第十五講概率1.(2018課標(biāo)全國(guó),5,5分)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金支付,也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.72.(2018陜西質(zhì)量檢測(cè)一)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率為()A.12B.13C.14D.153.為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中,余下的2種顏色的花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花種在同一花壇的概率是()A.110B.12C.13D.564.(2018湖北武漢調(diào)研)標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各1張,從這5張卡片中隨機(jī)抽取1張,不放回地再隨機(jī)抽取1張,則抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率為()A.12B.15C.35D.255.(2018安徽合肥模擬)某單位實(shí)行上班刷卡制度,規(guī)定每天8:30上班,有15分鐘的有效刷卡時(shí)間(即8:158:30),一名職工在7:50到8:30之間到達(dá)單位且到達(dá)單位的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他能有效刷卡上班的概率是()A.23B.58C.13D.386.(2018河南洛陽(yáng)模擬)在區(qū)間(0,2)內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則滿足2x-y0,y0,x-a0的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成區(qū)域的面積大于1的概率是()A.18B.14C.12D.347.(2018廣東廣州調(diào)研)如圖,四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2的大正方形,直角三角形中較小的銳角=6,若向該大正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在中間小正方形區(qū)域內(nèi)的概率是.8.(2018福建福州模擬)某商店隨機(jī)將三幅分別印有福州三寶(脫胎漆器、角梳、油紙傘)的宣傳畫(huà)并排貼在同一面墻上,則角梳與油紙傘的宣傳畫(huà)相鄰的概率是.9.(2018重慶第一次調(diào)研)已知圓C:(x-2)2+y2=2,直線l:y=kx,其中k為-3,3內(nèi)的任意一個(gè)數(shù),則事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率為.10.已知定義在區(qū)間-3,3上的函數(shù)f(x)=2x+m滿足f(2)=6,在-3,3上任取一個(gè)實(shí)數(shù)x,則使得f(x)的值不小于4的概率為.11.(2018安徽合肥模擬)中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)是央視推出的一檔以“賞中華詩(shī)詞,尋文化基因,品生活之美”為宗旨的大型文化類(lèi)競(jìng)賽節(jié)目,邀請(qǐng)全國(guó)各個(gè)年齡段、各個(gè)領(lǐng)域的詩(shī)詞愛(ài)好者共同參與詩(shī)詞知識(shí)比拼.“百人團(tuán)”由一百多位來(lái)自全國(guó)各地的選手組成,成員上至古稀老人,下至垂髫小兒,人數(shù)按照年齡分組統(tǒng)計(jì)如下表:年齡/歲7,20)20,40)40,80頻數(shù)185436(1)用分層抽樣的方法從“百人團(tuán)”中抽取6人參加挑戰(zhàn),求從這三個(gè)不同年齡組中分別抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù);(2)從(1)中抽出的6人中任選2人參加一對(duì)一的對(duì)抗比賽,求這2人來(lái)自同一年齡組的概率.12.(2018貴州貴陽(yáng)模擬)某高校學(xué)生社團(tuán)為了解“大數(shù)據(jù)時(shí)代”下大學(xué)生就業(yè)情況的滿意度,對(duì)20名畢業(yè)生進(jìn)行問(wèn)卷計(jì)分調(diào)查(滿分100分),得到如圖所示的莖葉圖.(1)計(jì)算男生打分的平均分,觀察莖葉圖,評(píng)價(jià)男、女生打分的分散程度;(2)從打分在80分以上的畢業(yè)生中隨機(jī)抽取3人,求有2女1男被抽中的概率.13.(2018河北石家莊質(zhì)量檢測(cè))某學(xué)校為了解高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的復(fù)習(xí)效果,現(xiàn)從高三學(xué)生第一學(xué)期期中考試的成績(jī)中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(單位:分),按90,100),100,110),140,150分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求m的值及這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)x;(2)該學(xué)校為制訂下階段的復(fù)習(xí)計(jì)劃,現(xiàn)需從成績(jī)?cè)?30,140)內(nèi)的學(xué)生中任選3名作為代表進(jìn)行座談,若成績(jī)?cè)?30,140)內(nèi)的學(xué)生中男、女比例為21,求至少有1名女生參加座談的概率.14.