第13練空間幾何體明晰考情1.命題角度：空間幾何體的三視圖，球與多面體的組合，一般以計(jì)算面積、體積的形式出現(xiàn).2.題目難度：中等或中等偏上.考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖要點(diǎn)重組(1)三視圖畫法的基本原則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線.(2)由三視圖還原幾何體的步驟(3)直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測(cè)畫法.1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正(主)視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正(主)視圖為()答案A解析在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體OABC的直觀圖如圖所示，作頂點(diǎn)A，C在xOz平面的投影A，C，可得四面體的正(主)視圖.故選A.2.(2018北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案C解析由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PAABAD2，BC1，所以PAAD，PAAB，PABC.又BCAB，ABPAA，AB，PA平面PAB，所以BC平面PAB.又PB平面PAB，所以BCPB.在PCD中，PD2，PC3，CD，所以PCD為銳角三角形.所以側(cè)面中的直角三角形為PAB，PAD，PBC，共3個(gè).故選C.3.如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，則此三視圖所描述幾何體的直觀圖是()答案D解析先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確，由正(主)視圖和側(cè)(左)視圖可知選項(xiàng)D正確.4.已知正三棱錐VABC的正(主)視圖和俯視圖如圖所示，則該正三棱錐側(cè)(左)視圖的面積是_.答案6解析如圖，由俯視圖可知正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，則AO2sin602.所以VO2，則VA2.所以該正三棱錐的側(cè)(左)視圖的面積為226.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積方法技巧(1)求三棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.(3)已知幾何體的三視圖，可去判斷幾何體的形狀和各個(gè)度量，然后求解表面積和體積.5.已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A.3B.C.1D.答案C解析D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，ADBC.又ABCA1B1C1為正三棱柱，AD平面BB1C1C.四邊形BB1C1C為矩形，S四邊形BB1C1C2.又AD2，AD1.故選C.6.(2018渭南質(zhì)檢)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的體積是()A.B.C.D.1答案B解析根據(jù)題意得到原四面體是底面為等腰直角三角形，高為1的三棱錐，故得到體積為211.7.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12B.15C.18D.21答案C解析由三視圖可得該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,3的長(zhǎng)方體切去一半得到的，其直觀圖如圖所示.其體積為43318，故選C.8.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為_.答案解析由題意，得圓錐的底面周長(zhǎng)為2，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2r2，解得r1，圓錐的高為h.圓錐的體積為Vr2h.考點(diǎn)三多面體與球要點(diǎn)重組(1)設(shè)球的半徑為R，球的截面圓半徑為r，球心到球的截面的距離為d，則有r.(2)當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，當(dāng)球外接于長(zhǎng)方體時(shí)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑；當(dāng)球與正方體各棱都相切時(shí)，球的直徑等于正方體底面的對(duì)角線長(zhǎng).(3)若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則正四面體的外接球半徑為a，內(nèi)切球半徑為a.9.已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60，則球O的表面積為()A.4B.12C.16D.64答案C解析在ABC中，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos603，AC2AB2BC2，即ABBC.又SA平面ABC，SAAB，SABC，三棱錐SABC可補(bǔ)成分別以AB1，BC，SA2為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，球O的直徑為4，故球O的表面積為42216.10.(2017全國)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A.B.C.D.答案B解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形.r.圓柱的體積為Vr2h1.11.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.B.16C.9D.答案A解析由圖知，R2(4R)22，R2168RR22，R.S表4R24，故選A.12.一個(gè)圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_.答案解析設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，球O的半徑為R，則V圓錐a2aa3.又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球3a3，故其體積比值為.1.如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A.17B.18C.20D.28答案A解析由三視圖可知，該幾何體是球截去后所得幾何體，則R3，解得R2，所以它的表面積為4R2R214317.2.如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐PBCD的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積之比為()A.11B.21C.23D.32答案A解析由題意可得正(主)視圖的面積等于矩形ADD1A1面積的，側(cè)(左)視圖的面積等于矩形CDD1C1面積的.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等，即正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積之比是11.3.已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256答案C解析易知AOB的面積確定，若三棱錐OABC的底面OAB上的高最大，則其體積最大.因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉，所以VOABCR2R36，解得R6.故S球4R2144.解題秘籍(1)三視圖都是幾何體的投影，要抓住這個(gè)根本點(diǎn)確定幾何體的特征.(2)多面體與球的切、接問題，要明確切點(diǎn)、接點(diǎn)的位置，利用合適的截面圖確定兩者的關(guān)系，要熟悉長(zhǎng)方體與球的各種組合.1.(2018浙江)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，直角梯形的上、下底邊長(zhǎng)分別為2,1，高為2，該幾何體的體積為V26.故選C.2.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為()A.B.C.D.答案C解析該幾何體為半圓錐，其表面積為2.3.如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開圖，則多面體ABCDE的體積為()A.2B.C.D.答案D解析多面體ABCDE為四棱錐(如圖)，利用割補(bǔ)法可得其體積V4，故選D.4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，下圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.12618B.9618C.9818D.9612答案B解析作出該幾何體的直觀圖如圖所示(所作圖形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn))，故所求幾何體的表面積S23234634439618，故選B.5.某錐體的三視圖如圖所示，用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分，則截面面積為()A.2B.2C.2D.2答案C解析三視圖表示的幾何體(如圖)是四棱錐(鑲嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體中)，且四棱錐FABCD的底面為正方形ABCD，面積為4，設(shè)截面面積為S，所截得小四棱錐的高為h，則解得S2.6.(2018丹東期末)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正(主)視圖、側(cè)(左)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為()A.B.C.D.答案A解析該幾何體是一個(gè)半球，上面有一個(gè)三棱錐，體積為V1113，故選A.7.(2018全國)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正(主)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)(左)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A.2B.2C.3D.2答案B解析先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題中的三視圖可知，點(diǎn)M，N的位置如圖所示.圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑.|ON|164，|OM|2，|MN|2.故選B.8.如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，四棱錐SABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.B.C.D.答案D解析作如圖所示的輔助線，其中O為球心，設(shè)OG1x，則OB1SO2x，由正方體的性質(zhì)知，B1G1，則在RtOB1G1中，由OBG1BOG，得(2x)2x22，解得x，所以球的半徑ROB1，所以球的表面積為S4R2，故選D.9.如圖，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐VABC中，AVBBVCCVA40，過點(diǎn)A作截面AEF，則截面AEF的周長(zhǎng)的最小值為_.答案6解析沿著側(cè)棱VA把正三棱錐VABC展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則AA即為截面AEF周長(zhǎng)的最小值，且AVA340120，VAVA2.在VAA中，由余弦定理可得AA6.10.(2018三門峽期末)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.書中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1)，則該“陽馬”最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為_.答案5解析由三視圖知，幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖所示.其中PA平面ABCD，PA3，ABCD4，ADBC5，PB5，PC5，PD.該幾何體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為5.11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為_.答案2解析依題意得，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱錐ABEDC得到的，故其體積V22322.12.已知三棱錐ABCD中，ABACBC2，BDCD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F，則該三棱錐外接球的表面積為_.答案解析連接BF，由題意，得BCD為等腰直角三角形，E是外接圓的圓心.點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F，BF，AF.設(shè)球心O到平面BCD的距離為h，則1h22，解得h，外接球的半徑r，故該三棱錐外接球的表面積為4.