《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 3 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 3 圓的切線的性質(zhì)及判定定理 Word版含解析（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 三　圓的切線的性質(zhì)及判定定理 1．掌握切線的性質(zhì)定理及其推論，并能解決有關(guān)問(wèn)題．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 2．掌握切線的判定定理，會(huì)判定直線與圓相切．(易錯(cuò)、易混點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　切線的性質(zhì)定理及推論 閱讀教材P30倒數(shù)第2行以上部分，完成下列問(wèn)題． 1．性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑． 如圖2-3-1，已知AB切⊙O于點(diǎn)A，則OA⊥AB. 圖2-3-1 2．推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)． 3．推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心． AB是⊙O的切線，能確定CD⊥AB的條件是(　　)

2、A．O∈CD　　　　 B．CD過(guò)切點(diǎn) C．O∈CD，且CD過(guò)切點(diǎn) D．CD是⊙O的直徑 【解析】　由切線的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C正確． 【答案】　C 教材整理2　切線的判定定理 閱讀教材P30～P31，完成下列問(wèn)題． 判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 下列說(shuō)法： ①與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線； ②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線； ③與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線； ④過(guò)直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是圓的切線． 其中正確的有(　　) A．①②　　 B．②③　　 C．③④　　 D．①④ 【解析】　根據(jù)切線的定義及判定定理知③④正

3、確． 【答案】　C [質(zhì)疑·手記](méi) 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問(wèn)1：　 解惑：　 疑問(wèn)2：　 解惑：　 疑問(wèn)3：　 解惑：　 [小組合作型] 圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用 　如圖2-3-2所示，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB，AD⊥CD. 圖2-3-2 (1)求證：OC∥AD； (2)若AD＝2，AC＝，求AB的長(zhǎng)． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)要證OC∥AD，只需證明OC⊥CD. (2)利用△ADC∽△ACB可求得． 【自主解答】　(1)證明：如圖所示，連接BC. ∵CD為⊙O的切線，∴O

4、C⊥CD. 又AD⊥CD，∴OC∥AD. (2)∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°. 又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC∽△ACB. ∴＝，∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝，∴AB＝. 1．利用圓的切線的性質(zhì)來(lái)證明或進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算時(shí)，常用連接圓心與切點(diǎn)的半徑與切線垂直這一理論產(chǎn)生垂直關(guān)系． 2．常作的輔助線 (1)連接切點(diǎn)與圓心的半徑． (2)構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角． [再練一題] 1．如圖2-3-3，已知AD為⊙O的直徑，B為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC與⊙O切于C點(diǎn)，∠A＝30°. 圖2

5、-3-3 求證：(1)BD＝CD； (2)△AOC≌△BDC. 【證明】　(1)因?yàn)锳D為⊙O的直徑，所以∠ACD＝90°. 又因?yàn)椤螦＝30°，OA＝OC＝OD， 所以∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°，又因?yàn)锽C與⊙O切于C點(diǎn)，所以∠OCB＝90°， 所以∠BCD＝30°，所以∠B＝30°， 所以∠BCD＝∠B，所以BD＝CD. (2)因?yàn)椤螦＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，所以AC＝BC， 在△AOC和△BDC中， 所以△AOC≌△BDC. 圓的切線性質(zhì)和判定定理 的綜合應(yīng)用 　如圖2-3-4，AB為⊙O的直徑，D是的中點(diǎn)，DE⊥AC交AC的延

6、長(zhǎng)線于E，⊙O的切線BF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 圖2-3-4 (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若DE＝3，⊙O的半徑為5，求BF的長(zhǎng)． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)利用圓的切線判定定理證明． (2)作DG⊥AB于G，利用△ADG∽△AFB求解． 【自主解答】　(1)證明：連接OD，∵D是中點(diǎn)，∴∠1＝∠2. ∵OA＝OD，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴OD∥AE. ∵DE⊥AE，∴DE⊥OD， 即DE是⊙O的切線． (2)過(guò)D作DG⊥AB，∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3. 在Rt△ODG中，OG＝＝4，∴AG＝4＋5＝9. ∵DG⊥AB，F(xiàn)B⊥AB，∴DG∥F

