第4節(jié)直線、平面平行的判定及其性質最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題知 識 梳 理1直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面沒有公共點，則稱直線l與平面平行(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線平行于此平面a，b，aba性質定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a，a，bab2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a，b，abP，a，b性質定理兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一個平面，aa如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行，a，bab3.與垂直相關的平行的判定(1)a，bab(2)a，a常用結論與微點提醒1平行關系轉化2平面與平面平行的六個性質(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例(5)如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行(6)如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行診 斷 自 測1思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行()(2)若直線a平面，P，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條()(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行()(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面()解析(1)若一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內，故(1)錯誤(2)若a，P，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤答案(1)(2)(3)(4)2下列命題中，正確的是()A若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經過b的任何平面B若直線a和平面滿足a，那么a與內的任何直線平行C若直線a，b和平面滿足a，b，那么abD若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b解析根據(jù)線面平行的判定與性質定理知，選D.答案D3設，是兩個不同的平面，m是直線且m.“m”是“”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析當m時，可能，也可能與相交當時，由m可知，m.“m”是“”的必要不充分條件答案B4(必修2P56練習2改編)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關系為_解析連接BD，設BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點，E為DD1的中點，所以EO為BDD1的中位線，則BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行5用一個截面去截正三棱柱ABCA1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分別于E，F(xiàn)，G，H四點，已知A1A>A1C1，則截面的形狀可以是_(把你認為可能的結果都填上)解析由題意知，當截面平行于側棱時所得截面為矩形，當截面與側棱不平行時，所得的截面是梯形答案矩形或梯形6(2018麗水月考)設，為三個不同的平面，a，b為直線(1)若，則與的關系是_；(2)若a，b，ab，則與的關系是_解析(1)由，.(2)a，abb，又b，從而.答案(1)平行(2)平行考點一線面、面面平行的相關命題的真假判斷【例1】 (一題多解)(2017全國卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()解析法一對于選項B，如圖(1)所示，連接CD，因為ABCD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可證選項C，D中均有AB平面MNQ.因此A項不正確圖(1)圖(2)法二對于選項A，其中O為BC的中點(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQAB，因為OQ與平面MNQ有交點，所以AB與平面MNQ有交點，即AB與平面MNQ不平行A項不正確答案A規(guī)律方法(1)判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項(2)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確【訓練1】 (2018金華測試)設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，m，則m；若m，n，mn，則.其中是真命題的是_(填上正確命題的序號)解析mn或m，n異面，故錯誤；易知正確；m或m，故錯誤；或與相交，故錯誤答案考點二直線與平面平行的判定與性質(多維探究)命題角度1直線與平面平行的判定【例21】 (2016全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點(1)證明：MN平面PAB；(2)求四面體NBCM的體積(1)證明由已知得AMAD2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因為PA平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.如圖，取BC的中點E，連接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM42.所以四面體NBCM的體積VNBCMSBCM.命題角度2直線與平面平行性質定理的應用【例22】 如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)證明：GHEF；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積(1)證明因為BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PAPC，O是AC的中點，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面ABCD內，所以PO底面ABCD.又因為平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因為平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD.所以POGK，且GK底面ABCD，又EF平面ABCD，從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，從而KBDBOB，即K為OB的中點再由POGK得GKPO，即G是PB的中點，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四邊形GEFH的面積SGK318.規(guī)律方法(1)判斷或證明線面平行的常用方法有：利用反證法(線面平行的定義)；利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；利用面面平行的性質定理(，aa)；利用面面平行的性質(，a，aa)(2)利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內與已知直線平行的直線常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線【訓練2】 在四棱錐PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點(1)求證：AP平面BEF；(2)求證：GH平面PAD.證明(1)連接EC，ADBC，BCAD，E為AD的中點，BC綉AE，四邊形ABCE是平行四邊形，O為AC的中點，又F是PC的中點，F(xiàn)OAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)連接FH，OH，F(xiàn)，H分別是PC，CD的中點，F(xiàn)HPD，又PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，F(xiàn)H平面PAD.又O是BE的中點，H是CD的中點，OHAD，又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.考點三面面平行的判定與性質(變式遷移)【例3】 (經典母題)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點，GH是A1B1C1的中位線，則GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面(2)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB，A1G綉EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.又A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.【變式遷移1】 如圖，在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD平面A1B1BA.證明如圖所示，連接A1B.D為BC1的中點，H為A1C1的中點，HDA1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.【變式遷移2】 在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D平面AB1D1”，試求的值解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O，所以BC1D1O，則1.又由題設，1，即1.