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綜合檢測試題 (時間:120分鐘　滿分:150分) 一、選擇題(每小題5分,共60分) 1.下列說法正確的是(　C　) ①必然事件的概率等于1; ②互斥事件一定是對立事件; ③球的體積與半徑的關(guān)系是正相關(guān); ④汽車的重量和百公里耗油量成正相關(guān). (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④ 解析:互斥事件不一定是對立事件,②錯;③中球的體積與半徑是函數(shù)關(guān)系,不是正相關(guān)關(guān)系,③錯;①④正確,選C. 2.要從165名學生中抽取15人進行視力檢查,現(xiàn)采用分層抽樣法進行抽取,若這165名學生中,高中生為66人,則高中生中被抽取參加視力檢查的人數(shù)為(　B　) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:165名學生中,高中生為66人,則高中生中被抽取參加視力檢查的人數(shù)為6615165=6,故選B. 3.某企業(yè)有職工150人,其中高級職稱15人,中級職稱45人,一般職員90人,現(xiàn)用分層抽樣抽取30人,則各職稱人數(shù)分別為(　B　) (A)5,10,15 (B)3,9,18 (C)3,10,17 (D)5,9,16 解析:單位職工總數(shù)是150,所以應當按照1∶5的比例來抽取.所以各職稱人數(shù)分別為3,9,18.選B. 4.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張,則抽得的第1張卡片上的數(shù)大于第2張卡片上的數(shù)的概率為(　D　) (A)110 (B)15 (C)310 (D)25 解析:如表所示,表中的點橫坐標表示第一次取到的數(shù),縱坐標表示第二次取到 的數(shù). 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 總計有25種情況,滿足條件的有10種, 所以所求概率為1025=25.故選D. 5.設(shè)某中學的高中女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),用最小二乘法近似得到回歸直線方程為y＾=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是(　D　) (A)y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系 (B)回歸直線過點(x,y) (C)若該中學某高中女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg　 (D)若該中學某高中女生身高為160 cm,則可斷定其體重必為50.29 kg 解析:由回歸直線方程定義知:因為斜率大于零,所以y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系;回歸直線過點(x,y);身高每增加1 cm,則其體重約增加k=0.85 kg;身高為160 cm,則可估計其體重為0.85160-85.71=50.29 kg,但不可確定.選D. 6.關(guān)于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析,有以下幾個結(jié)論: ①一組數(shù)不可能有兩個眾數(shù);②將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都減去同一個數(shù)后,方差沒有變化;③調(diào)查劇院中觀眾的觀看感受時,從50排(每排人數(shù)相同)中任意抽取一排的人進行調(diào)查,屬于分層抽樣;④一組數(shù)據(jù)的方差一定是正數(shù);⑤如圖所示是隨機抽取的200輛汽車通過某一段公路時的時速分布直方圖,根據(jù)這個直方圖,可以得到時速在[50,60]的汽車大約是60輛. 則這五種說法中錯誤的個數(shù)是(　B　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:一組數(shù)中可以有兩個眾數(shù),故①錯;根據(jù)方差的計算法可知②正確;③屬于簡單隨機抽樣,錯誤;④錯誤,因為方差可以是零;⑤正確.故錯誤的說法有3個. 7.在5件產(chǎn)品中,有3件一等品和2件二等品,從中任取2件,以710為概率的事件是(　C　) (A)恰有2件一等品 (B)至少有一件一等品 (C)至多有一件一等品 (D)都不是一等品 解析:將3件一等品編號為1,2,3;2件二等品編號為4,5.從中任取2件有10種取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰含有1件一等品的取法有:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),恰有1件一等品的概率為P1=610;恰有2件一等品的取法有:(1,2),(1,3),(2,3),故恰有2件一等品的概率為P2=310,其對立事件是“至多有1件一等品”,概率為P3=1-P2=1-310=710.故選C. 8.已知一組數(shù)據(jù)a,b,9,10,11的平均數(shù)為10,方差為2,則|a-b|等于(　B　) (A)2 (B)4 (C)8 (D)12 解析:一組數(shù)據(jù)a,b,9,10,11的平均數(shù)為10,方差為2, 則有a+b+9+10+11=50, 即a+b=20, ① 15[(a-10)2+(b-10)2+(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2]=2, 即(a-10)2+(b-10)2=8, ② 聯(lián)立①,②可得a=12,b=8或a=8,b=12,則|a-b|=4.故選B. 9.