7、B， ∴△ADG∽△AFB，∴＝， ∴＝，∴BF＝. 1．解答本題(2)的關(guān)鍵是作出輔助線DG⊥AB于G，然后利用三角形相似求解． 2．對(duì)圓的切線的性質(zhì)與判定的綜合考查往往是熱點(diǎn)，其解答思路常常是先證明某直線是圓的切線，再利用切線的性質(zhì)來(lái)求解相關(guān)結(jié)果． [再練一題] 2．如圖2-3-5，已知A是 ⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC＝BC，AC＝OB. 圖2-3-5 (1)求證：AB為⊙O的切線； (2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的長(zhǎng)． 【解】　(1)證明：如圖，連接OA， ∵OC＝BC，AC＝OB，∴OC＝BC＝CA＝

8、OA， ∴△ACO為等邊三角形，∴∠O＝60°，∴∠B＝30°， ∴∠OAB＝90°，∴AB為⊙O的切線． (2)作AE⊥CD于點(diǎn)E，∵∠O＝60°，∴∠D＝30°. 又∵∠ACD＝45°，AC＝OC＝2， ∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝， 在Rt△ADE中，∠D＝30°， ∴AD＝2，∴DE＝. ∴CD＝DE＋CE＝＋. [探究共研型] 圓的切線的判定 探究　判定直線與圓相切共有哪幾種方法？ 【提示】　判定直線與圓相切共有三種方法： (1)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線； (2)到圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線； (3)過(guò)半徑外端且和半徑垂直的直

9、線是圓的切線． 　如圖2-3-6，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)E作直線與AF垂直，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.求證：CD是⊙O的切線． 圖2-3-6 【精彩點(diǎn)撥】　利用圓的切線的判定定理進(jìn)行切線的證明，關(guān)鍵是找出定理的兩個(gè)條件：①過(guò)半徑的外端；②該直線與某一條半徑所在的直線垂直． 【自主解答】　如圖，連接OE. ∵OA＝OE，∴∠1＝∠2. 又∵AE平分∠BAF， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴OE∥AD. ∵AD⊥CD，∴OE⊥CD. ∴CD與⊙O相切于點(diǎn)E， 即CD是⊙O的切線． 1．解答本題的關(guān)鍵是證明OE

10、⊥CD，而已知AD⊥CD，故只需證明OE∥AD. 2．判斷一條直線是圓的切線時(shí)，常用輔助線的作法： (1)如果已知這條直線與圓有公共點(diǎn)，則連接圓心與這個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)法證明連接所得到的半徑與這條直線垂直，簡(jiǎn)記為“連半徑，證垂直”； (2)若題目未說(shuō)明這條直線與圓有公共點(diǎn)，則過(guò)圓心作這條直線的垂線，得垂線段，再證明這條垂線段的長(zhǎng)等于半徑，簡(jiǎn)記“作垂直，證半徑”． [再練一題] 3．(2016·鄭州一模)如圖2-3-7，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD，求證：DC是⊙O的切線． 圖2-3-7 【證明】　連接OD.因?yàn)镺A＝OD， 所以∠1＝

11、∠2. 因?yàn)锳D∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4， 所以∠3＝∠4. 在△OBC和△ODC中，OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC， 所以△OBC≌△ODC， 所以∠OBC＝∠ODC. 因?yàn)锽C是⊙O的切線，所以∠OBC＝90°，所以∠ODC＝90°，所以DC是⊙O的切線． [構(gòu)建·體系] 1．如圖2-3-8，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于D，AB＝6，BC＝8，則BD等于(　　) 圖2-3-8 A．4　　　 B．4.8 C．5.2 D．6 【解析】　∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AC. ∵BC是⊙O的切線，∴AB⊥BC. ∵AB＝6，B

12、C＝8，∴AC＝10. ∴BD＝＝4.8. 【答案】　B 2.如圖2-3-9所示，直線l與⊙O相切，P是l上任一點(diǎn)，當(dāng)OP⊥l時(shí)，則 (　　) 圖2-3-9 A．P不在⊙O上 B．P在⊙O上 C．P不可能是切點(diǎn) D．OP大于⊙O的半徑 【解析】　由切線性質(zhì)定理的推論1，經(jīng)過(guò)圓心O垂直于切線l的直線必過(guò)切點(diǎn)，故P為切點(diǎn)，應(yīng)選B. 【答案】　B 3．如圖2-3-10，AP為圓O的切線，P為切點(diǎn)，OA交圓O于點(diǎn)B，若∠A＝40°，則∠APB等于(　　) 圖2-3-10 A．25°　　　　 B．20° C．40° D．35° 【解析】　如圖，連接OP，

