二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.2.了解貝努利不等式，并會(huì)證明貝努利不等式.3.體會(huì)歸納猜想證明的思想方法知識(shí)點(diǎn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式思考1用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題必須注意的步驟是什么？答案(1)歸納奠基：驗(yàn)證初始值nn0.(2)歸納遞推：在假設(shè)nk(kn0，kN)成立的前提下，證明nk1時(shí)問(wèn)題成立思考2證明不等式與證明等式有什么不同？答案證明不等式需注意的是對(duì)式子進(jìn)行“放縮”梳理(1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由nk時(shí)命題成立，推導(dǎo)nk1命題成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行(2)貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，則有(1x)n1nx.(3)貝努利不等式的推廣事實(shí)上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)時(shí)，仍有類似不等式成立當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足1或者0時(shí)，有(1x)1x(x1)；當(dāng)是實(shí)數(shù)，并且滿足01時(shí)，有(1x)1x(x1)類型一數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式例1證明：12(nN，n2)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊2，由于，因此命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k2)時(shí)，命題成立，即12.當(dāng)nk1時(shí)，12222，即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切nN，n2都成立反思與感悟在歸納遞推過(guò)程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題時(shí)常用的方法之一跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n(nN，n1)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，即1<k，則當(dāng)nk1時(shí)，有1<k<kk1，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由(1)(2)知，對(duì)于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立類型二利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：SSS(n1且nN)(1)解是等差數(shù)列，證明如下：S1a1，所以2.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，且2n.(2)證明當(dāng)n1時(shí)，S，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，不等式成立，即SSS成立，則當(dāng)nk1時(shí)，SSSS.即當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立由可知，對(duì)任意nN不等式都成立反思與感悟(1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問(wèn)題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，這是解決這類問(wèn)題的基礎(chǔ)(2)此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān)，有時(shí)要證明的式子是直接給出，有時(shí)是根據(jù)條件從前幾項(xiàng)入手，通過(guò)觀察、猜想，歸納出一個(gè)式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明跟蹤訓(xùn)練2設(shè)0a1，定義a11a，an1a，求證：對(duì)一切正整數(shù)n，有1an.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，a11，a11a，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，命題成立，即1ak.當(dāng)nk1時(shí)，由遞推公式知，ak1a(1a)a1.同時(shí)，ak1a1a，故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立，即1ak1.綜合(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，有1an.1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN)，第一步驗(yàn)證()An1Bn2Cn3Dn4答案C解析由題意知，n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3是否成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明“Sn1(nN)”時(shí)，S1等于()A.B.C.D.答案D解析S1.3用數(shù)學(xué)歸納法證明.假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案解析當(dāng)nk1時(shí)，目標(biāo)不等式為.4若不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論解當(dāng)n1時(shí)，即，a26.又aN，正整數(shù)a的最大值為25.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n1時(shí)，不等式顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，成立當(dāng)nk1時(shí)，有.，0，即nk1時(shí)不等式也成立由(1)(2)知，對(duì)一切nN，都有.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(1)證明不等式時(shí)，由nk到nk1的推證過(guò)程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們?cè)谧C明時(shí)，對(duì)原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到nk時(shí)的假設(shè)，所以需要認(rèn)真分析，適當(dāng)放縮，才能使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常用的方法之一(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過(guò)程一、選擇題1對(duì)于不等式n1(nN)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1，nk1時(shí)，不等式成立則上述證法()A過(guò)程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析證明過(guò)程中，當(dāng)nk1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用nk時(shí)的歸納假設(shè)，故選D.2用數(shù)學(xué)歸納法證明1<2(n2，nN)的第一步需證明()A1<2B1<2C1<2D1<2答案C3若不等式對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D不存在答案B解析令f(n)，取n2,3,4,5等值，發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞增的，所以f(n)min，由f(2)，得m的最大值為13.4對(duì)于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n10.1nD0.1n10.9n答案C解析由貝努利不等式(1x)n1nx(nN，x1)，得當(dāng)x2時(shí)，即3n12n成立；當(dāng)x0.1時(shí)，0.9n10.1n成立；當(dāng)x0.9時(shí)，0.1n10.9n成立0.9n10.1n不成立5若不等式對(duì)nk成立，則它對(duì)nk2也成立若該不等式對(duì)n2成立，則下列結(jié)論正確的是()A該不等式對(duì)所有正整數(shù)n都成立B該不等式對(duì)所有正偶數(shù)n都成立C該不等式對(duì)所有正奇數(shù)n都成立D該不等式對(duì)所有自然數(shù)n都成立答案B解析因?yàn)楫?dāng)n2時(shí)，不等式成立，且該不等式對(duì)nk2也成立，所以該不等式對(duì)所有的正偶數(shù)n都成立6設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計(jì)算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.觀察上述結(jié)果，可推測(cè)出一般結(jié)論()Af(2n)>Bf(n2)>Cf(2n)D以上都不正確答案C解析由f(2)，f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，可推測(cè)出f(2n).二、填空題7證明：1n1(n1)，當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為_答案213解析當(dāng)n2時(shí)，要證明的式子為213.8以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN時(shí)，2nn2”的過(guò)程，證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，2112，不等式顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)不等式成立，即2kk2.那么，當(dāng)nk1時(shí)，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)任何nN不等式都成立其中錯(cuò)誤的步驟為_(填序號(hào))答案(2)解析在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，這是一個(gè)不確定的結(jié)論如k2時(shí)，k22k1.9用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的自然數(shù)n，總有2n>n3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)值n0最小應(yīng)當(dāng)是_答案1010用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取_答案5解析n取1,2,3,4時(shí)不等式不成立，起始值為5.三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式>成立證明(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1，右邊，左邊>右邊，所以不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時(shí)，不等式成立，即>，那么當(dāng)nk1時(shí)，>>，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立12已知Sn1(n1，且nN)，求證：1.證明(1)當(dāng)n2時(shí)，11，即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)，命題成立，即11.當(dāng)nk1時(shí)，1共項(xiàng)1111，故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由(1)(2)知，對(duì)nN，n2，1成立13已知遞增等差數(shù)列an滿足：a11，且a1，a2，a4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若不等式對(duì)任意nN恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)m的最小值，并證明解(1)設(shè)數(shù)列an公差為d(d>0)，由題意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等價(jià)于，當(dāng)n1時(shí)，m；當(dāng)n2時(shí)，m；而>，所以猜想，m的最小值為.下面證不等式對(duì)任意nN恒成立證明：當(dāng)n1時(shí)，命題成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)，不等式成立，當(dāng)nk1時(shí)，只需證，只需證，只需證2k2，只需證4k28k34k28k4，即證34，顯然成立所以，對(duì)任意nN，不等式恒成立四、探究與拓展14求證：(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊1，左邊右邊，所以不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)不等式成立，即成立，則當(dāng)nk1時(shí)，只需證明即可，即證，即證，即證(1)，而當(dāng)k1時(shí)上式顯然成立，所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)可知，不等式對(duì)所有nN都成立