學校游園活動有一個游戲項目:箱子里裝有3個紅球,2個白球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從箱子里摸出3個球,若摸出的是3個紅球為優(yōu)秀;若摸出的是2個紅球1個白球為良好;否則為合格.則在1次游戲中獲得良好及以上的概率為(　C　) (A)310 (B)12 (C)710 (D)715 解析:將3個紅球編號為1,2,3,2個白球編號為4,5,則從5個球中摸出3個球的所有可能情況為(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共有10種. 令D表示在1次游戲中獲得優(yōu)秀的事件, E表示在1次游戲中獲得良好的事件, F表示在1次游戲中獲得良好及以上的事件, P(D)=110,P(E)=35,P(F)=P(D)+P(E)=710. 10.某地區(qū)2011年至2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表: 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 若y關(guān)于t的線性回歸方程為y＾=0.5t+a,則據(jù)此該地區(qū)2021年農(nóng)村居民家庭人均純收入約為(　D　) (A)6.3千元 (B)7.5千元 (C)6.7千元 (D)7.8千元 解析:由所給數(shù)據(jù)計算得,t=17(1+2+3+4+5+6+7)=4,y=17(2.9+3.3+3.6+4.4+ 4.8+5.2+5.9)=4.3,a＾=y-b＾t=4.3-0.54=2.3,所求回歸方程為y＾=0.5t+2.3.將2021年的年份代號t=11代入回歸方程,得y＾=0.511+2.3=7.8,故預測該地區(qū)2021年的農(nóng)村居民家庭人均純收入為7.8千元.故選D. 11.有一個容量為200的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,據(jù)圖知,樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻數(shù)為(　C　) (A)38 (B)57 (C)76 (D)95 解析:樣本數(shù)據(jù)在[8,10)之外的頻率為(0.02+0.05+0.09+0.15)2=0.62,所以樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻率為1-0.62=0.38,所以樣本數(shù)據(jù)在[8,10)內(nèi)的頻數(shù)為0.38200=76.故選C. 12.某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標準,其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸x(mm)的比在區(qū)間(e9,e7)內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下: 尺寸x(mm) 38 48 58 68 78 88 質(zhì)量y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 質(zhì)量與尺寸的比yx 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件,則恰有一件優(yōu)等品的概率為(　D　) (A)715 (B)415 (C)815 (D)35 解析:由已知,優(yōu)等品的質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)(e9,e7),即yx∈(0.302,0.388), 則隨機抽取的6件合格產(chǎn)品中,有3件為優(yōu)等品A1,A2,A3,3件為非優(yōu)等品B1,B2,B3, 現(xiàn)從中任選2件,共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)15種選法.設(shè)任選2件恰有一件優(yōu)等品為事件C,則事件C包含(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2), (A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)共9種選法,由古典概型有P(C)=915=35,故所求概率 為35. 二、填空題(每小題5分,共20分) 13.某工廠生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品,三種產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶4,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽出一個容量為n的樣本,樣本中A型號的產(chǎn)品有16件,那么此樣本容量n=　　　　. 解析:16n=22+3+4,所以n=72. 答案:72 14.一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,x5的平均數(shù)為5,x12,x22,…,x52的平均數(shù)為33,則數(shù)據(jù)x1,x2,…,x5的方差為　　　　. 解析:因為x1+x2+…+x5=25, x12+x22+…+x52=533, 所以s2=15[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x5-5)2] =15[x12+x22+…+x52-10(x1+x2+…+x5)+ 　525] =15(533-1025+525) =8, 即數(shù)據(jù)x1,x2,…,x5的方差為8. 答案:8 15.已知呈線性相關(guān)的變量x,y之間的關(guān)系如表所示: x 18 13 10 -1 y 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù),得到線性回歸方程為y＾=-2x+a＾(a＾∈R),由此估計當y為72時,x的值為　　　　. 