13、∵AP為圓O的切線，∴∠OPA＝90°， ∵∠A＝40°， ∴∠AOP＝90°－40°＝50°. ∵OP＝OB，∴∠OPB＝×(180°－50°)＝65°. ∴∠APB＝∠OPA－∠OPB＝90°－65°＝25°. 【答案】　A 4．如圖2-3-11，⊙O的半徑為3 cm，B為⊙O外一點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)A，AB＝OA，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以π cm/s的速度在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A立即停止．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為_(kāi)_______s時(shí)，BP與⊙O相切． 圖2-3-11 【解析】　連接OP.當(dāng)OP⊥PB時(shí)，BP與⊙O相切． 因?yàn)锳B＝OA，OA＝OP，所以O(shè)B＝2

14、OP， 又因?yàn)椤螼PB＝90°，所以∠B＝30°，所以∠O＝60°. 因?yàn)镺A＝3 cm， 所以＝＝π，圓的周長(zhǎng)為6π，所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為π或6π－π＝5π. 所以當(dāng)t＝1 s或5 s時(shí)，BP與⊙O相切． 【答案】　1或5 5.如圖2-3-12，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD. 圖2-3-12 【證明】　連接OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因?yàn)椤螦＝∠A， 所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB， 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.

15、我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(八) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．AB是⊙O的切線，在下列給出的條件中，能判定AB⊥CD的是(　　) A．AB與⊙O相切于直線CD上的點(diǎn)C B．CD經(jīng)過(guò)圓心O C．CD是直徑 D．AB與⊙O相切于C，CD過(guò)圓心O 【解析】　圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑或直徑． 【答案】　D 2．已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30°，過(guò)C點(diǎn)的切線PC與AB的延長(zhǎng)線交于P，PC＝5，則⊙O的半徑是(　　) A.　　　　　　　 B. C．10 D．5 【

16、解析】　如圖，連接OC， ∠PAC＝30°， 由圓周角定理知， ∠POC＝2∠PAC＝60°， 由切線性質(zhì)知∠OCP＝90°. ∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝. ∴OC＝＝＝. 【答案】　A 3．如圖2-3-13，CD切⊙O于B，CO的延長(zhǎng)線交⊙O于A，若∠C＝36°，則∠ABD的度數(shù)是(　　) 圖2-3-13 A．72°　　　　 B．63° C．54° D．36° 【解析】　連接O B. ∵CD為⊙O的切線，∴∠OBC＝90°. ∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°. 又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°， ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63

17、°. 【答案】　B 4.如圖2-3-14所示，⊙O是正△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，點(diǎn)P是弧EG上的任意一點(diǎn)，則∠EPF＝(　　) 圖2-3-14 A．120° B．90° C．60° D．30° 【解析】　如圖所示，連接OE，OF. ∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°， ∴∠EOF＋∠ABC＝180°， ∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°. 【答案】　C 5．如圖2-3-15所示，AC切⊙O于D，AO的延長(zhǎng)線交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，則AO∶OB＝(　　) 圖2-3-15 A．2∶1

18、 B．1∶1 C．1∶2 D．1∶1.5 【解析】　如圖所示，連接OD，OC，則OD⊥AC. ∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°. ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC. ∵＝，∴AD＝DC， ∴BC＝AC. 又OB⊥BC，∴∠A＝30°， ∴OB＝OD＝AO，∴＝. 【答案】　A 二、填空題 6.如圖2-3-16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分別與邊AB，AC相切，切點(diǎn)分別為E，C.則⊙O的半徑是________． 圖2-3-16 【解析】　連接OE，設(shè)OE＝r， ∵OC＝OE＝r，BC

19、＝12， 則BO＝12－r，AB＝＝13， 由△BEO∽△BCA，得＝， 即＝，解得r＝. 【答案】　 7．如圖2-3-17，在半徑分別為5 cm和3 cm的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm. 圖2-3-17 【解析】　連接OA，OC， ∵AB是小圓的切線， ∴OC⊥AB，∴AC＝A B. ∵在Rt△AOC中， AC＝＝4(cm)， ∴AB＝8 cm. 【答案】　8 8．如圖2-3-18所示，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA＝________

