2.5 等比數(shù)列的前n項和1等比數(shù)列的前n項和公式若等比數(shù)列的首項為，公比為，則等比數(shù)列的前項和的公式為2等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特性（1）當公比時，因為，所以是關(guān)于n的正比例函數(shù)，則數(shù)列的圖象是正比例函數(shù)圖象上的一群孤立的點（2）當公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，即，設，則上式可寫成的形式，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和是一個關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)與一個常數(shù)的和，且指數(shù)型函數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)3等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)設等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，則利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式可推得等比數(shù)列的前n項和具有以下性質(zhì)：（1）當時，；當時，（2）（3）若項數(shù)為，則，若項數(shù)為，則（4）當時，連續(xù)項的和（如）仍組成等比數(shù)列（公比為，）注意：這里連續(xù)m項的和均非零K知識參考答案：1 2 3K重點等比數(shù)列前n項和公式的應用、基本量的計算K難點等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應用、與等差數(shù)列的綜合問題、數(shù)列求和問題K易錯運用前n項和公式時忽略對公比的討論等比數(shù)列的前n項和的相關(guān)計算問題在等比數(shù)列問題中共涉及五個量：及，利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式即可“知三求二”注意方程思想、整體思想及分類討論等思想的應用（1）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前n項和，若，是方程的兩個根，則_； （2）在等比數(shù)列中，公比為，前n項和為，若，則_，_【答案】（1）364；（2），【解析】（1）因為，是方程的兩個根，且是遞增數(shù)列，所以，則公比，所以（2）方法1：由于，所以，由，可得，可得，解得，代入得，所以，方法2：因為，且，所以，解得，由，解得，所以，【名師點睛】本題中，第（2）問中的方法1使用了求和公式，因此要對公比q是否為1作出判斷，而方法2避開了使用求和公式，則避免了這一判斷在使用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要先確定公比q是否等于1，當無法確定時，要對q是否為1作分類討論等比數(shù)列的前n項和性質(zhì)的應用已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則_【答案】140【解析】方法1：設的公比為，由于，所以由，列方程組即可求解，此處不再贅述方法2：由，易得公比，根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1），可得，即，解得，又，所以，方法3：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（2），可得，即，解得，所以方法4：根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（4），可知，成等比數(shù)列，則，即，解得【名師點睛】恰當?shù)厥褂玫缺葦?shù)列前n項和的相關(guān)性質(zhì)，可以避繁就簡，不僅可以減少解題步驟，而且可以使運算簡便，同時還可以避免對公比q的討論解題時把握好等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的使用條件，并結(jié)合題設條件尋找使用性質(zhì)的切入點等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題已知等比數(shù)列的公比（1）若，求數(shù)列的前項和；（2）證明：對任意的，成等差數(shù)列【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由及，得，所以數(shù)列的前項和（2）對任意的，由，得=0，故=0所以，對任意的，成等差數(shù)列【名師點睛】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題（即雙數(shù)列問題）的關(guān)鍵在于用好它們的有關(guān)知識，理順兩個數(shù)列間的關(guān)系，還應注意等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和問題1錯位相減法的應用錯位相減法是一種重要的數(shù)列求和方法，等比數(shù)列前n項和公式的推導用的就是錯位相減法當一個數(shù)列由等差數(shù)列與等比數(shù)列對應項的乘積構(gòu)成時，可使用此法求數(shù)列的前n項和已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）【解析】（1）設數(shù)列的公差為，令得，所以；令得，所以由及，解得，所以（2）由（1）知所以所以兩式相減，得所以【名師點睛】在運用錯位相減法求數(shù)列前n項和時要注意以下四點：（1）乘數(shù)（式）的選擇；（2）對q的討論；（3）兩式相減后的未消項及相消項呈現(xiàn)的規(guī)律；（4）相消項中構(gòu)成數(shù)列的項數(shù)2分組求和法的應用分組求和法適用于解決數(shù)列通項公式可以寫成的形式的數(shù)列求和問題，其中數(shù)列與是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可以直接求和的數(shù)列已知是等差數(shù)列，且，數(shù)列滿足，且是等比數(shù)列（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和【答案】（1），；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意，得，所以，設等比數(shù)列的公比為，由題意，得，解得所以，從而（2）由（1）知，因為數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，所以數(shù)列