解析:x=10,y=40,代入回歸方程得a＾=60,所以72=-2x+60,x=-6. 答案:-6 16.為了解某中學學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況,調(diào)查部門在該校進行了如下的隨機調(diào)查,向被調(diào)查者提出兩個問題:(1)你的學號是奇數(shù)嗎?(2)在過路口時你是否闖過紅燈?要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣,如果出現(xiàn)正面,就回答第一個問題,否則就回答第二個問題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題,只需回答“是”或“不是”,因為只有調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題,所以都如實地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的800人(學號從1至800)中有240人回答了“是”.由此可以估計這800人中闖過紅燈的人數(shù)是　　　　. 解析:由題意可知,每個學生拋擲硬幣出現(xiàn)正面或者反面的概率都是0.5,即大約有400人回答了第一個問題,另400人回答了第二個問題.在出現(xiàn)正面的情況下,回答學號是奇數(shù)的概率為0.5.因而在回答第一個問題的400人中,大約有200人回答了“是”.所以在回答第二個問題的400人中,大約有40人回答了“是”.因此800人中有402=80人闖過紅燈. 答案:80 三、解答題(共70分) 17.(本小題滿分10分) 某商場舉行抽獎活動,從裝有編號為0,1,2,3四個小球的抽獎箱中同時抽出兩個小球,兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎,等于4中二等獎,等于3中三等獎. (1)求中三等獎的概率; (2)求中獎的概率. 解:兩個小球號碼相加之和等于3中三等獎,兩個小球號碼相加之和不小于3中獎,設(shè)“中三等獎”的事件為A,“中獎”的事件為B,從四個小球任選兩個共有(0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3)六種不同的方法. (1)兩個小球號碼相加之和等于3的取法有2種:(0,3),(1,2),故P(A)=26=13. (2)法一　兩個小球號碼相加之和等于1的取法有1種: (0,1); 兩個小球號碼相加之和等于2的取法有1種:(0,2); 故P(B)=1-26=23. 法二　兩個小球號碼相加之和等于3的取法有2種:(0,3),(1,2); 兩個小球號碼相加之和等于4的取法有1種:(1,3); 兩個小球號碼相加之和等于5的取法有1種:(2,3). 故P(B)=26+16+16=46=23. 18.(本小題滿分12分) 某網(wǎng)站針對“春節(jié)放假安排”開展網(wǎng)上問卷調(diào)查,提出了A,B兩種放假方案,調(diào)查結(jié)果如表(單位:萬人): 人群 青少年 中年人 老年人 支持A方案 200 400 800 支持B方案 100 100 n 已知從所有參與調(diào)查的人中任選1人是“老年人”的概率為35. (1)求n的值; (2)從參與調(diào)查的“老年人”中,用分層抽樣的方法抽取6人,在這6人中任意選取2人,求恰好有1人“支持B方案”的概率. 解:(1)由題意得 n+800200+400+800+100+100+n=35,得n=400. (2)支持A方案的老年人有8001 2006=4人, 支持B方案的老年人有4001 2006=2人. 將支持A方案的4人標記為1,2,3,4,將支持B方案的2人標記為a,b. 設(shè)M表示事件“支持B方案恰好1人”,所有基本事件為(1,2),(1,3),(1,4),(1,a), (1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b), 共15種. 其中滿足條件的有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)共8種. 故P(M)=815. 所以恰好有1人“支持B方案”的概率為815. 19.(本小題滿分12分)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下: ①若xy≤3,則獎勵玩具一個;②若xy≥8,則獎勵水杯一個;③其余情況獎勵飲料 一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動. (1)求小亮獲得玩具的概率; (2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由. 解:用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應.因為S中元素個數(shù)是44=16,所以基本事件總數(shù)為n=16. (1)記“xy≤3”為事件A. 則事件A包含的基本事件共有5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1), 所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為516. (2)記“xy≥8”為事件B,“3516,所以,小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 20.(本小題滿分12分) 在某次測驗中,有6位同學的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號為n(n=1,2,…,6)的同學所得成績,且前5位同學的成績?nèi)缦? 