專題檢測(cè)（二十）專題檢測(cè)（二十）導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用A 組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)滿足下列條件：f(x)0 時(shí)，x2；f(x)0 時(shí)，1x2；f(x)0 時(shí)，x1 或 x2.則函數(shù) f(x)的大致圖象是()解析：選 A根據(jù)條件知，函數(shù) f(x)在(1，2)上是減函數(shù).在(，1)，(2，)上是增函數(shù)，故選 A.2.設(shè)函數(shù) f(x)xex1，則()A.x1 為 f(x)的極大值點(diǎn)B.x1 為 f(x)的極小值點(diǎn)C.x1 為 f(x)的極大值點(diǎn)D.x1 為 f(x)的極小值點(diǎn)解析：選 D由題意得，f(x)(x1)ex，令 f(x)0，得 x1，當(dāng) x(，1)時(shí)，f(x)0，當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0，則 f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以 x1 為 f(x)的極小值點(diǎn)，故選 D.3.已知直線 ykx2 與曲線 yxln x 相切，則實(shí)數(shù) k 的值為()A.ln 2B.1C.1ln 2D.1ln 2解析：選 D由 yxln x 知 yln x1，設(shè)切點(diǎn)為(x0，x0ln x0)，則切線方程為 yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因?yàn)榍芯€ ykx2 過(guò)定點(diǎn)(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0 x0)，解得 x02，故 k1ln 2，選 D.4.若 x 2 是函數(shù) f(x)(x22ax)ex的極值點(diǎn)，則函數(shù) yf(x)的最小值為()A.(22 2)e2B.0C.(22 2)e 2D.e解析：選 Cf(x)(x22ax)ex，f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx22(1a)x2aex，由已知得，f(2)0，所以 22 22a2 2a0，解得 a1.所以 f(x)(x22x)ex，所以 f(x)(x22)ex，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為 2，2，當(dāng) x( 2， 2)時(shí)，f(x)0；所以函數(shù) yf(x)是減函數(shù)，當(dāng) x(， 2)或 x(2，)時(shí)，f(x)0，函數(shù) yf(x)是增函數(shù).又當(dāng) x(，0)(2，)時(shí)，x22x0，f(x)0，當(dāng) x(0，2)時(shí)，x22x0，f(x)0，所以 f(x)min在 x(0，2)上，又當(dāng) x(0， 2)時(shí)，函數(shù) yf(x)遞減，當(dāng) x(2，2)時(shí)，函數(shù) yf(x)遞增，所以 f(x)minf(2)(22 2)e 2.5.已知函數(shù) f(x)(2xln xa)ex在(0，)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) a 的最大值是()A.5ln 2B.52ln 2C.2ln 2D.52ln 2解析：選 Af(x)(2xln xa)ex，f(x)(2xln x1x2a)ex，x(0，).依題意，知 x(0，)時(shí)，f(x)0 恒成立，即 a2xln x1x2 在(0，)上恒成立.設(shè)g(x)2xln x1x2，則 g(x)21x1x22x2x1x2（2x1） （x1）x2，x(0，).令g(x)0，得 x12或 x1(舍去).令 g(x)0，則 0 x12，令 g(x)0，則 x12，當(dāng) x12時(shí)，函數(shù) g(x)取得最小值，g(x)ming12 5ln 2，a5ln 2，即實(shí)數(shù) a 的最大值是 5ln 2.故選 A.6.已知函數(shù) f(x)為偶函數(shù)， 當(dāng) x0 時(shí)， f(x) x4x， 設(shè) af(log30.2)， bf(30.2)， cf(31.1)，則()A.cabB.abcC.cbaD.bac解析： 選 A因?yàn)楹瘮?shù) f(x)為偶函數(shù)， 所以 af(log30.2)f(log30.2)， cf(31.1)f(31.1).因?yàn)?log319log30.2log313，所以2log30.21，所以 1log30.22，所以 31.13log30.2130.2.因?yàn)?y x在(0，)上為增函數(shù)，y4x在(0，)上為增函數(shù)，所以 f(x)在(0，)上為增函數(shù)，所以 f(31.1)f(log30.2)f(30.2)，所以 cab，故選 A.二、填空題7.(2019江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A 在曲線 yln x 上，且該曲線在點(diǎn) A 處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(e，1)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn) A 的坐標(biāo)是_.解析：設(shè) A(m，n)，則曲線 yln x 在點(diǎn) A 處的切線方程為 yn1m(xm).又切線過(guò)點(diǎn)(e，1)，所以有 n11m(me).再由 nln m，解得 me，n1.故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(e，1).