的前n項和為【名師點睛】（1）本題采用了分組求和法，其實質(zhì)是利用加法結(jié)合律對一個求和式子進行重新組合，合并“同類項”后，再分別求和（2）利用分組求和法解題的步驟：根據(jù)通項公式的特征準確拆分，將其分解為可以直接求和的一些數(shù)列的和；分組求和，分別求出各個數(shù)列的和；得出結(jié)論，對拆分后每個數(shù)列的和進行組合，解決原數(shù)列的求和問題利用等比數(shù)列的前n項和公式時忽略對公比的討論從而導致錯誤在數(shù)列中，若，求的前n項和【錯解】由題易得，【錯因分析】錯解在求時忽略了對公比是否等于1的討論，且默認是等比數(shù)列【正解】當時，所以；當時，所以；當時，綜上，【名師點睛】無論是求等比數(shù)列的前n項和，還是已知等比數(shù)列的前n項和求其他量，只要使用等比數(shù)列前n項和公式，就要對公比q是否為1作分類討論1在等比數(shù)列中，則的前4項和為A81B120C168D1922已知等比數(shù)列中，則由此數(shù)列的奇數(shù)項所組成的新數(shù)列的前n項和ABCD3已知等比數(shù)列中，等差數(shù)列中，則數(shù)列的前項和ABCD4已知數(shù)列滿足，則的前10項和等于ABCD5設是等比數(shù)列的前項和，則公比ABC或D或6已知等比數(shù)列的前項和為，且，則ABCD7已知等比數(shù)列中，則的前項和_8在等比數(shù)列中，則_9已知為等比數(shù)列，則_10已知數(shù)列，若新數(shù)列，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則_11已知數(shù)列的前項和為，（1）求，； （2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列12已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d0，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和13在等比數(shù)列中，則A28B32C35D4914等比數(shù)列的前項和記為，若，則A7:9B1:3C5:7D3:515在等比數(shù)列中，前項和為，若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于ABCD16設等比數(shù)列的前項和為，若，則_17已知表示正項等比數(shù)列的前項和若，則的值是_18若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列中，點在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)（1）證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設（1）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為，求；19已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，滿足，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和20已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，對任意的正整數(shù)，恒成立，試求實數(shù)的取值范圍21（2017新課標全國理）我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A1盞B3盞C5盞D9盞22（2018新課標全國理）記為數(shù)列的前項和，若，則_23（2017江蘇）等比數(shù)列的各項均為實數(shù)，其前項和為，已知，則_24（2018新課標全國文）等比數(shù)列中，（1）求的通項公式；（2）記為的前項和若，求25（2018北京文）設是等差數(shù)列，且，（1）求的通項公式；（2）求26（2017新課標全國文）記Sn為等比數(shù)列的前n項和，已知S2=2，S3=6（1）求的通項公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列27（2017北京文）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，（1）求的通項公式；（2）求和：28（2017新課標全國文）已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，（1）若，求的通項公式；（2）若，求29（2018天津文）設是等差數(shù)列，其前項和為；是等比數(shù)列，公比大于，其前項和為已知，（1）求和；（2）若，求正整數(shù)的值30（2017山東文）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和Sn，已知，求數(shù)列的前n項和31（2017天津理）已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，（1）求和的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和32（2018浙江）已知等比數(shù)列的公比，且，是，的等差中項數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式1【答案】B【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，解得又，所以等比數(shù)列的前4項和，故選B3【答案】B【解析】由于為等比數(shù)列，所以，又，所以，在等差數(shù)列中，所以，數(shù)列的前項和，故選B4【答案】C【解析】，是等比數(shù)列，公比為，首項為，故選C5【答案】C【解析】，又解得或，故選C6【答案】D【解析】因為，所以，解得，則，所以，故選D7【答案】【解析】因為，所以，又，所以，公比，所以，所以8【答案】21【解析】由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知：成等比數(shù)列，因為所以，解得10【答案】【解析】依題意可得，即，所以11【答案】（1），；（2）證明見解析【解析】（1）由，得，所以又，所以，解得（2）當時，即，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列12【答案】（1）93n；（2）【解析】（1）由題意得，即，解得或d0（舍去），得d3（n1）d63（n1）93n，即93n（2），64，是以64為首項，為公比的等比數(shù)列，13【答案】A【解析】因為是等比數(shù)列，所以每相鄰兩項的和也成等比數(shù)列，所以，成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，所以，解得或（舍去），故選A 