考點(diǎn)測試52古典概型高考概覽考綱研讀1理解古典概型及其概率計算公式2會計算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率一、基礎(chǔ)小題1某銀行儲蓄卡上的密碼是一個6位數(shù)號碼，每位上的數(shù)字可以在09這10個數(shù)字中選取某人未記住密碼的最后一位數(shù)字，如果隨意按密碼的最后一位數(shù)字，則正好按對密碼的概率是()A B C D答案D解析只考慮最后一位數(shù)字即可，從0到9這10個數(shù)字中隨機(jī)選一個的概率為2一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機(jī)地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為()A BC D答案B解析該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為3天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，用隨機(jī)模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率可利用計算機(jī)產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，如果我們用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，順次產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989則這三天中恰有兩天下雨的概率約為()A B C D答案B解析由題意知這20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有：191，271，932，812，631，393，137，共7組隨機(jī)數(shù)，所求概率為4給甲、乙、丙三人打電話，若打電話的順序是任意的，則第一個給甲打電話的概率是()A B C D答案B解析給三人打電話的不同順序有6種可能，其中第一個給甲打電話的可能有2種，故所求概率為P5小敏打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A B C D答案C解析(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，事件總數(shù)有15種正確的開機(jī)密碼只有1種，P故選C6某班準(zhǔn)備到郊外野營，為此向商店訂了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運(yùn)到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是()A一定不會淋雨 B淋雨機(jī)會為C淋雨機(jī)會為 D淋雨機(jī)會為答案D解析用A，B分別表示下雨和不下雨，用a，b表示帳篷運(yùn)到和運(yùn)不到，則所有可能情形為(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，則當(dāng)(A，b)發(fā)生時就會被雨淋到，淋雨的概率為P故選D7某汽車站每天上午均有3輛開往A景點(diǎn)的分上、中、下等級的客車某天王先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車去A景點(diǎn)，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序為了盡可能乘上上等車，他采取如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，那么他乘上上等車的概率為()A B C D答案C解析共有6種發(fā)車順序：上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車)，所以他乘上上等車的概率為，故選C8一個正方體，它的表面涂滿了紅色，切割為27個同樣大小的小正方體，從中任取一個，它恰有一個面涂有紅色的概率是_答案解析研究涂紅后的正方體的六個面，發(fā)現(xiàn)每個面中僅最中間那塊只有一個面涂有紅色，故所求概率為二、高考小題9(2018全國卷)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為()A06 B05 C04 D03答案D解析設(shè)2名男同學(xué)為A1，A2，3名女同學(xué)為B1，B2，B3，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有B1B2，B1B3，B2B3共三種可能，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為P03故選D10(2017天津高考)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A B C D答案C解析從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P故選C11(2017全國卷)從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A B C D答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的基本事件總數(shù)為5525，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，所求概率P故選D12(2016江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是_答案解析先后拋擲2次骰子，所有可能出現(xiàn)的情況共36個，其中點(diǎn)數(shù)之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6個，從而點(diǎn)數(shù)之和小于10的有30個，故所求概率P三、模擬小題13(2018廣東茂名第一次綜合測試)在1，2，3，6這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)取出三個數(shù)，則數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)的概率是()A B C D答案A解析在1，2，3，6中隨機(jī)取出三個數(shù)，所有的可能結(jié)果為(1，2，3)，(1，2，6)，(1，3，6)，(2，3，6)，共4種，其中數(shù)字2是這三個不同數(shù)字的平均數(shù)的結(jié)果有(1，2，3)，共1種由古典概型概率公式可得所求概率為P故選A14(2018山東濟(jì)南二模)某商場舉行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：箱子中有編號為1，2，3，4，5的五個形狀、大小完全相同的小球，從中任取兩球，若摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù)則中獎；否則不中獎，則中獎的概率為()A B C D答案C解析由題得試驗的所有基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個，摸出的兩球號碼的乘積為奇數(shù)的基本事件有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3個，由古典概型的概率公式得P故選C15(2018石家莊重點(diǎn)高中摸底考試)一個三位數(shù)，個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x，y，z，當(dāng)且僅當(dāng)y>x，y>z時，稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243)，現(xiàn)從集合1，2，3，4中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為()A B C D答案B解析從集合1，2，3，4中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù)共有24個結(jié)果：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸數(shù)”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8個結(jié)果，所以這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為故選B16(2018山西孝義一模)從裝有大小材質(zhì)完全相同的3個紅球和3個黑球的不透明口袋中，隨機(jī)摸出兩個小球，則兩個小球同色的概率是()A B C