專題12空間幾何體的三視圖、表面積及體積空間幾何體的三視圖一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等” (1)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為()A3B2C2D.2(2)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12 C14 D16【答案】(1)B(2)B【解析】(1)根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐PABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中由圖可知該四棱錐的最長(zhǎng)棱為PD，PD2.故選B.(2)由多面體的三視圖還原直觀圖如圖所示該幾何體由上方的三棱錐ABCE和下方的三棱柱BCEB1C1A1構(gòu)成，其中平面CC1A1A和平面BB1A1A是梯形，則梯形的面積之和為212.故選B.由三視圖還原到直觀圖的三個(gè)步驟(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面(2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置 格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()【答案】D.【解析】由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2，其底面為正方形，面積為224，因?yàn)樵搸缀误w的體積為42，滿足條件，所以俯視圖可以為一個(gè)直角三角形選D.空間幾何體的表面積和體積考向1由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征計(jì)算表面積與體積1柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)；(2)S錐側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為斜高)；(3)S臺(tái)側(cè)(cc)h(c，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h為斜高)2柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(1)V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V臺(tái)(SS)h(S，S分別為上下底面面積，h為高)(不要求記憶) (2017高考全國(guó)卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱錐PABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積【解析】(1)證明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.考向2由三視圖計(jì)算空間幾何體的體積和表面積根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟第一步：根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀第二步：由三視圖中的數(shù)量標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量第三步：套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解 格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90B63C42D.36(2)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A1836 B5418C90 D81【答案】(1)B(2)B空間幾何體的表面積與體積的求法(1)據(jù)三視圖求表面積、體積時(shí)，解題的關(guān)鍵是對(duì)所給三視圖進(jìn)行分析，得到幾何體的直觀圖；(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，求組合體的表面積時(shí)要注意重合部分的面積；(3)求規(guī)則幾何體的體積時(shí)，只需確定底面與相應(yīng)的高，而求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，往往需采用分割或補(bǔ)形思想，轉(zhuǎn)化求解 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1(2019廣州五校協(xié)作體第一次診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.1 BC.1 D.1【答案】C.【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合體，故其表面積為1221，選C.2(2017高考山東卷)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_【答案】：2【解析】：由題意知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成，其中長(zhǎng)方體的體積V12112，兩個(gè)圓柱體的體積之和V21212，所以該幾何體的體積VV1V22.與球有關(guān)的切、接問題考向1外接球 (1)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()ABC. D.(2)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_【答案】(1)B(2)36【解析】(1)球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的，球的半徑為1，則圓柱底面圓的半徑r ，故該圓柱的體積V()21，故選B.(2)設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾C為球O的直徑，所以點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)，連接AO，OB，因?yàn)镾AAC，SBBC，所以AOSC，BOSC，因?yàn)槠矫鍿CA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，所以AO平面SCB，所以VSABCVASBCSSBCAO(SCOB)AO，即9(2RR)R，解得R3，所以球O的表面積為S4R243236.考向2內(nèi)切球 (1)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4BC6 D.(2)如圖，在圓柱O1O2 內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2 的體積為V1 ，球O的體積為V2 ，則的值是_ 格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為()A136 B34C25 D18【答案】B.【解析】由三視圖知，該四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形、高為4，且有一條側(cè)棱垂直于底面，所以可將該四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為3、3、4的長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體外接球的半徑R即為該四棱錐外接球的半徑，所以2R，解得R，所以該四棱錐外接球的表面積為4R234，選B.7(2018合肥質(zhì)量檢測(cè)(二)一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為()A. BC28 D226【答案】A.【解析】由三視圖知，該幾何體為三棱臺(tái)，其上、下底面分別是直角邊為2，4的等腰直角三角形，高為2，所以該幾何體的體積V22442，故選A.8一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為()A726 B724C486 D484【答案】A.【解析】由三視圖知，該幾何體由一個(gè)正方體的部分與一個(gè)圓柱的部分組合而成(如圖所示)，其表面積為162(164)24(22)726，故選A.9(2019廣西三市聯(lián)考)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A6 B9C12 D18【答案】B.【解析】該幾何體是一個(gè)直三棱柱截去所得，如圖所示，其體積為3429.10(2019貴陽(yáng)檢測(cè))三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16，則該三棱錐的高的最大值為()A4 B6C8 D10【答案】C.【解析】依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，ABC的外接圓半徑為r，則，解得R5，由r216，解得r4，又球心O到平面ABC的距離為3，因此三棱錐PABC的高的最大值為538，選C. (2)在平面PCBM內(nèi)，過點(diǎn)M作MNBC交BC于點(diǎn)N，連接AN，則CNPM1，又PMBC，所以四邊形PMNC為平行四邊形，所以PCMN且PCMN，由(1)得PC平面ABC，所以MN平面ABC，在ACN中，AN2AC2CN22ACCNcos 1203，即AN.又AM2，所以在RtAMN中，MN1，所以PCMN1.在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)A作AHBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AH平面PMC，因?yàn)锳CCN1，ACB120，所以ANC30.所以在RtAHN中，AHAN，而SPMC11，所以VPMACVAPMC.6(2019成都第一次診斷性檢測(cè))如圖(1)，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，點(diǎn)G，R分別在線段DH，HB上，且.將AED，CFD，BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，B，C重合于點(diǎn)P，如圖(2)所示(1)求證：GR平面PEF；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑【解析】：(1)證明：在正方形ABCD中，A，ABC，C為直角所以在三棱錐PDEF中，PE，PF，PD兩兩垂直所以PD平面PEF.因?yàn)?，即，所以在PDH中，RGPD.所以GR平面PEF.(2)正方形ABCD邊長(zhǎng)為4.由題意知，PEPF2，PD4，EF2，DF2.所以SPEF2，SDPFSDPE4.SDEF26.設(shè)三棱錐PDEF內(nèi)切球的半徑為r，則三棱錐的體積VPDEF224(SPEF2SDPFSDEF)r，解得r.所以三棱錐PDEF的內(nèi)切球的半徑為.