13.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)課本P2629，思考并完成下列問題(1)函數(shù)極值點(diǎn)、極值的定義是什么？(2)函數(shù)取得極值的必要條件是什么？(3)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟有哪些？1函數(shù)極值的概念(1)函數(shù)的極大值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值f(x0)，x0是極大值點(diǎn)(2)函數(shù)的極小值一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0及附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)yf(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值f(x0)，x0是極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值點(diǎn)睛如何理解函數(shù)極值的概念(1)極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較它是最大值或最小值，但并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)是最大值或最小值(2)一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值或極小值可以不止一個(gè)(3)函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)(5)單調(diào)函數(shù)一定沒有極值2求函數(shù)yf(x)極值的方法一般地，求函數(shù)yf(x)的極值的方法是：解方程f(x)0. 當(dāng)f(x0)0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值點(diǎn)睛一般來說，“f(x0)0”是“函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處取得極值”的必要不充分條件若可導(dǎo)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，那么f(x0)0；反之，若f(x0)0，則點(diǎn)x0不一定是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)f(x)x3ax2x1必有2個(gè)極值()(2)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處，切線與x軸平行或重合()(3)函數(shù)f(x)有極值()答案：(1)(2)(3)2下列四個(gè)函數(shù)：yx3；yx21；y|x|；y2x，其中在x0處取得極小值的是()ABCD答案：B3已知函數(shù)y|x21|，則()Ay無極小值，且無極大值By有極小值1，但無極大值Cy有極小值0，極大值1Dy有極小值0，極大值1答案：C4. 函數(shù)f(x)x2cos x在上的極大值點(diǎn)為()A0B.C. D.答案：B運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題題點(diǎn)一：知圖判斷函數(shù)的極值1已知函數(shù)yf(x)，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)()A在(，0)上為減函數(shù)B在x0處取極小值C在(4，)上為減函數(shù) D在x2處取極大值解析：選C由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：x(，0)(2,4)時(shí)，f(x)>0，x(0,2)(4，)時(shí)，f(x)<0，因此f(x)在(，0)，(2,4)上為增函數(shù)，在(0,2)，(4，)上為減函數(shù)，所以x0取得極大值，x2取得極小值，x4取得極大值，因此選C.題點(diǎn)二：已知函數(shù)求極值2求函數(shù)f(x)x2ex的極值解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極小值0極大值4e2因此當(dāng)x0時(shí)，f(x)有極小值，并且極小值為f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)有極大值，并且極大值為f(2)4e2.題點(diǎn)三已知函數(shù)的極值求參數(shù)3已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取到極大值，則a的取值范圍是()A(，1)B(0，)C(0,1) D(1,0)解析：選D若a<1，f(x)a(x1)(xa)，f(x)在(，a)上單調(diào)遞減，在(a，1)上單調(diào)遞增，f(x)在xa處取得極小值，與題意不符；若1<a<0，則f(x)在(1，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減，從而在xa處取得極大值若a>0，則f(x)在(1，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，與題意矛盾，選D.4已知f(x)ax5bx3c在x1處的極大值為4，極小值為0，試確定a，b，c的值解：f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由題意，f(x)0應(yīng)有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21)(1)當(dāng)a0，x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,0)0(0,1)1(1，)f(x)000f(x)極大值無極值極小值由表可知：又5a3b，解之得：a3，b5，c2.(2)當(dāng)a0時(shí)，同理可得a3，b5，c2.1求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)(3)解方程f(x)0得方程的根(4)利用方程f(x)0的根將定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，列表，判定導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)小開區(qū)間的符號(hào)(5)確定函數(shù)的極值，如果f(x)的符號(hào)在x0處由正(負(fù))變負(fù)(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值2已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，注意兩點(diǎn)(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用典例已知函數(shù)f(x)x33ax1(a0)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍解因?yàn)閒(x)在x1處取得極值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.所以由f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.作出f(x)的大致圖象如圖所示：因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f(x)的圖象可知，m的取值范圍是(3,1)一題多變1變條件若本例中條件改為“已知函數(shù)f(x)x3ax24”在x處取得極值，其他條件不變，求m的取值范圍解：由題意可得f(x)3x22ax，由f0，可得a2，所以f(x)x32x24，則f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或x，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，0)0f(x)00f(x)4作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示：因?yàn)橹本€ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以m的取值范圍是.2變條件若本例“三個(gè)不同的交點(diǎn)”改為“兩個(gè)不同的交點(diǎn)”結(jié)果如何？改為“一個(gè)交點(diǎn)”呢？解：由例題解析可知：當(dāng)m3或m1時(shí)，直線ym與yf(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；當(dāng)m<3或m>1時(shí)，直線ym與yf(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)(1)研究方程根的問題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問題，一般地，方程f(x)0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(2)事實(shí)上利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問題提供了方便 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1當(dāng)函數(shù)yx2x取極小值時(shí)，x()A.BCln 2 Dln 2解析：選B由y2xx2xln 20，得x.2設(shè)函數(shù)f(x)ln x，則()Ax為f(x)的極大值點(diǎn)Bx為f(x)的極小值點(diǎn)Cx2為f(x)的極大值點(diǎn)Dx2為f(x)的極小值點(diǎn)解析：選D由f(x)0可得x2.