第三章檢測(cè)試題(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)互斥事件與對(duì)立事件及其公式2,7,9,14頻率與概率的關(guān)系1,3,8,13古典概型4,5,6,10,11,12,15,17,19綜合應(yīng)用16,18,20,21,22一、選擇題(每小題5分,共60分)1.王華向一個(gè)靶子投擲飛鏢,投了n次,投中了m次,則他投中靶子的頻率為mn,當(dāng)n很大時(shí),那么投中靶子這一事件發(fā)生的概率P(A)與mn的關(guān)系是(A)(A)P(A)mn(B)P(A)<mn(C)P(A)>mn (D)P(A)=mn解析:大量重復(fù)試驗(yàn)下,概率是頻率的穩(wěn)定值,頻率是概率的近似值,故選A.2.從1,2,3,9中任取兩數(shù),其中:恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù);至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù);至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù);至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù).在上述事件中,是對(duì)立事件的是(C)(A) (B) (C)(D)解析:從19中任取兩數(shù),有以下三種情況:(1)兩個(gè)均為奇數(shù);(2)兩個(gè)均為偶數(shù);(3)一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù),故選C.3.下列結(jié)論正確的是(C)(A)事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1(B)事件A的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件(C)用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500名病人治療,結(jié)果有380人有明顯的療效,現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥,則估計(jì)其有明顯療效的可能性為76%(D)某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為50%,則某人購(gòu)買此獎(jiǎng)券10張,一定有5張中獎(jiǎng)解析:A,B明顯不對(duì),C中,380500=76%,正確.D中,購(gòu)買此獎(jiǎng)券10張,可能一張也不中獎(jiǎng).4.同時(shí)投擲兩個(gè)骰子,則向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4的概率是(C)(A)118(B)112(C)19(D)16解析:由于同時(shí)投擲兩個(gè)骰子,共有66=36種不同的結(jié)果.則向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4的結(jié)果有(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)共4個(gè),P=436=19,故選C.5.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí),其中乙、丙兩級(jí)均屬次品,在正常生產(chǎn)情況下,出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是5%和3%,則抽驗(yàn)一只是正品(甲級(jí))的概率為(C)(A)0.95(B)0.97(C)0.92(D)0.08解析:記抽驗(yàn)的產(chǎn)品是甲級(jí)品為事件A,是乙級(jí)品為事件B,是丙級(jí)品為事件C,這三個(gè)事件彼此互斥,因而抽驗(yàn)產(chǎn)品是正品(甲級(jí))的概率為P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.故選C.6.從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù),則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率為(B)(A)15(B)25(C)35(D)45解析:可能構(gòu)成的兩位數(shù)的總數(shù)為54=20(種),因?yàn)槭恰叭稳　眱蓚€(gè)數(shù),所以每個(gè)數(shù)被取到的概率相同,可以采用古典概型公式求解,其中大于40的兩位數(shù)有以4開頭的:41,42,43,45共4種;以5開頭的:51,52,53,54共4種,所以P=820=25.7.從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個(gè),其質(zhì)量小于4.8 g的概率為0.3,質(zhì)量小于4.85 g的概率為0.32,那么質(zhì)量在4.8,4.85g范圍內(nèi)的概率是(C)(A)0.62(B)0.38(C)0.02(D)0.68解析:設(shè)“質(zhì)量小于4.8 g”為事件A,“質(zhì)量小于4.85 g”為事件B,“質(zhì)量在4.8,4.85g”為事件C,則A+C=B,且A,C為互斥事件,所以P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C),則P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.8.某城市2016年的空氣質(zhì)量狀況如表所示:污染指數(shù)T3060100110130140概率P1101613730215130其中污染指數(shù)T50時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu);50<T100時(shí),空氣質(zhì)量為良;100<T150時(shí),空氣質(zhì)量為輕微污染.該城市2016年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為(B)(A)1180(B)35(C)119(D)569.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等,則甲或乙被錄用的概率為(D)(A)23(B)25(C)35(D)910解析:記“甲或乙被錄用”為事件A.從五人中錄用三人,基本事件有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10種可能,而A的對(duì)立事件A僅有(丙,丁,戊)一種可能,所以A的對(duì)立事件A的概率為P(A)=110,所以P(A)=1-P(A)=910.10.有五條線段長(zhǎng)度分別為1,3,5,7,9,從這5條線段中任取3條,則所取3條線段能構(gòu)成三角形的概率為(B)(A)110(B)310(C)12(D)710解析:從5條線段中任意取3條共有10種取法,所取3條線段能構(gòu)成三角形的有3,5,7;3,7,9;5,7,9,故所求概率為310.故選B.11.為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(C)(A)13(B)12(C)23(D)56解析:從4種顏色的花中任選2種種在一個(gè)花壇中,余下2種種在另一個(gè)花壇,有6種種法,其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種數(shù)有4種,故概率為23,選C.12.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個(gè)數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b1,2,3,4,5,6,若|a-b|1,就稱甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲,則他們“心有靈犀”的概率為(D)(A)19(B)29(C)718(D)49解析:任意找兩人玩這個(gè)游戲,共有66=36種猜數(shù)字結(jié)果,其中滿足|a-b|1的有如下情形:若a=1,則b=1,2;若a=2,則b=1,2,3;若a=3,則b=2,3,4;若a=4,則b=3,4,5;若a=5,則b=4,5,6;若a=6,則b=5,6,總共16種,故他們“心有靈犀”的概率為P=1636=49.故選D.二、填空題(每小題5分,共20分)13.一個(gè)容量為100的樣本,其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下:組別(0,10(10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70頻數(shù)1213241516137則任取一個(gè)數(shù)據(jù)落在(10,40上的概率為.解析:(10,40包含(10,20,(20,30,(30,40三部分,所以數(shù)據(jù)落在(10,40上的頻數(shù)為13+24+15=52,fn(A)=nAn=0.52,由頻率估計(jì)概率可得概率為0.52.答案:0.5214.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,所選3人中至少有一名女生的概率為45,那么所選3人中都是男生的概率為.解析:“至少有一名女生”與“都是男生”是對(duì)立事件.故3人中都是男生的概率P=1-45=15.答案:1515.在集合x|x=1,2,3,10中任取一個(gè)元素,所取元素恰好滿足log2x為整數(shù)的概率是.解:當(dāng)x=1,2,4,8時(shí),log2x分別為整數(shù)0,1,2,3.又因?yàn)榭傮w共有10個(gè),所以其概率為410=25.答案:2516.同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,向上的點(diǎn)數(shù)分別記為b,c,則方程x2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根的概率為.