據(jù)某市房地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院的數(shù)據(jù)顯示,該市2016年各月新建住宅銷(xiāo)售均價(jià)走勢(shì)如圖所示,為抑制房?jī)r(jià)過(guò)快上漲,政府從8月份開(kāi)始采取宏觀調(diào)控措施,10月份開(kāi)始房?jī)r(jià)得到抑制.(1)房地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院研究發(fā)現(xiàn),3月至7月的各月新建住宅銷(xiāo)售均價(jià)y(單位:萬(wàn)元/米2)與月份x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,試建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),若政府不調(diào)控,依據(jù)相關(guān)關(guān)系預(yù)測(cè)該市在12月份的新建住宅銷(xiāo)售均價(jià);(2)房地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院在2016年的12個(gè)月份中,隨機(jī)抽取2個(gè)月份的數(shù)據(jù)作為樣本進(jìn)行分析,若關(guān)注所抽的2個(gè)月份所屬的季度,求樣本中的2個(gè)月份恰好在不同季度的概率.參考數(shù)據(jù):線性回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)的計(jì)算公式分別為b=ni=1(xi-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2,a=y-bx.答案精解精析1.B設(shè)事件A為“不用現(xiàn)金支付”,事件B為“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”,事件C為“只用現(xiàn)金支付”,則P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.15-0.45=0.4.故選B.2.A從1,2,3,4中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),有12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共12種結(jié)果,其中大于30的兩位數(shù)有31,32,34,41,42,43,共6個(gè),所以這個(gè)兩位數(shù)大于30的概率P=612=12.故選A.3.C把4種顏色的花種在兩個(gè)花壇中的所有情況為(紅,黃),(白,紫);(紅,白),(黃,紫);(紅,紫),(黃,白);(黃,白),(紅,紫);(黃,紫),(紅,白);(白,紫),(紅,黃),共有6種,其中紅色和紫色的花種在同一花壇的情況有2種,所以紅色和紫色的花種在同一花壇的概率P=26=13.故選C.4.A5張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4,5,從這5張卡片中隨機(jī)抽取2張,基本事件的總數(shù)n=54=20,抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的情況有:第1張抽到2,第2張抽到1;第1張抽到3,第2張抽到1或2;第1張抽到4,第2張抽到1或2或3;第1張抽到5,第2張抽到1或2或3或4.共10種.故抽取的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率P=1020=12,故選A.5.D該職工在7:50到8:30之間到達(dá)單位且到達(dá)單位的時(shí)刻是隨機(jī)的,設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫€段AB,且AB=40,職工的有效刷卡時(shí)間是8:15到8:30之間,設(shè)其構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫€段CB,且CB=15,如圖,所以該職工有效刷卡上班的概率P=1540=38,故選D.6.C作出約束條件2x-y0,y0,x-a0表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分所示,則陰影部分的面積S=12a2a=a2>1,1<a<2,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率為2-12-0=12,故選C.7.答案1-32解析在每個(gè)直角三角形中,斜邊長(zhǎng)為2,有一個(gè)內(nèi)角為6,所以每個(gè)直角三角形的面積S=32,所以所求概率P=4-4324=1-32.8.答案23解析記脫胎漆器、角梳、油紙傘的宣傳畫(huà)分別為a、b、c,則并排貼的情況有abc,acb,bac,bca,cab,cba,共6種,其中b,c相鄰的情況有abc,acb,bca,cba,共4種,故由古典概型的概率計(jì)算公式得所求概率P=46=23.9.