13概率1.有一個游戲,其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進(jìn),每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”的關(guān)系為().A.互斥但非對立事件B.對立事件C.和事件是可能事件D.以上都不對解析由于每人一個方向,故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的,故是互斥事件,但不是對立事件,故選A.答案A2.將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為().A.12B.13C.23D.56解析設(shè)2本不同的數(shù)學(xué)書為a1,a2,1本語文書為b,則在書架上的擺放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6種,其中數(shù)學(xué)書相鄰的有4種.因此2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率P=46=23,故選C.答案C3.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件A為“抽到一等品”,事件B為“抽到二等品”,事件C為“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為.解析事件A為“抽到一等品”,且P(A)=0.65,事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.答案0.354.在區(qū)間-2,4上隨機地取一個數(shù)x,若x滿足|x|m的概率為56,則m=.解析由|x|m,得-mxm.當(dāng)0<m2時,由題意得2m6=56,解得m=2.5,矛盾,舍去.當(dāng)2<m<4時,由題意得m-(-2)6=56,解得m=3.答案3能力1互斥、對立事件的概率【例1】一盒中裝有12個球,其中5個紅球,4個黑球,2個白球,1個綠球.從中隨機取出1個球,求:(1)取出的球是紅球或黑球的概率;(2)取出的球是紅球或黑球或白球的概率.解析(法一:利用互斥事件求概率)記事件A1=任取1個球為紅球,事件A2=任取1個球為黑球,事件A3=任取1個球為白球,事件A4=任取1個球為綠球,則P(A1)=512,P(A2)=412=13,P(A3)=212=16,P(A4)=112.由題意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出的球是紅球或黑球的概率為P(A1A2)=P(A1)+P(A2)=512+412=34.(2)取出的球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+412+212=1112.(法二:利用對立事件求概率)(1)由法一知,取出的球為紅球或黑球的對立事件為取出的球為白球或綠球,即事件A1A2的對立事件為A3A4,所以取出的球為紅球或黑球的概率為P(A1A2)=1-P(A3A4)=1-P(A3)-P(A4)=1-212-112=34.(2)因為事件A1A2A3的對立事件為A4,所以P(A1A2A3)=1-P(A4)=1-112=1112.求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的,求解時通常有兩種方法:(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事件的和事件,利用概率加法公式求解概率.(2)若將一個較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和事件時,需要分類太多,而其對立面的分類較少,可考慮利用對立事件的概率公式,即“正難則反”.它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率.某學(xué)校在教師外出家訪了解學(xué)生家長對孩子的學(xué)習(xí)關(guān)心情況活動中,一個月內(nèi)派出的教師人數(shù)及其概率如下表所示:派出人數(shù)23456概率0.10.460.30.10.04(1)求有4人或5人外出家訪的概率;(2)求至少有3人外出家訪的概率.解析(1)設(shè)派出2人及以下為事件A,3人為事件B,4人為事件C,5人為事件D,6人及以上為事件E,則有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D,C,D為互斥事件,根據(jù)互斥事件概率的加法公式可知,P(CD)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.(2)至少有3人外出家訪的對立事件為2人及以下外出家訪,所以由對立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.能力2古典概型的求法【例2】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率;(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽,求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.解析(1)由題意,參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.入選代表隊的學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為C33C43C63C63=1100,因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1-1100=99100.(2)設(shè)“參賽的4人中女生不少于2人”為事件A,記“參賽女生有2人”為事件B,“參賽女生有3人”為事件C,則P(B)=C32C32C64=35,P(C)=C33C31C64=15.由互斥事件的概率加法公式,得P(A)=P(B)+P(C)=35+15=45,故所求事件的概率為45.1.求較復(fù)雜事件的概率問題,解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義,把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型,必要時先將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和,或者先求其對立事件的概率,再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼?2.注意區(qū)別排列與組合,以及計數(shù)原理的正確使用.(1)同學(xué)聚會上,某同學(xué)從愛你一萬年十年父親單身情歌四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演,則愛你一萬年未被選取的概率為().A.13B.12C.23D.56(2)從集合A=-2,-1,2中隨機抽取一個數(shù)記為a,從集合B=-1,1,3中隨機抽取一個數(shù)記為b,則直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率為().A.29B.13C.49D.14解析(1)分別記愛你一萬年十年父親單身情歌為A1,A2,A3,A4,從這四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演的所有可能的結(jié)果為A1A2,A1A3,A1A4,A2A3,A2A4,A3A4,共6種,其中A1未被選取的結(jié)果有3種,所以所求概率P=36=12.故選B.(2)(a,b)所有可能的結(jié)果為(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9種.由ax-y+b=0得y=ax+b,當(dāng)a0,b0時,直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限,符合條件的(a,b)的結(jié)果為(2,1),(2,3),共2種,故直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率P=29.答案(1)B(2)A能力3幾何概型的應(yīng)用【例3】(1)如圖,已知小圓的半徑為2 km,大圓的半徑為4 km,假設(shè)衛(wèi)星P(大小不計)在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運動,則在運行過程中,衛(wèi)星P與點O(O為圓心)的距離小于3 km的概率為.(2)在長為12 cm的線段AB上任取一點C,現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形面積小于32 cm2的概率為.解析(1)根據(jù)幾何概型公式,小于3 km的圓環(huán)面積為(32-22)=5.圓環(huán)總面積為(42-22)=12,所以衛(wèi)星P與點O的距離小于3 km的概率P=512=512.(2)設(shè)AC=x cm(0<x<12),則CB=(12-x)cm,故矩形的面積S=x(12-x)=12x-x2(cm2).由12x-x2<32,即(x-8)(x-4)>0,解得0<x<4或8<x<12.在數(shù)軸上表示,如圖所示.