即求f(1)，先求出f(x)，然后根據(jù)曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1求出g(1)，從而得到f(x)的解析式，即可求出所求本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，直線的斜率等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題12. 直線 l與直線y=1和x-y-7=0分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)，那么直線l的斜率是( )A. 23 B. -23 C. 32 D. -32（正確答案）B解：設(shè)P(a,1)，Q(b,b-7)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)，1=a+b2，-1=1+b-72 解得，a=-2，b=4 P(-2,1)，Q(4,-3)，直線l的斜率為：-3-14+2=-23 故選B 設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)重點(diǎn)公式求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)表示的斜率公式計(jì)算直線l的斜率本題考查直線的斜率公式、中點(diǎn)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)性試題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 直線l：x=tcosy=tsin(t為參數(shù))與圓C：(x+6)2+y2=25交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=10，則直線l 的斜率為_(kāi) （正確答案）153【分析】本題考查了直線參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題【解答】解：直線l：x=tcosy=tsin(t為參數(shù))與圓C：(x+6)2+y2=25聯(lián)立，可得t2+12tcos+11=0t1+t2=-12cos，t1t2=11|AB|=|t1-t2|=10(t1+t2)2-4t1t2=10，cos2=38，tan=153，直線AB的斜率為153故答案為15314. 曲線y=x3-2x+4在點(diǎn)(1,3)處的切線的傾斜角的弧度數(shù)為_(kāi)（正確答案）4解：y=3x2-2 令x=1得到切線的斜率k=3-2=1 設(shè)傾斜角為則tan=k=1 0 =4 故答案為4求出導(dǎo)函數(shù)，求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即切線的斜率，利用切線的斜率時(shí)傾斜角的正切值，再根據(jù)傾斜角的范圍求出傾斜角本題考查曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率、考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系15. 已知點(diǎn)P是圓C：x2+y2-8x-8y+28=0上任意一點(diǎn)，曲線N：x2+4y2=4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與曲線N交于點(diǎn)M，記直線MA，MB，OP的斜率分別為k1，k2，k3，則k1k2k3的取值范圍是_（正確答案）-4-712,-4+712本題考查直線的斜率問(wèn)題和圓的切線的斜率以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何意義等，考查內(nèi)容較多，可分開(kāi)分別求三個(gè)斜率，最后求出三者的積的范圍解：曲線N為橢圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(2,0)，B(2,0)，設(shè)M(a,b)，則k1=ba+2,k2=ba-2,k1k2=ba+2ba-2=b2a2-4，又點(diǎn)M滿(mǎn)足a2+4b2=4,即a2-4=-4b2所以k1k2=-14因?yàn)镻點(diǎn)在圓(x-4)2+(y-4)2=4上，所以當(dāng)過(guò)圓外一點(diǎn)(0,0)與圓上連線的為圓的切線時(shí)，斜率取得最大值和最小值.下面求過(guò)原點(diǎn)的圓的切線的斜率設(shè)切線為y=kx，則圓心(4,4)到直線的距離為半徑2，即|4k-4|1+k2=2，整理得3k2-8k+3=0，解得：k=4-73或k=4+73，所以4-73k34+73則-4-712k1k2k3-4+712故應(yīng)填-4-712,-4+71216. 直線xcos+3y+2=0的傾斜角范圍為_(kāi) （正確答案）0,656,)解：由于直線xcos+3y+2=0的斜率為-cos3，由于-1cos1，-33-cos333設(shè)此直線的傾斜角為，則0<，故-33tan330,656,)故答案為：0,656,)由于直線xcos+3y+2=0的斜率為-cos3，設(shè)此直線的傾斜角為，則0<，且-33tan33，由此求出的范圍本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(32,32)作傾斜角為的直線l與曲線C：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)M，N(1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程；(2)求 1|PM|+1|PN|的取值范圍（正確答案）解：(1)x=32+tcosy=32+tsin(t為參數(shù))(2)x=32+tcosy=32+tsin(t為參數(shù))代入x2+y2=1，得t2+(3cos+3sin)t+2=0，>0sin(+6)>631|PM|+1|PN|=-1t1-1t2=-(t1+t2)t1t2=3cos+3sin2=3sin(+6)(2,3(1)由直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)和直線的傾斜角求得直線的參數(shù)方程即可；(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義即可求得最終結(jié)果本題考查直線的參數(shù)方程，參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18. 過(guò)點(diǎn)P(-1,0)作傾斜角為a直線與曲線x23+y22=1相交于M、N兩點(diǎn)(1)寫(xiě)出直線MN的參數(shù)方程；(2)求PMPN的最小值（正確答案）解：(1)直線MN過(guò)點(diǎn)P(-1,0) 且傾斜角為a 直線MN的參數(shù)方程為：x=-1+tcosy=tsin(t為參數(shù))2分(2)將直線MN的參數(shù)方程代入曲線x23+y22=1得2(-1+tcos)2+3(tsin)2=6，整理得(3-cos2)t2-4cost-4=0，5分設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)分別為t1，t2，則|PM|PN|=|t1t2|=43-cos28分當(dāng)cos=0時(shí)，|PM|PN|取得最小值為4310分(1)由已知中直線MN過(guò)點(diǎn)P(-1,0)且傾斜角為a，根據(jù)直線參數(shù)方程的定義，將P點(diǎn)坐標(biāo)和傾斜角代入即可得到直線MN的參數(shù)方程；(2)將(1)中所得直線參數(shù)方程代入曲線x23+y22=1方程，并將其化為一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)|PM|PN|=|t1t2|，結(jié)合韋達(dá)定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出PMPN的最小值本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的參數(shù)方程與參數(shù)方程的優(yōu)越性，其中求出直線的方程，并正確理解參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是解答本題的關(guān)鍵19. 在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)傾斜角為的直線l：y=3+tsinx=2+tcos(t為參數(shù))與曲線C：y=sinx=2cos(為參數(shù))相交于不同兩點(diǎn)A，B(1)若=3，求線段AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若|PA|PB|=|OP|2，其中P(2,3)，求直線l的斜率（正確答案）解：(1)當(dāng)=3時(shí)，由y=3+tsinx=2+tcos，得y=3+32tx=2+12t，直線方程為y=3x-3，由y=sinx=2cos，得曲線C的普通方程為x24+y2=1，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)再由x24+y2=1y=3x-3，得：13x2-24x+8=0，x1+x22=1213，y1+y22=3(x1+x2)2-3=-313，M的坐標(biāo)為(1213,-313)；(2)把直線的參數(shù)方程代入x24+y2=1，得：(1+3sin2)t2+(83sin+4cos)t+12=0，t1t2=12(1+3sin2)，由|PA|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：121+3sin2=7，sin2=521，cos2=1621，得tan2=516，tan=54又=32cos(23sin-cos)>0，故取tan=54直線L的斜率為54(1)把直線和圓的參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩交點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，待入直線方程再求中點(diǎn)的縱坐標(biāo)；(2)把直線方程和圓的方程聯(lián)立，化為關(guān)于t的一元二次方程，運(yùn)用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，結(jié)合給出的等式求解直線的傾斜角的正切值，則斜率可求，本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系，解答此題(2)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是中檔題