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2.1.1　合情推理 學習目標 重點難點 1．結合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，能分析合情推理的含義，能利用歸納推理和類比等方法進行簡單的推理． 2．會分析歸納推理與類比推理的聯(lián)系與區(qū)別，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用. 重點：理解歸納推理和類比推理的含義，并能利用歸納推理和類比推理進行簡單的推理． 難點：1．能運用合情推理進行簡單推理． 2．認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用. 1．推理 從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為________．任何推理都包含________和________兩個部分，________是推理所依據(jù)的命題，它告訴我們已知的知識是什么；________是根據(jù)________推得的命題，它告訴我們推出的知識是什么． 2．歸納推理 (1)從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為________．其思維過程大致為________→________→____________. (2)歸納推理的特點 ①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結論超越了前提所________． ②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質(zhì)，結論是否真實，還需要經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗．因此，它不能作為________的工具． ③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理．通過歸納法得到的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們________． 預習交流1 做一做：由三角形的內(nèi)角和是180，凸四邊形的內(nèi)角和是360＝2180，凸五邊形的內(nèi)角和是540＝3180，歸納出結論：__________________________________________. 3．類比推理 根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，像這樣的推理通常稱為________，簡稱________．其思維過程大致為________→________→__________. 預習交流2 做一做：對于平面幾何中的命題：夾在兩平行線之間的平行線段相等，在立體幾何中，類比上述命題，可得命題為________________． 4．合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結論、實驗和實踐的結果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結果的推理過程．________和________都是數(shù)學活動中常用的合情推理． 預習交流3 合情推理具有哪些特點？ 在預習中還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！ 我的學困點 我的學疑點 答案： 預習導引 1．推理　前提　結論　前提　結論　前提 2．(1)歸納推理　實驗、觀察　概括、推廣　猜測一般性結論 (2)①包容的范圍　②數(shù)學證明?、郯l(fā)現(xiàn)問題和提出問題 預習交流1：提示：凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)180 3．類比推理　類比法　觀察、比較　聯(lián)想、類推　猜測新的結論 預習交流2：提示：夾在兩平行平面之間的平行線段相等 4．歸納推理　類比推理 預習交流3：提示：合情推理有如下特點： (1)在數(shù)學研究中，得到一個新結論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結論； (2)證明一個數(shù)學結論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向； (3)一般來說，合情推理所獲得的結論，僅僅是一種猜想，未必可靠． 一、歸納推理 根據(jù)下列條件寫出數(shù)列的前4項，并歸納猜想它們的通項公式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)． 思路分析：本題可利用歸納推理求出數(shù)列的通項公式．歸納推理具有由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，在得出前幾項結果后，要注意統(tǒng)一形式，以便尋找規(guī)律，然后歸納猜想出結論． 1．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，則72 011的末兩位數(shù)字為__________． 2．(2012陜西高考)觀察下列不等式 1＋＜， 1＋＋＜， 1＋＋＋＜， …… 照此規(guī)律，第五個不等式為____________________． 3．(2012山東省實驗中學診斷，文14)若f(n)為n2＋1的各位數(shù)字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，則f(14)＝17，記f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，則f2 012(8)＝__________. 歸納推理的一般步驟是： (1)通過觀察個別情況，發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)； (2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性的命題(猜想)． 二、類比推理 在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1∶2，則它們的體積比為__________． 思路分析：兩個正三角形是相似的三角形，∴它們的面積之比是相似比的平方．同理，兩個正四面體是兩個相似幾何體，體積之比為相似比的立方，∴它們的體積比為1∶8. 已知△ABC的邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝r(a＋b＋c)．類比這一結論有：若三棱錐A－BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐體積VA－BCD＝________. (1)類比定義：本類型題解決的關鍵在于弄清兩個概念的相似性和相異性． (2)類比性質(zhì)(定理)：本類型題解決的關鍵是要理解已知性質(zhì)(定理)的內(nèi)涵及應用環(huán)境、使用方法，通過研究已知性質(zhì)(定理)，刻畫新性質(zhì)(定理)的“面貌”． (3)類比方法(公式)：本類型題解決的關鍵在于從解題方法(或公式)中，獲得使用方法(或公式)的啟示或推導方法(或公式)的手段，從而指導解決新問題． (4)類比范例：對有些提供范例的推理題，解答時可根據(jù)所給的信息與所求問題的相似性，運用類比的方法仿照范例，使問題得到解決． 