答案：(e，1)8.若函數(shù) f(x)xaln x 不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_.解析：由題意知 f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1ax，要使函數(shù) f(x)xaln x 不是單調(diào)函數(shù)，則需方程 1ax0 在(0，)上有解，即 xa，a0.答案：(，0)9.設(shè)定義在 R 上的函數(shù) yf(x)的導(dǎo)函數(shù)為 f(x).如果存在 x0a， b， 使得 f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，則稱 x0為函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上的“中值點(diǎn)”.那么函數(shù) f(x)x33x 在區(qū)間2，2上的“中值點(diǎn)”為_(kāi).解析：由 f(x)x33x 求導(dǎo)可得 f(x)3x23，設(shè) x0為函數(shù) f(x)在區(qū)間2，2上的“中值點(diǎn)”，則 f(x0)f（2）f（2）2（2）1，即 3x2031，解得 x02 33.答案：2 33三、解答題10.已知函數(shù) f(x)x2axaln x.(1)若曲線 yf(x)在 x2 處的切線與直線 x3y20 垂直，求實(shí)數(shù) a 的值；(2)若函數(shù) f(x)在2，3上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解：(1)f(x)2xaax2x2axax(x0)，依題意有 f(2)8a23，a2.(2)依題意有 2x2axa0 在 x2， 3上恒成立， 即 a2x2x1在2， 3上恒成立， 2x2x1 2x24x（x1）20(x2，3), y2x2x1在2，3上單調(diào)遞減，當(dāng) x2，3時(shí)，2x2x1max8，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為8，).11.(2019重慶市七校聯(lián)合考試)設(shè)函數(shù) f(x)1xeex，g(x)a(x21)ln x(aR R，e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)證明：當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0；(2)討論 g(x)的單調(diào)性.解：(1)證明：f(x)ex1xxex1，令 s(x)ex1x，則 s(x)ex11，當(dāng) x1 時(shí)，s(x)0，所以 s(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又 s(1)0，所以 s(x)0，從而當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0.(2)g(x)2ax1x2ax21x(x0)，當(dāng) a0 時(shí)，g(x)0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，當(dāng) a0 時(shí)，由 g(x)0 得 x12a.當(dāng) x0，12a 時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng) x12a，時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增.12.已知函數(shù) f(x)asin xbcos x(a，bR R)，曲線 yf(x)在點(diǎn)3，f3處的切線方程為 yx3.(1)求 a，b 的值；(2)求函數(shù) g(x)fx3x在0，2 上的最小值.解：(1)由切線方程知，當(dāng) x3時(shí)，y0，所以 f3 32a12b0.因?yàn)?f(x)acos xbsin x.所以由切線方程知，f3 12a32b1，所以 a12，b32.(2)由(1)知，f(x)12sin x32cos xsinx3 ，所以函數(shù) g(x)sin xx0 x2 ，g(x)xcos xsin xx2，設(shè) u(x)xcos xsin x0 x2 ，則 u(x)xsin x0，故 u(x)在0，2 上單調(diào)遞減，所以 u(x)u(0)0，即 g(x)0 在0，2 上恒成立，所以 g(x)在0，2 上單調(diào)遞減，所以函數(shù) g(x)在0，2 上的最小值為 g2 2.B 組大題專攻強(qiáng)化練1.設(shè) f(x)xln xax2(2a1)x，aR R.(1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知 f(x)在 x1 處取得極大值，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解：(1)由 f(x)ln x2ax2a，可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，).則 g(x)1x2a12axx.當(dāng) a0 時(shí)，x(0，)時(shí)，g(x)0，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增；當(dāng) a0 時(shí)，x0，12a 時(shí)，g(x)0，函數(shù) g(x)單調(diào)遞增，x12a，時(shí)，g(x)0，函數(shù) g(x)單調(diào)遞減.所以當(dāng) a0 時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)，當(dāng) a0 時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，12a ，單調(diào)減區(qū)間為12a，.