課時跟蹤訓(xùn)練(三十二) 等比數(shù)列及其前n項和基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1(2017河南百校聯(lián)考)在等差數(shù)列an中，a12，公差為d，則“d4”是“a1，a2，a3成等比數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析由a1，a2，a3成等比數(shù)列得aa1a3，即(2d)22(22d)，解得d0，所以“d4”是“a1，a2，a3成等比數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選D.答案D2(2017四川成都南充高中模擬)已知等比數(shù)列的前3項為x,3x3,6x6，則其第4項的值為()A24 B24或0C12或0 D24解析由x,3x3,6x6成等比數(shù)列，得(3x3)2x(6x6)解得x13或x21(此時a2a30，不合題意，舍去)故這個等比數(shù)列的首項為3，公比為2，所以an32n1，所以數(shù)列的第4項為a424.故選A.答案A3已知等比數(shù)列an中，a32，a4a616，則的值為()A2 B4 C8 D16解析因為a32，a4a616，所以a4a6aq416，即q44，則q44，故選B.答案B4已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an中，a2a616，a3a510，則數(shù)列an的前n項和Sn()A2n2 B2n1C2n1 D2n12解析a2a616，a3a516，又a3a510，等比數(shù)列an單調(diào)遞增，a32，a58，公比q2，a1，Sn2n1，故選B.答案B5已知an為等比數(shù)列，若a4a610，則a1a72a3a7a3a9()A10 B20 C60 D100解析a1a72a3a7a3a9a2a4a6a(a4a6)2100.答案D6(2017全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A1盞 B3盞 C5盞 D9盞解析每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為an，則前7項的和S7381，公比q2，依題意，得381，解得a13，選擇B.答案B二、填空題7(2017北京卷)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則a413d8，解得d3；b41q38，解得q2.所以a2132，b21(2)2，所以1.答案18(2016鄭州質(zhì)量預(yù)測)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1a2，a4a56，則S6_.解析記等比數(shù)列an的公比為q，則有q38，q2，則S6(a1a2)q2(a1a2)q4(a1a2)21(a1a2).答案9(2016湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知數(shù)列an的首項a12，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且bn.若b10b112，則a21_.解析由已知，得b1b2b20.因為bn為等比數(shù)列，所以b1b2b20(b10b11)10210，所以a212b1b2b202112048.答案2048三、解答題10(2017北京卷)已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通項公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a2a410，所以2a14d10.解得d2.所以an2n1.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因為b2b4a5，所以b1qb1q39.解得q23.所以b2n1b1q2n23n1.從而b1b3b5b2n113323n1.能力提升11數(shù)列an的通項公式為anaqn，則an為遞增數(shù)列的一個充分不必要條件是()Aa<0，q<1 Ba<0，q<0Ca>0，q>0 Da<0,0<q<解析an1anaqn1aqnaqn(q1)，當a<0，0<q<時，qn>0，q1<0，an1an>0，即an1>an，該數(shù)列是遞增數(shù)列；當數(shù)列是遞增數(shù)列，有可能a>0，q>1，故數(shù)列為遞增數(shù)列的一個充分不必要條件是a<0,0<q<，故選D.答案D12已知數(shù)列an滿足log2an1log2an1(nN*)，若a1a3a5a2n12n，則log2(a2a4a6a2n)的值是()A2n1 B2n1Cn1 Dn1解析由log2an1log2an1得，所以數(shù)列an是等比數(shù)列，公比為，所以a2a4a6a2n(a1a3a5a2n1)2n1，所以log2(a2a4a6a2n)n1.故選D.答案D13(2016全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_解析由題意知，a2a4(a1a3)q，即510q，解得q，將q代入a1a310，解得a18.a1a2anaq8n2.26，且nN*.當n3或4時有最大值a1a2an22664，即最大值為64.答案6414(2017廣西南寧三中聯(lián)考)已知an是公比為q的等比數(shù)列，令bnan1(n1,2,3，)，若數(shù)列bn有連續(xù)4項在集合53，23,19,37,82中，則6q_.解析因為數(shù)列bn有連續(xù)4項在集合53，23,19,37,82中，而bnan1，所以數(shù)列an有連續(xù)4項在集合54，24,18,36,81中因為an是公比為q的等比數(shù)列，所以當q時，24,36，54,81是an的連續(xù)4項；當q時，81，54,36，24是an的連續(xù)4項所以6q9或4.答案9或415(2016全國卷)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)a11，a(2an11)an2an10，令n1，有a(2a21)a12a20，即1(2a21)2a20，得a2.同理可得a(2a31)a22a30，解得a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因為an的各項都為正數(shù)，所以.故an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an.16設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解(1)證明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1，an12an2(an2an1)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列(n1)，得an(3n1)2n2.延伸拓展(2017江西南昌摸底考試)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項之積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2016a2017>1，<0.給出下列結(jié)論：(1)0<q<1；(2)a2017a20181>0；(3)T2016是數(shù)列Tn中的最大項；(4)使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于4031，其中正確的結(jié)論為()A(2)(3) B(1)(3) C(1)(4) D(2)(4)解析因為<0，所以或若成立，又a2016a2017>1，所以所以q>1，所以a2016a1q2015，而a1>1，所以a2016>1，矛盾從而所以0<q<1，又因為a1>1，所以易知數(shù)列an的前2016項都大于1，而從第2017項起都小于1，所以T2016是數(shù)列Tn的最大項從而(1)(3)正確，(2)錯誤，a2016a2017>1，a2017<1，使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于4032，(4)錯誤，故選B.答案B