D答案C解析記3個紅球分別為a，b，c，3個黑球分別為x，y，z，則隨機(jī)取出兩個小球共有15種可能：ab，ac，ax，ay，az，bc，bx，by，bz，cx，cy，cz，xy，xz，yz，其中兩個小球同色共有6種可能，ab，ac，bc，xy，xz，yz，根據(jù)古典概型概率公式可得所求概率為，故選C17(2018江西南昌二模)在周易中，長橫“_”表示陽爻，兩個短橫“_”表示陰爻，有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有238種組合方法，這便是系辭傳所說：“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”，有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻三次有八種不同的情況即為八卦，在一次卜卦中，恰好出現(xiàn)兩個陽爻一個陰爻的概率是()A B C D答案C解析由題意知，所有可能出現(xiàn)的情況有：(陽，陽，陰)，(陽，陰，陽)，(陰，陽，陽)，(陰，陰，陽)，(陰，陽，陰)，(陽，陰，陰)，(陽，陽，陽)，(陰，陰，陰)，共8種，恰好出現(xiàn)兩個陽爻、一個陰爻的情況有3種，利用古典概型的概率計算公式，可得所求概率為故選C18(2018廣東深圳一調(diào))兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為()A B C D答案B解析記三本不同的書為a，b，c，兩人分書的基本結(jié)果用(x，y)表示，有(0，abc)，(a，bc)，(b，ac)，(c，ab)，(ab，c)，(ac，b)，(bc，a)，(abc，0)，共8種情況，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書有兩種情況，所以一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為，故選B一、高考大題1(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率解(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人(2)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，A，D，A，E，A，F(xiàn)，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F(xiàn)，B，G，C，D，C，E，C，F(xiàn)，C，G，D，E，D，F(xiàn)，D，G，E，F(xiàn)，E，G，F(xiàn)，G，共21種由(1)，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，B，C，D，E，F(xiàn)，G，共5種所以事件M發(fā)生的概率P(M)2(2017山東高考)某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率解(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15個所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3個則所求事件的概率為P(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9個包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2個，則所求事件的概率為P3(2016山東高考)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y獎勵規(guī)則如下：若xy3，則獎勵玩具一個；若xy8，則獎勵水杯一個；其余情況獎勵飲料一瓶假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻小亮準(zhǔn)備參加此項活動(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由解用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則基本事件空間與點(diǎn)集S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一對應(yīng)因為S中元素的個數(shù)是4416，所以基本事件總數(shù)n16(1)記“xy3”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)共5個，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)所以P(A)，即小亮獲得玩具的概率為(2)記“xy8”為事件B，“3<xy<8”為事件C，則事件B包含的基本事件數(shù)共6個，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)所以P(B)事件C包含的基本事件數(shù)共5個，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)所以P(C)因為>，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率二、模擬大題4(2018安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)某班級甲、乙兩個小組各有10位同學(xué)，在一次期中考試中，兩個小組同學(xué)的成績?nèi)缦拢杭捉M：94，69，73，86，74，75，86，88，97，98；乙組：75，92，82，80，95，81，83，91，79，82(1)畫出這兩個小組同學(xué)成績的莖葉圖，判斷哪一個小組同學(xué)的成績差異較大，并說明理由；(2)從這兩個小組成績在90分以上的同學(xué)中，隨機(jī)選取2人在全班介紹學(xué)習(xí)經(jīng)驗，求選出的2位同學(xué)不在同一個小組的概率解(1)莖葉圖如圖：由莖葉圖中數(shù)據(jù)分布可知，甲組數(shù)據(jù)分布比較分散，乙組數(shù)據(jù)分布相對集中，所以甲組同學(xué)的成績差異較大(也可通過計算方差說明，s1016，s374，s>s)(2)設(shè)甲組成績在90分以上的三位同學(xué)為A1，A2，A3；乙組成績在90分以上的三位同學(xué)為B1，B2，B3從這6位同學(xué)中選出2位同學(xué)，共有15個基本事件，列舉如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)；(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)；(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)；(B1，B2)，(B1，B3)；(B2，B3)其中，從這6位同學(xué)中選出的2位同學(xué)不在同一個小組的基本事件有9個，所以所求概率P5(2018江西新余一中第七次模擬)某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動：對首次消費(fèi)的顧客，按200元/次收費(fèi)，并注冊成為會員，對會員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下表：消費(fèi)次數(shù)第1次第2次第3次第4次5次及以上收費(fèi)比例1095090085080該公司從注冊的會員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：消費(fèi)次數(shù)第1次第2次第3次第4次5次及以上頻數(shù)60201055假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問題：(1)估計該公司一位會員至少消費(fèi)兩次的概率；(2)某會員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤；(3)該公司要從這100位里至少消費(fèi)兩次的顧客中按消費(fèi)次數(shù)用分層抽樣方法抽出8人，再從這8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品，求抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率解(1)100位會員中，至少消費(fèi)兩次的會員有40位，所以估計一位會員至少消費(fèi)兩次的概率為04(2)該會員第1次消費(fèi)時，公司獲得的利潤為20015050(元)，第2次消費(fèi)時，公司獲得的利潤為20009515040(元)，所以，公司獲得的平均利潤為45(元)(3)因為2010554211，所以用分層抽樣方法抽出的8人中，消費(fèi)2次的有4人，分別設(shè)為A1，A2，A3，A4，消費(fèi)3次的有2人，分別設(shè)為B1，B2，消費(fèi)4次和5次及以上的各有1人，分別設(shè)為C，D，從中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7種；去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6種；去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1種，總的抽取方法有765432128種，其中恰有1人消費(fèi)兩次的抽取方法有444416種，所以，抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率為