當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增故x2為f(x)的極小值點(diǎn)3已知函數(shù)f(x)2x3ax236x24在x2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2x3ax236x24在x2處有極值，又f(x)6x22ax36，所以f(2)0解得a15.令f(x)0，解得x3或x2，所以函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是(3，)4設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()解析：選C由題意可得f(2)0，而且當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)0，此時(shí)xf(x)0；排除B、D，當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0，此時(shí)若x(2,0)，xf(x)0，若x(0，)，xf(x)0，所以函數(shù)yxf(x)的圖象可能是C.5已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)的極大值、極小值分別為()A.，0 B0，C，0 D0，解析：選Af(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0得，解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10得x或x1，易得當(dāng)x時(shí)f(x)取極大值.當(dāng)x1時(shí)f(x)取極小值0.6函數(shù)y的極大值為_，極小值為_解析：y，令y0得1x1，令y0得x1或x1，當(dāng)x1時(shí)，取極小值1，當(dāng)x1時(shí)，取極大值1.答案：117已知函數(shù)f(x)x33x的圖象與直線ya有相異三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_解析：令f(x)3x230，得x1，可得極大值為f(1)2，極小值為f(1)2，yf(x)的大致圖象如圖，觀察圖象得2a2時(shí)恰有三個(gè)不同的公共點(diǎn)答案：(2,2)8.已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx，其導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，(2,0)如圖，則下列說法中不正確的是_(填序號(hào))當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值；f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)x2時(shí)函數(shù)值取得極小值；當(dāng)x1時(shí)函數(shù)取得極大值解析：由圖象可知，x1,2是函數(shù)的兩極值點(diǎn)，正確；又x(，1)(2，)時(shí)，y0；x(1,2)時(shí)，y0，x1是極大值點(diǎn)，x2是極小值點(diǎn)，故正確答案：9設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR，求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)；且f(x)在xln 2處取得極小值極小值為f(ln 2)2(1ln 2a)，無極大值10已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1時(shí)取得極值，且f(1)1.(1)試求常數(shù)a，b，c的值；(2)試判斷x1時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由解：(1)由已知，f(x)3ax22bxc，且f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)當(dāng)x<1或x>1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)1<x<1時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)在(，1)和(1，)上是增函數(shù)，在(1,1)上為減函數(shù)當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(1)1；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)1.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列函數(shù)中，x0是極值點(diǎn)的是()Ayx3Bycos2xCytan xx Dy解析：選Bycos2x，ysin 2x，x0是y0的根且在x0附近，y左正右負(fù)，x0是函數(shù)的極大值點(diǎn)2已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍是()A(1,2) B(3,6)C(，3)(6，) D(，1)(2，)解析：選Cf(x)3x22axa6，f(x)有極大值與極小值，f(x)0有兩不等實(shí)根，4a212(a6)>0，a<3或a>6.3對(duì)于函數(shù)f(x)x33x2，給出命題：f(x)是增函數(shù)，無極值；f(x)是減函數(shù)，無極值；f(x)的遞增區(qū)間為(，0)，(2，)，遞減區(qū)間為(0,2)；f(0)0是極大值，f(2)4是極小值其中正確的命題有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：選Bf(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x2或x0，令f(x)0，得0x2，所以f(x)的極大值為f(0)0，極小值為f(2)4，故錯(cuò)誤，正確4已知函數(shù)f(x)ex(sin xcos x)，x(0,2 017)，則函數(shù)f(x)的極大值之和為()A. B.C. D.解析：選Bf(x)2exsin x，令f(x)0得sin x0，xk，kZ，當(dāng)2k<x<2k時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)(2k1)<x<2k時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(2k1)時(shí)，f(x)取到極大值，x(0,2 017)，0<(2k1)<2 017，0k<1 008，kZ. f(x)的極大值之和為Sf()f(3)f(5)f(2 015)ee3e5e2 015，故選B.5若函數(shù)yx36x2m的極大值為13，則實(shí)數(shù)m等于_解析：y3x212x3x(x4)由y0，得x0或4.且x(，0)(4，)時(shí)，y0；x(0,4)時(shí)，y0，x4時(shí)取到極大值故6496m13，解得m19.答案：196若函數(shù)f(x)x3x2ax4在區(qū)間(1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意，f(x)3x22xa，則f(1)f(1)<0，即(1a)(5a)<0，解得1<a<5，另外，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)x3x2x4在區(qū)間(1，1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)a5時(shí)，函數(shù)f(x)x3x25x4在區(qū)間(1,1)沒有極值點(diǎn)故實(shí)數(shù)a的范圍為1,5)答案：1,5)7設(shè)函數(shù)f(x)x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的兩個(gè)根分別為1,4.(1)當(dāng)a3且曲線yf(x)過原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)內(nèi)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍解：由f(x)x3bx2cxd得f(x)ax22bxc，f(x)9xax22bxc9x0的兩根為1,4.則(*)(1)當(dāng)a3時(shí)，由(*)式得解得b3，c12.又曲線yf(x)過原點(diǎn)，d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，所以“f(x)x3bx2cxd在(，)內(nèi)無極值點(diǎn)”等價(jià)于“f(x)ax22bxc0在(，)內(nèi)恒成立”由(*)式得2b95a，c4a.又(2b)24ac9(a1)(a9)，解得1a9.即a的取值范圍是1,98已知f(x)2ln(xa)x2x在x0處取得極值(1)求實(shí)數(shù)a的值(2)若關(guān)于x的方程f(x)b0的區(qū)間1,1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解：(1)f(x)2x1，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極值，所以f(0)0，解得a2，檢驗(yàn)知a2符合題意(2)令g(x)f(x)b2ln(x2)x2xb，則g(x)2x1(x2)g(x)，g(x)在(2，)上的變化狀態(tài)如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)2ln 2b由上表可知函數(shù)在x0處取得極大值，極大值為2ln 2b.要使f(x)b0在區(qū)間1,1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只需即所以2ln 2b22ln 3.故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(2ln 2,22ln 3