答案1-33解析當(dāng)直線l與圓C相離時(shí),圓心C到直線l的距離d=|2k|k2+1>2,解得k>1或k<-1,又k-3,3,所以-3k<-1或1<k3,故事件“直線l與圓C相離”發(fā)生的概率P=(3-1)+(-1+3)23=3-33=1-33.10.答案13解析f(2)=6,22+m=6,解得m=2.f(x)4,2x+24,x1,而x-3,3,故根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,得f(x)的值不小于4的概率P=26=13.11.解析(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體容量的比是6108=118,所以從年齡在7,20)段中抽取的人數(shù)為11818=1,從年齡在20,40)段中抽取的人數(shù)為11854=3,從年齡在40,80段中抽取的人數(shù)為11836=2,所以從年齡在7,20),20,40),40,80段中抽取的挑戰(zhàn)者的人數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)從7,20)中抽取的1人為a,從20,40)中抽取的3人分別為b,c,d,從40,80中抽取的2人分別為e,f.從這6人中任取2人構(gòu)成的所有基本事件為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15個(gè),每人被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的,記事件A為“2人來(lái)自同一年齡組”,包含(b,c),(b,d),(c,d),(e,f),共4個(gè)基本事件,則P(A)=415,故2人來(lái)自同一年齡組的概率為415.12.解析(1)男生打分的平均分為110(55+53+62+65+71+70+73+74+86+81)=69分.由莖葉圖知,女生打分比較集中,男生打分比較分散.(2)因?yàn)榇蚍衷?0分以上的有3女2男,記3名女生分別為A1,A2,A3,2名男生分別為B1,B2,從中隨機(jī)抽取3人的基本事件為A1A2A3,A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A1B1B2,A2B1B2,A2A3B1,A2A3B2,A3B1B2,共10個(gè),記“有2女1男被抽中”為事件A,則A包含的基本事件為A1A2B1,A1A2B2,A1A3B1,A1A3B2,A2A3B1,A2A3B2,共6個(gè),故有2女1男被抽中的概率為35.13.解析(1)由題知,(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)10=1,解得m=0.008.x=950.00410+1050.01210+1150.02410+1250.0410+1350.01210+1450.00810=121.8(分).(2)由頻率分布直方圖可知,成績(jī)?cè)?30,140)內(nèi)的學(xué)生有0.0121050=6(名),由題可知這6名學(xué)生中男生有4名,女生有2名,記男生分別為A,B,C,D,女生分別為a,b,則從6名學(xué)生中選出3名的所有可能情況為ABC,ABD,ABa,ABb,ACD,ACa,ACb,ADa,ADb,BCD,BCa,BCb,BDa,BDb,CDa,CDb,Aab,Bab,Cab,Dab,共20種.其中不含女生的情況為ABC,ABD,ACD,BCD,共4種.記“至少有1名女生參加座談”為事件A,則P(A)=1-420=45.14.解析(1)由題意,易得3月份至7月份的各月新建住宅銷(xiāo)售均價(jià)y與月份x的數(shù)據(jù)如下表:月份x34567均價(jià)y0.950.981.111.121.20由表中數(shù)據(jù)可得x=15(3+4+5+6+7)=5,y=15(0.95+0.98+1.11+1.12+1.20)=1.072,5i=1(xi-x)(yi-y)=(3-5)(0.95-1.072)+(4-5)(0.98-1.072)+(5-5)(1.11-1.072)+(6-5)(1.12-1.072)+(7-5)(1.20-1.072)=0.64,5i=1(xi-x)2=(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2=10,所以b=5i=1(xi-x)(yi-y)5i=1(xi-x)20.06,a=y-bx0.77,所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.06x+0.77,把x=12代入上式得,y=1.49,故預(yù)測(cè)該市12月份的新建住宅銷(xiāo)售均價(jià)為1.49萬(wàn)元/米2.(2)設(shè)抽取的2個(gè)月份為(X,Y),則基本事件的情況:(1,2),(1,3),(1,4),(1,12),(2,3),(2,4),(2,5),(2,12),(3,4),(3,5),(3,12),(11,12),共有1+2+3+11=(1+11)112=66(種).其中2個(gè)月份恰在同一季度的情況有:(1,2),(1,3),(2,3),(4,5),(4,6),(5,6),(7,8),(7,9),(8,9),(10,11),(10,12),(11,12),共有12種.故所求樣本中的2個(gè)月份恰好在不同季度的概率P=1-1266=911.