解析:本試驗(yàn)的基本事件共有36個(gè),方程x2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根的充要條件是b2<4c,滿足此條件的(b,c)共有17種情況:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),故所求事件的概率P=1736.答案:1736三、解答題(共70分)17.(本小題滿分10分)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,觀察其向上的點(diǎn)數(shù),分別記為x,y.(1)若記“x+y=8”為事件A,求事件A發(fā)生的概率;(2)若記“x2+y212”為事件B,求事件B發(fā)生的概率.解:先后拋擲2次骰子,第一次骰子向上的點(diǎn)數(shù)有6種可能的結(jié)果,對(duì)于每一種,第二次又有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果,于是基本事件一共有66=36(種).(1)記“x+y=8”為事件A,則A事件發(fā)生的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)共5個(gè),所以所求的概率為P(A)=536.(2)記“x2+y212”為事件B,則B事件發(fā)生的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6個(gè),所以所求的概率為P(B)=636=16.18.(本小題滿分12分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率;(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為m,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為n,求n<m+2的概率.解:(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個(gè).從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不大于4的事件有1和2,1和3,共 2個(gè).因此所求事件的概率為P=26=13.(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為m,放回后,再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,記下編號(hào)為n,其一切可能的結(jié)果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個(gè).又滿足條件nm+2的事件有:(1,3),(1,4),(2,4)共3個(gè),所以滿足條件nm+2的事件的概率為P1=316.故滿足條件n<m+2的事件的概率為1-P1=1-316=1316.19.(本小題滿分12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率;(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.解:(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人,故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人,所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P=1545=13.(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:A1,B1,A1,B2,A1,B3,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A3,B1,A3,B2, A3,B3,A4,B1,A4,B2,A4,B3,A5,B1,A5,B2,A5,B3,共15個(gè).根據(jù)題意,這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本事件有:A1,B2,A1,B3,共2個(gè).因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=215.20.(本小題滿分12分)在一個(gè)人流量較大的街道,有一中年人吆喝“送錢”,只見他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球(其體積、質(zhì)地完全相同),旁邊立著一塊小黑板寫道:摸球方法:從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球,若摸得同一顏色的3個(gè)球,攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個(gè)球,摸球者付給攤主1 元錢.(1)摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?(2)假定一天中有100人次摸獎(jiǎng),試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一天能賺多少錢?解:把3只黃色的乒乓球標(biāo)記為A,B,C,3只白色的乒乓球標(biāo)記為1,2,3.從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)的基本事件為:ABC,AB1,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,A12,A13,A23,BC1,BC2,BC3,B12,B13,B23,C12,C13,C23,123,共20個(gè).(1)事件E=摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊?事件E包含的基本事件有1個(gè),即摸出123,P(E)=120=0.05.(2)事件F=摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾?摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個(gè)球?yàn)辄S球,P(F)=220=0.1,假定一天中有100人次摸獎(jiǎng),由摸出的3個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件F發(fā)生有10次,不發(fā)生有90次.則一天可賺901-105=40,每天可賺40元.21.(本小題滿分12分)近年來,某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1 000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:噸):“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率;(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率;(3)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時(shí),寫出a,b,c的值(結(jié)論不要求證明),并求此時(shí)s2的值.(注:s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,其中x為x1,x2,xn的平均數(shù))解:(1)廚余垃圾投放正確的概率約為 “廚余垃圾”箱里廚余垃圾量廚余垃圾總量=400400+100+100=23. (2)設(shè)生活垃圾投放錯(cuò)誤為事件A,則事件A表示生活垃圾投放正確. 事件A的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量,即P(A)約為400+240+601 000=0.7.所以P(A)約為1-0.7=0.3. (3)當(dāng)a=600,b=c=0時(shí),s2取得最大值.因?yàn)閤=13(a+b+c)=200, 所以s2=13(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2=80 000.即s2的最大值為80 000.22.(本小題滿分12分)袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號(hào)分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率;(2)向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩種卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率.解:(1)標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A,B,C,標(biāo)號(hào)為1,2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D,E,從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E), (D,E),共10種.由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.從五張卡片中任取兩張,這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為(A,D),(A,E),(B,D),共3種.所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為310.(2)記F是標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片,從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F), (C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15種.由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.從六張卡片中任取兩張,這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8種.所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為815.