編號n 1 2 3 4 5 成績xn 70 76 72 70 72 (1)求第6位同學的成績x6,及這6位同學成績的標準差s;(2)從前5位同學中,隨機地選2位同學,求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率. 解:(1)因為這6位同學的平均成績?yōu)?5分,所以16(70+76+72+70+72+x6)=75,解得x6=90,這6位同學成績的方差 s2=16[(70-75)2+(76-75)2+(72-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(90-75)2]=49, 所以標準差s=7. (2)從前5位同學中,隨機地選出2位同學的成績有(70,76),(70,72),(70,70),(70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72),共10種,恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的有(70,76),(76,72),(76,70),(76,72),共4種,所求的概率為410=0.4,即恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率為0.4. 21.(本小題滿分12分) 某市居民用水擬實行階梯水價,每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費,超出w立方米的部分按10元/立方米收費,從該市隨機調(diào)查了10 000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖: (1)如果w為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米,w至少定為多少? (2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當w=3時,估計該市居民該月的人均水費. 解:(1)由用水量的頻率分布直方圖知, 該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]內(nèi)的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%,用水量不超過2立方米的居民占45%. 依題意,w至少定為3. (2)由用水量的頻率分布直方圖及題意,得居民該月用水費用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表: 組號 1 2 3 4 5 6 7 8 水費 分組 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 頻率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根據(jù)題意,該市居民該月的人均水費估計為 40.1+60.15+80.2+100.25+120.15+170.05+220.05+270.05=10.5(元). 22.(本小題滿分12分) 中石化集團獲得了某地區(qū)深海油田區(qū)塊的開采權(quán),集團在某些區(qū)塊隨機初步勘探了部分井,取得了地質(zhì)資料.進入全面勘探時期后,集團按網(wǎng)絡(luò)點來布置井位進行全面勘探.由于勘探一口井的費用很高,如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費用.勘探初期數(shù)據(jù)資料見如表: 井號I 1 2 3 4 5 6 坐標(x,y)(km) (2,30) (4,40) (5,60) (6,50) (8,70) (1,y) 鉆探深度(km) 2 4 5 6 8 10 出油量(L) 40 70 110 90 160 205 (1)1～6號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a,求a,并估計y的預報值; (2)現(xiàn)準備勘探新井7(1,25),若通過1,3,5,7號井計算出的b＾,a＾的值(b＾,a＾精確到0.01)相比于(1)中b,a的值之差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井? (參考公式和計算結(jié)果:b＾=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a＾=y-b＾x, ∑i=14x2i-12=94,∑i=14x2i-1y2i-1=945) (3)設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有井號1～6的出油量不低于50 L的井中任意勘探3口井,求恰好兩口是優(yōu)質(zhì)井的概率. 解:(1)因為x=5,y=50, 回歸直線必過樣本點的中心(x,y),則 a=y-bx=50-6.55=17.5, 故回歸直線方程為y=6.5x+17.5, 當x=1時,y=6.5+17.5=24,即y的預報值為24. (2)因為x=4,y=46.25,∑i=14x2i-12=94,∑i=14x2i-1y2i-1=945, 所以b＾=∑i=14x2i-1y2i-1-4xy∑i=14x2i-12-4x2=945-4446.2594-442≈6.83. a＾=y-b＾x=46.25-6.834=18.93, 即b＾=6.83,a＾=18.93,b=6.5,a=17.5, b＾-bb≈5%,a＾-aa≈8%,均不超過10%,因此使用位置最接近的已有舊井6(1,24). (3)易知原有的出油量不低于50 L的井中,3,5,6這3口井是優(yōu)質(zhì)井,2,4這兩口井為非優(yōu)質(zhì)井,由題意從這5口井中隨機選取3口井的可能情況有:(2,3,4), (2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)共10種,其中恰有兩口是優(yōu)質(zhì)井的有6種,所以所求概率是P=610=35.