規(guī)律方法(1)判定面面平行的主要方法利用面面平行的判定定理線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行)(2)面面平行的性質定理兩平面平行，則一個平面內的直線平行于另一平面若一平面與兩平行平面相交，則交線平行提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時需要說明是一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行【訓練3】 (2016山東卷)在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EFDB.(1)已知ABBC，AEEC.求證：ACFB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點求證：GH平面ABC.證明(1)因為EFDB，所以EF與DB確定平面BDEF，圖如圖，連接DE.因為AEEC，D為AC的中點，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF.因為FB平面BDEF，所以ACFB.(2)如圖，設FC的中點為I，連接GI，HI.圖在CEF中，因為G是CE的中點，所以GIEF.又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因為H是FB的中點，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC，因為GH平面GHI，所以GH平面ABC.基礎鞏固題組一、選擇題1設m，n是不同的直線，是不同的平面，且m，n，則“”是“m且n”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析若m，n，則m且n；反之若m，n，m且n，則與相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要條件答案A2有下列命題：若直線l平行于平面內的無數(shù)條直線，則直線l；若直線a在平面外，則a；若直線ab，b，則a；若直線ab，b，則a平行于平面內的無數(shù)條直線其中真命題的個數(shù)是()A1 B2C3 D4解析命題l可以在平面內，不正確；命題直線a與平面可以是相交關系，不正確；命題a可以在平面內，不正確；命題正確答案A3.如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是()A異面 B平行C相交 D以上均有可能解析在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC，過A1B1的平面與平面ABC交于DE.DEA1B1，DEAB.答案B4下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號是()A B C D解析中，易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB，可得出AB平面MNP(如圖)中，NPAB，能得出AB平面MNP.在中不能判定AB平面MNP.答案B5(2018嘉興測試)已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是()A若m，n，則mn B若m，n，則mnC若m，mn，則n D若m，mn，則n解析若m，n，則m，n平行、相交或異面，A錯；若m，n，則mn，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內任一直線，B正確；若m，mn，則n或n，C錯；若m，mn，則n與可能相交，可能平行，也可能n，D錯答案B6(2018湖州調研)已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面()A若m，m，則 B若m，m，則C若m，n，則mn D若m，n，則mn解析若m，m，則，可能平行或相交，A錯誤；若m，m，則，B錯誤；若m，n，則mn，C錯誤； 若m，n，則mn，D正確，故選D.答案D二、填空題7(2017臺州月考)在四面體ABCD中，M，N分別是ACD，BCD的重心，則MN與平面ABD的位置關系是_；與平面ABC的位置關系是_解析如圖，取CD的中點E.連接AE，BE，由于M，N分別是ACD，BCD的重心，所以AE，BE分別過M，N，則EMMA12，ENBN12，所以MNAB.因為AB平面ABD，MN平面ABD，AB平面ABC，MN平面ABC，所以MN平面ABD，MN平面ABC.答案平行平行8(2017寧波調研)如圖，四棱錐PABCD的底面是一直角梯形，ABCD，BAAD，CD2AB，PA底面ABCD，E為PC的中點，則BE與平面PAD的位置關系為_解析取PD的中點F，連接EF，AF，在PCD中，EF綉CD.又ABCD且CD2AB，EF綉AB，四邊形ABEF是平行四邊形，EBAF.又EB平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD.答案平行9設m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：若m，n，則mn；若，m，則m；若n，mn，則m，且m；若，則.其中真命題的個數(shù)為_解析若m，n，則m，n可能平行或異面，錯誤；若，則，又m，則m，正確；若n，mn，則m或m或m或m，錯誤；若，則，可能平行或相交，錯誤，則真命題個數(shù)為1.答案110.如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件_時，就有MN平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只需MFH，則MN平面FHN，MN平面B1BDD1.答案點M在線段FH上(或點M與點H重合)三、解答題11一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論解(1)點F，G，H的位置如圖所示(2)平面BEG平面ACH，證明如下：因為ABCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.12.如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(1)證明：PB平面AEC；(2)設AP1，AD，三棱錐PABD的體積V，求A到平面PBC的距離(1)證明設BD與AC的交點為O，連接EO.因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點又E為PD的中點，所以EOPB.又因為EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解VPAABADAB.由V，可得AB.作AHPB交PB于H.由題設知ABBC，PABC，且PAABA，所以BC平面PAB，又AH平面PAB，所以BCAH，又PBBCB，故AH平面PBC.在RtPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH.所以A到平面PBC的距離為.能力提升題組13給出下列關于互不相同的直線l，m，n和平面，的三個命題：若l與m為異面直線，l，m，則；若，l，m，則lm；若l，m，n，l，則mn.其中真命題的個數(shù)為()A3 B2 C1 D0解析中當與不平行時，也可能存在符合題意的l，m；中l(wèi)與m也可能異面；中l(wèi)n，同理，lm，則mn，正確答案C14.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結論中，錯誤的是()AACBDBAC截面PQMNCACBDD異面直線PM與BD所成的角為45解析因為截面PQMN是正方形，所以MNQP，又PQ平面ABC，MN平面ABC，則MN平面ABC，由線面平行的性質知MNAC，又MN平面PQMN，AC平面PQMN，則AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，則ACBD，故A，B正確又因為BDMQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45，故D正確答案C15(2018紹興一中適應性檢測)如圖所示，棱柱ABCA1B1C1的側面BCC1B1是菱形，設D是A1C1上的點且A1B平面B1CD，則A1DDC1的值為_解析設BC1B1CO，連接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD，四邊形BCC1B1是菱形，O為BC1的中點，D為A1C1的中點，則A1DDC11.答案116.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.設AB1的中點為D，B1CBC1E.求證：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.證明(1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DEAC.又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因為棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因為AC平面ABC，所以ACCC1.又因為ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因為BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因為BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因為AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因為AB1平面B1AC，所以BC1AB1.17(2018杭州七校聯(lián)考)如圖，在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)證明：AA1BD；(2)證明：CC1平面A1BD.證明(1)因為D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.又AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理，得BDAD，所以AD2BD2AB2，即ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)如圖，連接AC，A1C1.設ACBDE，連接EA1.因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以ECAC.由棱臺定義及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四邊形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1EA1.又EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.