課時(shí)作業(yè)23解三角形應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m解析：由正弦定理得AB50 (m)答案：A22019武漢三中月考如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40方向上，燈塔B在觀察站南偏東60方向上，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10方向上 B北偏西10方向上C南偏東80方向上 D南偏西80方向上解析：由條件及題圖可知，AABC40，因?yàn)锽CD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80方向上答案：D3.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得BCD15，BDC30，CD30 m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60，則塔高AB等于()A5 m B15 mC5 m D15 m解析：在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，解得BC15(m)在RtABC中，ABBCtanACB1515 (m)答案：D4某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來(lái)船沿南偏東60的方向航行15 km后，看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是()A5 km B10 kmC5 km D5 km解析：作出示意圖(如圖)，點(diǎn)A為該船開始的位置，點(diǎn)B為燈塔的位置，點(diǎn)C為該船后來(lái)的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得，即BC5，即這時(shí)船與燈塔的距離是5 km.答案：C5.如圖，在離地面高400 m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15，山腳A處的俯角為45，已知BAC60，則山的高度BC為()A700 m B640 mC600 m D560 m解析：根據(jù)題意，可得在RtAMD中，MAD45，MD400，所以AM400.因?yàn)镸AC中，AMC451560，MAC180456075，所以MCA180AMCMAC45，由正弦定理，得AC400，在RtABC中，BCACsinBAC400600 (m)答案：C二、填空題62019山東省，湖北省部分中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)如圖，在某島附近海底某處有一條海防警戒線，在警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到A的距離分別為20千米和50千米，某時(shí)刻B點(diǎn)接收到發(fā)自水中P處的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，假設(shè)聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒，則P到海防警戒線的距離為_千米解析：通解依題意知PAPC，設(shè)PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，則cosPAB，在PAC中，AC50，則cosPAC.因?yàn)閏osPABcosPAC，所以，解得x31，過(guò)點(diǎn)P作PDAC于點(diǎn)D，則AD25，在RtADP中，PD4.故P到海防警戒線的距離為4千米優(yōu)解過(guò)點(diǎn)P作PDAC于點(diǎn)D，設(shè)PBx，由題意知，PAPCx1.58x12，AD25，BD5，在RtPAD中，PD2PA2AD2(x12)2252，在RtPBD中，PD2PB2BD2x252，則(x12)2252x252，可得x19，故PD4，即P到海防警戒線的距離為4千米答案：472019南昌市模擬已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市A東偏北(為銳角)度的150公里處，以v公里/時(shí)沿正西方向快速移動(dòng)，2.5小時(shí)后到達(dá)距城市A西偏北(為銳角)度的200公里處，若cos()，則v_.解析：如圖所示，AB150，AC200，根據(jù)題意可知B，C，因?yàn)閏os()，所以sin().在三角形ABC中，由正弦定理，得，得4sin3sin，所以4sin3sin()3sincos()cossin()3，整理得4sin3cos.又sin2cos21，所以sin，進(jìn)而sin，所以有sin2sin21，所以90，所以BAC180()90，所以BC250，故v100.答案：10082019福建省高中質(zhì)量檢測(cè)在平面四邊形ABCD中，AB1，AC，BDBC，BD2BC，則AD的最小值為_解析：設(shè)BAC，ABD(0，)，則ABC.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos62cos，由正弦定理，得，即BC.在ABD中，由余弦定理，得AD2AB2DB22ABDBcos14BC24BCcos14(62cos)4cos258cos4sin2520sin()，所以當(dāng)sin()1，即sin，cos時(shí)，AD2取得最小值5，所以AD的最小值為.答案：三、解答題92019石家莊高中摸底考試某學(xué)校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路(不考慮寬度)BCDCDE，BAE，DE3BC3CD km.(1)求道路BE的長(zhǎng)度；(2)求生活區(qū)ABE面積的最大值解析：(1)如圖，連接BD，在BCD中，BD2BC2CD22BCCDcosBCD，BD km.BCCD，CDBCBD，又CDE，BDE.在RtBDE中，BE(km)故道路BE的長(zhǎng)度為 km.(2)設(shè)ABE，BAE，AEB.在ABE中，易得，ABsin，AEsin.SABEABAEsinsinsin(km2)0<<，<2<.當(dāng)2，即時(shí)，SABE取得最大值，最大值為 km2，故生活區(qū)ABE面積的最大值為 km2.10要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30，并測(cè)得水平面上的BCD120，CD40 cm，求電視塔的高度解析：如圖，設(shè)電視塔AB高為x m，則在RtABC中，由ACB45得BCx.在RtABD中，ADB30，則BDx.在BDC中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos120，即(x)2x24022x40cos120，即得x40，所以電視塔高為40 m.能力挑戰(zhàn)11在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距離A處(1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的輯私船奉命在10海里/時(shí)的速度追截走私船同時(shí)，走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？解析：如圖，設(shè)緝私船t時(shí)后在D處追上走私船，則有CD10t，BD10t.在ABC中，AB1，AC2，BAC120.利用余弦定理可得BC.由正弦定理，得sinABCsinBAC，得ABC45，即BC與正北方向垂直于是CBD120.在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，得BCD30，BDC30.又，得t.所以緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花時(shí)