由幾何概型概率公式,得所求概率P=812=23.答案(1)512(2)231.求解與長度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度),然后求解.要特別注意“長度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長度或角度).2.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型,解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算,基本方法是數(shù)形結(jié)合.3.解題時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.(1)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=3,BC=1,在DAB內(nèi)任意作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為.(2)設(shè)不等式組0x2,0y2表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是().A.4B.-22C.6D.4-4解析(1)因為在DAB內(nèi)任意作射線AP,所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域是DAB,當(dāng)射線AP與線段BC有公共點時,射線AP落在CAB內(nèi),所以射線AP與線段BC有公共點的概率P=CABDAB=3090=13.(2)如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的平面區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點的距離大于2的點.易知該陰影部分的面積為4-.因此滿足條件的概率P=4-4,故選D.答案(1)13(2)D一、選擇題1.將一枚硬幣向上拋擲10次,則“正面向上恰有5次”是().A.必然事件B.隨機事件C.不可能事件D.無法確定解析拋擲10次硬幣正面向上的次數(shù)可能為010,都有可能發(fā)生,正面向上5次是隨機事件,故選B.答案B2.如圖所示,邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在正方形中隨機撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為23,則陰影區(qū)域的面積為().A.43B.83C.23D.無法計算解析在正方形中隨機撒一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率P=S陰影S正方形=23,即S陰影4=23,解得S陰影=83,故選B.答案B3.已知集合A=2,3,B=1,2,3,從A,B中各任意取一個數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是().A.23B.12C.13D.16解析從A,B中任意取一個數(shù),共有C21C31=6種情形,兩數(shù)之和等于4的情形只有(2,2),(3,1),共2種,故所求事件的概率P=26=13.答案C4.袋中裝有3個白球,4個黑球,從中任取3個球,則恰有1個白球和全是白球;至少有1個白球和全是黑球;至少有1個白球和至少有2個白球;至少有1個白球和至少有1個黑球.在上述事件中,是對立事件的為().A.B.C.D.解析至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生,且一定有一個發(fā)生,中的事件是對立事件,故選B.答案B5.從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)a,從1,2,3中隨機選取一個數(shù)b,則b>a的概率是().A.45B.35C.25D.15解析基本事件的個數(shù)為53=15,其中滿足b>a的有3種,所以b>a的概率為315=15,故選D.答案D6.某袋中有編號為1,2,3,4,5,6的6個球(小球除編號外完全相同),甲先從袋中摸出1個球,記下編號后放回,乙再從袋中摸出1個球,記下編號,則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是().A.15B.16C.56D.3536解析設(shè)a、b分別為甲、乙摸出球的編號.由題意知,摸球試驗共有36種不同的結(jié)果,滿足a=b的基本事件共有6種,所以摸出編號不同的概率P=1-636=56,故選C.答案C7.一個三位自然數(shù)百位、十位、個位上的數(shù)字依次為a、b、c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b<c時稱為“凹數(shù)”(如213,312等),若a,b,c1,2,3,4,且a,b,c互不相同,則這個三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是().A.16B.524C.13D.724解析選出一個三位數(shù)有A43=24種情況,其中是“凹數(shù)”的有C432=8種情況,所以所求概率P=824=13.答案C8.在不等式組0x2,0y2所表示的平面區(qū)域內(nèi)任取一點P,若點P的坐標(biāo)(x,y)滿足ykx的概率為34,則實數(shù)k=().A.4B.2C.23D.12解析如圖,滿足不等式組的區(qū)域是邊長為2的正方形,其面積是4.假設(shè)滿足不等式y(tǒng)kx的區(qū)域為圖中陰影部分,其面積為4-1222k,由幾何概型的概率公式得點P的坐標(biāo)(x,y)滿足ykx的概率為4-1222k4=34,解得k=12.答案D9.設(shè)m,n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),則在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程x2+mx+n=0有實根的概率為().A.1136B.736C.711D.710解析先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的情況有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11種,其中使方程x2+mx+n=0有實根的情況有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7種.故所求事件的概率P=711,故選C.答案C10.若函數(shù)f(x)=ex,0x<1,lnx+e,1xe在區(qū)間0,e上隨機取一個實數(shù)x,則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是().A.1eB.1-1eC.e1+eD.11+e解析當(dāng)0x<1時,恒有f(x)e=x<e,不滿足題意.當(dāng)1xe時,f(x)=lnx+e,由lnx+ee,得1xe.故所求事件的概率為P=e-1e=1-1e.答案B二、填空題11.從2,3,8,9中任取2個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.解析從2,3,8,9中任取2個不同的數(shù)字,記為(a,b),則有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共12種情況,其中符合logab為整數(shù)的有(3,9)和(2,8)2種情況,故所求事件的概率P=212=16.答案1612.某校高三年級要從4名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽(每人被選中的機會均等),則男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率是.解析男生甲和女生乙至少有一人被選中的概率P=1-C43C63=45.答案45三、解答題13.海關(guān)對同時從A,B,C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測,從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量;(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.解析(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是650+150+100=150,所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50150=1,150150=3,100150=2.所以A,B,C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)從6件樣品中抽取2件商品的基本事件數(shù)為C62=15,每個樣品被抽到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D為“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”,則事件D包含的基本事件數(shù)為C32+C22=4,所以P(D)=415.故這2件商品來自相同地區(qū)的概率為415.