15【答案】B【解析】設等比數(shù)列的公比，則，由數(shù)列也是等比數(shù)列得是等比數(shù)列，所以，為等比數(shù)列，所以，得，即，所以故選B16【答案】33【解析】由題意可得公比，因為，所以解得（舍去）或，故18【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意得，即，則是“平方遞推數(shù)列”對兩邊取對數(shù)得，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）知，則19【答案】（1），；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，解得，故，（2）由（1）知，故 ， ，得：，所以20【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等比數(shù)列的首項為，公比為依題意，有，代入，得，因此，即解得或又數(shù)列單調(diào)遞增，則故（2）因為，所以 ， ，得因為，所以對任意正整數(shù)恒成立，所以對任意正整數(shù)恒成立，即恒成立因為，所以，故實數(shù)的取值范圍是21【答案】B【解析】設塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個首項為，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有，解得，即塔的頂層共有燈3盞，故選B【名師點睛】用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后將經(jīng)過數(shù)學推理與計算得出的結(jié)果放回到實際問題中，進行檢驗，最終得出結(jié)論22【答案】【解析】根據(jù)可得，兩式相減可得，即，當時，解得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以23【答案】32【解析】當時，顯然不符合題意；當時，解得，則【名師點睛】在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路：利用基本量，將多元問題簡化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標明確；利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用但在應用性質(zhì)時要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當變形在解決等差、等比數(shù)列的運算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運算量”的方法24【答案】（1）或；（2）25【答案】（1）；（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又，所以所以（2）由（1）知，因為，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以26【答案】（1）；（2），成等差數(shù)列，證明見解析【思路分析】（1）由等比數(shù)列通項公式解得，即可求解；（2）利用等差中項即可證明，成等差數(shù)列【解析】（1）設的公比為由題設可得解得，故的通項公式為（2）由（1）可得由于，故，成等差數(shù)列27【答案】（1）；（2）【思路分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進行求解；（2）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為因為，所以，解得，所以（2）設等比數(shù)列的公比為因為，所以，解得，所以從而【名師點睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；裂項相消法求和，一般適用于，等的形式；錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；倒序相加法求和，一般適用于首末兩項的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和28【答案】（1）；（2）當時，；當時，【思路分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列通項公式表示條件，得關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組得公比，代入等比數(shù)列通項公式即可；（2）由等比數(shù)列前三項的和求公比，分類討論，求公差，再根據(jù)等差數(shù)列前三項求和【解析】設的公差為，的公比為，則，由得 （1）由得 ，聯(lián)立和解得（舍去）或，因此的通項公式為（2）由，得，解得或當時，由得，則當時，由得，則29【答案】（1），；（2）（2）由（1）可得，由可得，整理得，解得（負值舍去），所以的值為30【答案】（1）；（2）【思路分析】（1）列出關(guān)于的方程組，解方程組求基本量；（2）用錯位相減法求和【解析】（1）設的公比為，由題意知：又，解得，所以（2）由題意知：，又所以，令，則，因此，又，兩式相減得，所以31【答案】（1），；（2）【思路分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程求出等差數(shù)列的首項和公差及等比數(shù)列的公比，即可寫出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前n項和【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為由已知，得，而，所以又，解得，所以由，可得 ，由，可得 ，聯(lián)立，解得，由此可得所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為（2）設數(shù)列的前項和為，由，有，故，上述兩式相減，得，即，所以數(shù)列的前項和為【名師點睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程組求數(shù)列的首項和公差或公比，進而寫出通項公式及前項和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和的方法有倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法和分組求和法等，本題考查的是錯位相減法求和32【答案】（1）；（2）【解析】（1）由是的等差中項可得，所以，解得由可得，因為，所以（2）設，數(shù)列前n項和為由可得由（1）可知，所以，故，設，則，上述兩式相減可得，所以，又，所以