1．在△ABC中，D為BC的中點，則＝(＋)，將命題類比到四面體中去得到一個類比命題：_______________________________________________________ ________________________________________________________________________. 2．若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則數(shù)列bn＝(n∈N*)也是等差數(shù)列． 類比上述性質(zhì)，相應地： 若數(shù)列{cn}(n∈N*)是等比數(shù)列，且cn＞0，則數(shù)列dn＝______(n∈N*)也是等比數(shù)列． 3．設平面內(nèi)有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若f(n)表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4)＝__________，當n＞4時，f(n)＝__________(用n表示)． 4．(2012山東濟寧鄒城二中月考，文13)給出下列命題： 命題1：點(1,1)是直線y＝x與雙曲線y＝的一個交點； 命題2：點(2,4)是直線y＝2x與雙曲線y＝的一個交點； 命題3：點(3,9)是直線y＝3x與雙曲線y＝的一個交點； …… 請觀察上面命題，猜想出命題n(n為正整數(shù))為______________________________． 5．對于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進行如圖表示的“分裂”．記53的“分裂”中的最小數(shù)為a，而52的“分裂”中最大數(shù)為b，則a＋b＝__________. 6．(2012湖北高考)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22,121,3 443,94 249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，…，99；3位回文數(shù)有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則 (1)4位回文數(shù)有________個； (2)2n＋1(n∈N*)位回文數(shù)有________個． 提示：用最精練的語言把你當堂掌握的核心知識的精華部分和基本技能的要領部分寫下來并進行識記. 知識精華 技能要領 答案： 活動與探究1：解：(1)當n＝1時，a1＝0.由an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)， 得a2＝a1＋1＝1， a3＝a2＋3＝4， a4＝a3＋5＝9. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32， 可歸納出an＝(n－1)2. (2)當n＝1時，a1＝1，由an＋1＝an(n∈N*)得a2＝a1＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.由a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，可歸納猜想(n∈N*)． 遷移與應用： 1．43　解析：因為71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2 011＝4502＋3，所以72 011的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同，為43. 2．1＋＋＋＋＋＜　解析：由前幾個不等式可知1＋＋＋＋…＋＜. 所以第五個不等式為1＋＋＋＋＋＜. 3．5　解析：∵82＋1＝65,6＋5＝11，∴f(8)＝11，f1(8)＝f(8)＝11.又∵112＋1＝122,1＋2＋2＝5， ∴f2(8)＝f(f1(8))＝f(11)＝5.又52＋1＝26，2＋6＝8，∴f3(8)＝f(f2(8))＝f(5)＝8，…，同理有f4(8)＝11，f5(8)＝5，f6(8)＝8，…，∴fk(8)的值呈周期性出現(xiàn)，周期為3.∴f2 012(8)＝f2(8)＝5. 活動與探究2：1∶8 遷移與應用： R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)　解析：內(nèi)切圓半徑r內(nèi)切球半徑R， 三角形的周長：a＋b＋c三棱錐各面的面積和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面積公式系數(shù)三棱錐體積公式系數(shù). ∴類比得三棱錐體積 VA－BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)． (證明時，三角形的結論可用等面積法，三棱錐的結論可用等體積法) 當堂檢測 1．在四面體A－BCD中，G是△BCD的重心，則＝(＋＋)　解析：平面中線段的中點類比到空間四面體中面的重心，頂點與中點的連線類比頂點和重心的連線． 2．　解析：等差數(shù)列中，由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得bn＝＝＝＝＝a1＋(n－1)，仍為等差數(shù)列． 而等比數(shù)列中，由c1cn＝c2cn－1＝…，得dn＝＝＝，仍為等比數(shù)列． 3．5　(n＋1)(n－2)　解析：如圖可得f(4)＝5. ∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5， … ∴每增加一條直線，交點增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù)． ∴f(n)＝f(n－1)＋n－1， 累加，得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1) ＝2＋3＋4＋…＋(n－1) ＝(n＋1)(n－2)． 4．點(n，n2)是直線y＝nx與雙曲線y＝的一個交點　解析：由已知交點依次寫為(1,12)，(2,22)，(3,32)，∴命題n中交點為(n，n2)．直線中系數(shù)依次為1,2,3，…，∴命題n中直線的系數(shù)為n.雙曲線中系數(shù)依次為13,23，33，…，∴命題n中雙曲線系數(shù)為n3，∴命題n為：點(n，n2)是直線y＝nx與雙曲線y＝的一個交點． 5．30　解析：∵22的“分裂”中有連續(xù)2個從1開始的奇數(shù)，32的“分裂”中有連續(xù)3個從1開始的奇數(shù)，42的“分裂”中有連續(xù)4個從1開始的奇數(shù)，∴52的“分裂”中有連續(xù)5個從1開始的奇數(shù)，即，∴b＝9. 又∵23,33,43的“分裂”依次是從3開始的連續(xù)奇數(shù)，∴53的“分裂”的第一個數(shù)為21，即a＝21. ∴a＋b＝30. 6．(1)90　(2)910n　解析：(1)2位回文數(shù)均是不為0的自然數(shù)，故有9個；而對于3位回文數(shù)，首、末均相同且不為0，故有9種，而對于中間一數(shù)可含有0，故有10種，因此3位回文數(shù)有90種；對于4位回文數(shù)，首、末均相同且不為0，故有9種，對于中間兩數(shù)則可含有0，故有10種，因此也有90種；(2)經(jīng)歸納可得2n＋1位回文數(shù)有910n個．