3.3 排序不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景2理解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理，會用排序不等式解決簡單的不等式問題一、自學(xué)釋疑根據(jù)線上提交的自學(xué)檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。二、合作探究思考探究使用排序不等式的關(guān)鍵是什么？名師點撥：1排序原理的本質(zhì)含義兩組實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小等號成立的條件是其中至少有一組序列為常數(shù)序列2排序原理的思想在解答數(shù)學(xué)問題時常常涉及到一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時，不妨可以把它們按一定順序排列起來利用排序原理，往往有助于解決問題3排序原理的推論對于實數(shù)a1，a2，an，設(shè)ai1，ai2，ain為其任一個排列，則有a1ai1a2ai2anainaaa.4利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值時，先要對待證不等式及已知條件仔細(xì)分析，觀察不等式的結(jié)構(gòu)，明確兩個數(shù)組的大小順序，分清順序和、亂序和反序和，由于亂序和是不確定的，根據(jù)需要寫出其中的一個即可一般最值是順序和或反序和5排序不等式證明不等式的策略(1)利用排序不等式證明不等式時，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和利用排序不等式證明即可(2)若在解答數(shù)學(xué)問題時，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序那么在解答問題時，我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來，繼而用不等式關(guān)系來解題.【例1】某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品4件，5件及2件，現(xiàn)在選擇商品中單價為3元，2元和1元的禮品，問至少要花多少錢？最多要花多少錢？【變式訓(xùn)練1】設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，且a1a2a31，求的最小值【例2】已知a，b，cR，求證：a10b10c10.【變式訓(xùn)練2】已知a，b，c都是正數(shù)，求證：.【例3】設(shè)x>0，求證：1xx2x2n(2n1)xn.【變式訓(xùn)練3】已知a，b，c為正數(shù)，用排序不等式證明：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)參考答案二、合作探究探究1：兩組實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小等號成立的條件是其中至少有一組序列為常數(shù)序列探究2：在解答數(shù)學(xué)問題時常常涉及到一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時，不妨可以把它們按一定順序排列起來利用排序原理，往往有助于解決問題探究3：對于實數(shù)a1，a2，an，設(shè)ai1，ai2，ain為其任一個排列，則有a1ai1a2ai2anainaaa.探究4：利用排序不等式求最值時，先要對待證不等式及已知條件仔細(xì)分析，觀察不等式的結(jié)構(gòu)，明確兩個數(shù)組的大小順序，分清順序和、亂序和反序和，由于亂序和是不確定的，根據(jù)需要寫出其中的一個即可一般最值是順序和或反序和探究5：(1)利用排序不等式證明不等式時，若已知條件中已給出兩組量的大小關(guān)系，則需要分析清楚順序和、亂序和及反序和利用排序不等式證明即可(2)若在解答數(shù)學(xué)問題時，涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序那么在解答問題時，我們可以利用排序原理將它們按一定順序排列起來，繼而用不等式關(guān)系來解題.【例1】【解】由題意可知，(a1，a2，a3)(2,4,5)，(b1，b2，b3)(1,2,3)，則花錢最少為：15243219(元)；花錢最多為：12243525(元)【變式訓(xùn)練1】解不妨設(shè)a3>a1>a2>0，則<<，所以a1a2<a2a3<a3a1.設(shè)亂序和Sa1a2a31，順序和S.由排序不等式得a1a2a31.所以的最小值為1.【例2】【分析】觀察需證不等式可以發(fā)現(xiàn)左、右兩邊的次數(shù)相等因此，應(yīng)該進行適當(dāng)?shù)钠礈?，使其成為積的形式【證明】不妨設(shè)abc>0，則>0，且a12b12c12>0.a10b10c10.【變式訓(xùn)練2】證明由于a，b，c的對稱性，不妨設(shè)abc>0，則.因而.又a5b5c5，由排序不等式，得.又由不等式性質(zhì)，知a2b2c2，.根據(jù)排序不等式，得.由不等式的傳遞性知.【例3】【分析】題中只給出了x>0，但是對于x1，x<1并不確定，因此，需要分類討論【證明】(1)當(dāng)x1時，1xx2xn，由排序原理知，11xxx2x2xnxnxn1xn1x1xn，1x2x4x2n(n1)xn.又x，x2，xn,1為1，x，x2，xn的一個排序，于是由排序原理得1xxx2xn1xn1xn1xnxxn1xn1xxn1，xx3x2n1nxn.，得1xx2x2n(2n1)xn.(2)當(dāng)0<x<1時，1>x>x2>>xn，同理可得綜合(1)與(2)，所以當(dāng)x>0時，1xx2x2n(2n1)xn.【變式訓(xùn)練3】證明取兩組數(shù)a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小如何，a3b3c3都是順序和，而a2bb2cc2a，及a2cb2ac2b都是亂序和因此，a3b3c3a2bb2cc2a，a3b3c3a2cb2ac2b.2(a3b3c3)a2(bc)b2(ca)c2(ab)