第12章 選修4系列 第2講A組基礎(chǔ)關(guān)1(2019四川達州模擬)在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，tR)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為asin(a0)(1)求圓C的直角坐標方程與直線l的普通方程；(2)設(shè)直線l截圓C的弦長為半徑長的倍，求a的值解(1)圓C的直角坐標方程為x22.直線l的普通方程為4x3y80.(2)圓C：x22a2，直線l：4x3y80，直線l截圓C的弦長等于圓C的半徑長的倍，圓心C到直線l的距離d，解得a32或a.2(2018蕪湖模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，aR)，以坐標原點為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為cos22cos0.(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；(2)已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點(P在A，B之間)，且|PA|2|PB|，求實數(shù)a的值解(1)將C1的參數(shù)方程消參得普通方程為xya10，C2的極坐標方程為cos22cos0兩邊同乘得2cos22cos20即y22x.(2)將曲線C1的參數(shù)方程代入曲線C2：y22x得t22t12a0，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，由題意得|t1|2|t2|，且P在A，B之間，則t12t2，由解得a.3(2018石家莊一模)在平面直角坐標系中，將曲線C1上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C1的極坐標方程為2.(1)求曲線C2的參數(shù)方程；(2)過坐標原點O且關(guān)于y軸對稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點A在第一象限，當四邊形ABCD的周長最大時，求直線l1的普通方程解(1)由2，得24，所以曲線C1的直角坐標方程為x2y24.故由題意可得曲線C2的直角坐標方程為y21.所以曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)設(shè)四邊形ABCD的周長為l，點A(2cos，sin)，則l8cos4sin4sin()，所以當2k(kZ)時，l取得最大值，最大值為4，此時2k(kZ)，所以2cos2sin，sincos，此時A.所以直線l1的普通方程為x4y0.4已知直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，圓C的極坐標方程為4cos.(1)求圓心C的直角坐標；(2)由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值解(1)4cos2cos2sin，22cos2sin，圓C的直角坐標方程為x2y22x2y0，即(x)2(y)24.圓心C的直角坐標為(，)(2)由直線l上的點向圓C引切線，則切線長為，又4，由直線l上的點向圓C引切線，切線長的最小值為4.B組能力關(guān)1在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：sin2cos，將曲線C上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半，然后再向右平移一個單位得到曲線C2，又已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(1)求曲線C2的直角坐標方程；(2)設(shè)定點P(2,0)，求的值解(1)曲線C的直角坐標方程為y2x，將曲線C上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的一半，得到曲線y22x，然后再向右平移一個單位得到曲線C2：y22(x1)(2)將曲線C1的參數(shù)方程(t是參數(shù))代入曲線C2的方程得t22t40.設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t22，t1t24，.2(2017全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)若a1，求C與l的交點坐標；(2)若C上的點到l距離的最大值為，求a.解(1)曲線C的普通方程為y21.當a1時，直線l的普通方程為x4y30.由解得或從而C與l的交點坐標為(3,0)，.(2)直線l的普通方程為x4ya40，故C上的點(3cos，sin)到l的距離為d.當a4時，d的最大值為 .由題設(shè)得，所以a8；當a4時，d的最大值為.由題設(shè)得，所以a16.綜上，a8或a16.3在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：4cos.(1)當m1，30時，判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；(2)當m1時，若直線l與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)P(1,0)，且|PA|PB|1，求直線l的傾斜角解(1)由4cos，得24cos，又xcos，ysin，所以曲線C的直角坐標方程為(x2)2y24，所以曲線C是以點M(2,0)為圓心，2為半徑的圓由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，得直線l的直角坐標方程為xy10.由圓心M到直線l的距離d<2，可知直線l與曲線C相交(2)由題意可得直線l是經(jīng)過點P(1,0)，傾斜角為的直線，將代入(x2)2y24，整理得t22tcos30，(2cos)212>0.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t22cos，t1t23<0，所以t1，t2異號，則|PA|PB|t1t2|2cos|1，所以cos.又0，)，所以直線l的傾斜角為或.4(2018全國卷)在平面直角坐標系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標方程為x2y21.當時，l與O交于兩點當時，記tank，則l的方程為ykx.l與O交于兩點當且僅當<1，解得k<1或k>1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又點P的坐標(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是.