課時跟蹤訓(xùn)練(二十四) 解三角形應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a，燈塔A在C的北偏東20，燈塔B在C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa B.aC.a D2a解析如圖所示，由余弦定理可知，AB2a2a22aacos1203a2得ABa.故選B.答案B2如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m解析由題意得B1804510530，由正弦定理得，AB50(m)答案A3兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10 B北偏西10C南偏東10 D南偏西10解析燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得ACB80，CABCBA50，則605010，即北偏西10.答案B4在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30，測得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析依題意畫出示意圖則CM1037.3.答案C5張曉華同學(xué)騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點(diǎn)B時與電視塔S的距離是()A2 km B3 km C3 km D2 km解析畫出示意圖如圖，由條件知AB246.在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BS3.答案B6在200米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30，60，則塔高為()A. 米 B. 米C. 米 D. 米解析作出示意圖如右圖，由已知，在RtOAC中，OA200，OAC30，則OCOAtanOAC200tan30.在RtABD中，AD，BAD30，則BDADtanBADtan30，BCCDBD200.答案A二、填空題7一船以每小時15 km的速度向正東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為_km.解析如圖所示，依題意有：AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)答案308(2017廣東廣州市高三綜合測試)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.解析如圖，由題意知，OA30，OAM45，OAN30，MON30.在RtAOM中，OMOAtanOAM30tan4530.在RtAON中，ONOAtanOAN30tan3010.在MON中，由余弦定理得MN 10(m)答案109(2018山西大學(xué)附中檢測)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于_m.解析如圖，ACD30，ABD75，AD60 m, 在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案120(1)三、解答題10.港口A北偏東30方向的C處有一檢查站，港口正東方向的B處有一輪船，距離檢查站為31海里，該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達(dá)D處觀測站，已知觀測站與檢查站距離21海里，問此時輪船離港口A還有多遠(yuǎn)？解在BDC中，BC31，BD20，CD21，由余弦定理知，cosCDB，sinCDB.sinACDsinsinCDBcoscosCDBsin .在ACD中，由正弦定理知AD2115.此時輪船距港口還有15海里能力提升11(2017山西太原模擬)某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn)1000 m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0 ，則山的高度BC為()A500(1)m B500 mC500(1)m D1000 m解析過點(diǎn)D作DEAC交BC于E，因為DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故ABD15，由正弦定理，得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin45500(1)(m)答案A12某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進(jìn)10米到D，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為()A15米 B5米 C10米 D12米解析如圖，設(shè)塔高為h，在RtAOC中，ACO45，則OCOAh.在RtAOD中，ADO30，則ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍)答案C13甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，則甲船應(yīng)取方向_才能追上乙船；追上時甲船行駛了_海里解析如圖所示，設(shè)到C點(diǎn)甲船追上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v，則BCtv，ACtv，B120，由正弦定理知，sinCAB，CAB30，ACB30，BCABa，AC2AB2BC22ABBCcos120a2a22a23a2，ACa.答案北偏東30a14. (2017廣東省五校協(xié)作體高三一診)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的A處測得DAC15，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)B處，又測得DBC45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos_.解析由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由內(nèi)角和定理可得DCB180(45)4590，根據(jù)正弦定理可得，即DB100sin15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos1.答案115.海島B上有一座高為10米的塔，塔頂有一個觀測站A，上午11時測得一游船位于島北偏東15方向上，且俯角為30的C處，一分鐘后測得該游船位于島北偏西75方向上，且俯角為45的D處(假設(shè)游船勻速行駛)(1)求該船行駛的速度(單位：米/分鐘)；(2)又經(jīng)過一段時間后，游船到達(dá)海島B的正西方向E處，問此時游船距離海島B多遠(yuǎn)？解(1)在RtABC中，BAC60，AB10，則BC10米；在RtABD中，BAD45，AB10，則BD10米；在BCD中，DBC751590，則CD 20米所以速度v20米/分鐘(2)在RtBCD中，BCD30，又因為DBE15，所以CBE105，所以CEB45.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB5米延伸拓展(2017江西宜春段考)某工廠實施煤改電工程防治霧霾，欲拆除高為AB的煙囪，測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C，D，測得BCD75，BDC60，CD40米，并在點(diǎn)C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30，且CE1米，則煙囪高AB_米解析CBD180BCDBDC45，在CBD中，根據(jù)正弦定理得BC20，AB1tan30CB120(米)答案120