20、. 圖2-3-18 【解析】　連接OA.∵AP為⊙O的切線， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝. 【答案】　 三、解答題 9.如圖2-3-19，已知D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求證：AB是△BCD的外接圓的切線. 圖2-3-19 【證明】　如圖，連接OB，OC，OD，設(shè)OD交BC于E. 因?yàn)椤螪CB是所對(duì)的圓周角， ∠BOD是所對(duì)的圓心角， ∠BCD＝45°， 所以∠BOD＝90°. 因?yàn)椤螦DB是△BCD的一個(gè)外角，

21、 所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°， 所以∠DOC＝2∠DBC＝30°， 從而∠BOC＝120°. 因?yàn)镺B＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°. 在△OEC中， 因?yàn)椤螮OC＝∠ECO＝30°， 所以O(shè)E＝EC. 在△BOE中，因?yàn)椤螧OE＝90°，∠EBO＝30°，所以BE＝2OE＝2EC， 所以＝＝， 所以AB∥OD，所以∠ABO＝90°， 故AB是△BCD的外接圓的切線． 10．如圖2-3-20，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE. 圖2-3-20 (1)求證：PC是⊙O的切線； (2

22、)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半徑． 【解】　(1)證明：在△OCP與△CEP中， ∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE， ∴∠OCP＝∠CEP. ∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°， ∴∠OCP＝90°. 又∵C點(diǎn)在圓上，∴PC是⊙O的切線． (2)法一：設(shè)OE＝x，則EA＝2x，OC＝OA＝3x. ∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°， ∴△OCE∽△OPC， ∴＝， 即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1， ∴OA＝3x＝3，即圓的半徑為3. 法二：由(1)知PC是⊙O的切線， ∴∠OCP＝90°. 又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2

23、＝OE·OP，以下同法一． [能力提升] 1．如圖2-3-21，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過(guò)B點(diǎn)的切線與AD的延長(zhǎng)線交于C，若AD＝DC，則sin∠ACO等于(　　) 圖2-3-21 A.　　　　 B. C. D. 【解析】　連接BD，則BD⊥AC. ∵AD＝DC，∴BA＝BC， ∴∠BCA＝45°. ∵BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B， ∴∠OBC＝90°. ∴sin∠BCO＝＝＝， cos ∠BCO＝＝＝. ∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO) ＝sin45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO ＝×－×＝. 【答案】　A 2．如圖

24、2-3-22所示，已知PA是圓O的切線，切點(diǎn)為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點(diǎn)，PB＝1，則圓O的半徑R＝__________. 圖2-3-22 【解析】　AB＝＝. 由AB2＝PB·BC， ∴BC＝3，Rt△ABC中， AC＝＝2， ∴R＝. 【答案】　 3．圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝3，過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，AD分別與直線l，圓交于點(diǎn)D，E，則∠DAC＝__________，DC＝__________. 【解析】　連接OC， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. 又∠DCA＋∠ACO＝90°， ∠ACO＋∠OCB

25、＝90°， ∴∠DCA＝∠OCB. ∵OC＝3，BC＝3， ∴△OCB是正三角形， ∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°， ∴∠DAC＝30°. 在Rt△ACB中，AC＝＝3， DC＝ACsin 30°＝ . 【答案】　30°　 4．如圖2-3-23，AD是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)D，AB，AC與圓分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn). 圖2-3-23 (1)AE·AB與AF·AC有何關(guān)系？請(qǐng)給予證明； (2)在圖中，如果把直線BC向上或向下平移，得到圖2-3-24(1)或圖(2)，在此條件下，(1)題的結(jié)論是否仍成立？為什么？ 圖2-3-24 【解】　(1)AE·AB＝

26、AF·AC. 證明：連接DE. ∵AD為⊙O的直徑，∴∠DEA＝90°. 又∵BC與⊙O相切于點(diǎn)D， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA. 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE， ∴＝，即AD2＝AB·AE. 同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC. (2)(1)中的結(jié)論仍成立． 因?yàn)锽C在平移時(shí)始終與AD垂直，設(shè)垂足為D′， 則∠AD′B＝90°. ∵AD為圓的直徑， ∴∠AED＝∠AD′B＝90°. 又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE， ∴＝，∴AB·AE＝AD·AD′. 同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC. 最新精品資料