(2)由(1)知，f(1)0.當(dāng) a0 時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng) x(0，1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增.所以 f(x)在 x1 處取得極小值，不符合題意.當(dāng) 0a12時(shí)，12a1，由(1)知 f(x)在0，12a 內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng) x(0，1)時(shí)，f(x)0，x1，12a 時(shí)，f(x)0.所以 f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在1，12a 內(nèi)單調(diào)遞增，所以 f(x)在 x1 處取得極小值，不符合題意.當(dāng) a12時(shí)，12a1，f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng) x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng) a12時(shí)，012a1，當(dāng) x12a，1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，所以 f(x)在 x1 處取得極大值，符合題意.綜上可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 a12.2.已知函數(shù) f(x)x2axln x(aR R).(1)若函數(shù) f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；(2)若函數(shù) f(x)在區(qū)間(0，3)上既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解：(1)f(x)2xa1x2x2ax1x(x0)，因?yàn)楹瘮?shù) f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，所以 f(x)0 在(0，)恒成立，所以2x2ax10 在(0，)恒成立，即 a2x1x對(duì)(0，)恒成立，因?yàn)?2x1x22x1x2 2當(dāng)且僅當(dāng) 2x1x，即 x22時(shí)取等號(hào)，所以 a2 2.(2)因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在(0，3)上既有極大值又有極小值，所以 f(x)2x2ax1x0 在(0，3)上有兩個(gè)相異實(shí)根，即 2x2ax10 在(0，3)上有兩個(gè)相異實(shí)根，令 g(x)2x2ax1，則0，0a43，g（0）0，g（3）0，得a2 2或 a2 2，0a12，a193，即 2 2a193.所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是2 2，193 .3.(2019全國(guó)卷)已知函數(shù) f(x)2x3ax22.(1)討論 f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng) 0a0，則當(dāng) x(，0)a3，時(shí)，f(x)0，當(dāng) x0，a3 時(shí)，f(x)0，故 f(x)在(，0)，a3，單調(diào)遞增，在0，a3 單調(diào)遞減；若 a0，f(x)在(，)單調(diào)遞增；若 a0，當(dāng) xa3，0時(shí)，f(x)0，故 f(x)在，a3 ，(0，)單調(diào)遞增，在a3，0單調(diào)遞減.(2)當(dāng) 0a3 時(shí)，由(1)知，f(x)在0，a3 單調(diào)遞減，在a3，1單調(diào)遞增，所以 f(x)在0，1的最小值為 fa3 a3272，最大值為 f(0)2 或 f(1)4a.于是 ma3272，M4a，0a2，2，2a3.所以 Mm2aa327，0a2，a327，2a3.當(dāng) 0a2 時(shí)，可知 2aa327單調(diào)遞減，所以 Mm 的取值范圍是827，2.當(dāng) 2a3 時(shí)，a327單調(diào)遞增，所以 Mm 的取值范圍是827，1.綜上，Mm 的取值范圍是827，2.4.已知常數(shù) a0，f(x)aln x2x.(1)當(dāng) a4 時(shí)，求 f(x)的極值；(2)當(dāng) f(x)的最小值不小于a 時(shí)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.解：(1)由已知得 f(x)的定義域?yàn)?x(0，)，f(x)ax2a2xx.當(dāng) a4 時(shí)，f(x)2x4x.當(dāng) 0 x2 時(shí)，f(x)2 時(shí)，f(x)0，即 f(x)單調(diào)遞增.f(x)只有極小值，且在 x2 時(shí)，f(x)取得極小值 f(2)44ln 2.(2)f(x)a2xx，當(dāng) a0，x(0，)時(shí)，f(x)0，即 f(x)在 x(0，)上單調(diào)遞增，沒(méi)有最小值；當(dāng) a0 得，xa2，f(x)在a2，上單調(diào)遞增；由 f(x)0 得，xa2，f(x)在0，a2 上單調(diào)遞減.當(dāng) a0 時(shí)，f(x)的最小值為 fa2 alna2 2a2 .根據(jù)題意得 fa2 alna2 2a2 a，即 aln(a)ln 20.a0，ln(a)ln 20，解得 a2，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是2，0).