第4講直接證明與間接證明考綱解讀1.掌握直接證明的兩種基本方法：分析法與綜合法(重點(diǎn))2.能夠用反證法證明問題，掌握反證法的步驟：反設(shè)；歸謬；結(jié)論(難點(diǎn))3.綜合法、反證法證明問題是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，主要在知識交匯處命題，如數(shù)列、不等式等考向預(yù)測 從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn). 預(yù)測2020年將會以不等式、立體幾何、數(shù)列等知識為載體，考查分析法、綜合法與反證法的靈活應(yīng)用，題型為解答題中的一問，試題難度中等.1直接證明續(xù)表2間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法(1)反證法的定義：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立的證明方法(2)用反證法證明的一般步驟：反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；結(jié)論斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立1概念辨析(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾()(4)在解決問題時(shí)，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)要證明<2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是()A綜合法 B分析法C類比法 D反證法答案B解析用分析法證明如下：要證明<2，需證()2<(2)2，即證102<20，即證<5，即證21<25，顯然成立，故原結(jié)論成立用綜合法證明：因?yàn)?)2(2)2102202(5)<0，故<2.反證法證明：假設(shè)2，通過兩端平方后導(dǎo)出矛盾，從而肯定原結(jié)論從以上證法中，可知最合理的是分析法故選B.(2)命題“對于任意角，cos4sin4cos2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”過程應(yīng)用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用D間接證明法答案B解析因?yàn)樽C明過程是“從左到右”，即由條件出發(fā)，經(jīng)過推理得出結(jié)論，屬于綜合法故選B.(3)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實(shí)根B方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A解析因?yàn)椤胺匠蘹3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3axb0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”，因此，要作的假設(shè)是方程x3axb0沒有實(shí)根故選A.題型 分析法的應(yīng)用(2019長沙模擬)已知函數(shù)f(x)tanx，x，若x1，x2，且x1x2，求證：f(x1)f(x2)>f.證明要證f(x1)f(x2)>f，即證明(tanx1tanx2)>tan，只需證明>tan，只需證明>.由于x1，x2，故x1x2(0，)所以cosx1cosx2>0，sin(x1x2)>0，1cos(x1x2)>0，故只需證明1cos(x1x2)>2cosx1cosx2，即證1cosx1cosx2sinx1sinx2>2cosx1cosx2，即證cos(x1x2)<1.由x1，x2，x1x2知上式顯然成立，因此f(x1)f(x2)>f.條件探究舉例說明中“f(x)”變?yōu)椤癴(x)3x2x”，試證：對于任意的x1，x2R，均有f.1分析法證明問題的策略(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證2分析法的適用范圍及證題關(guān)鍵(1)適用范圍已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接證明過程中所需要用的知識不太明確、具體含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)(2)證題關(guān)鍵：保證分析過程的每一步都是可逆的 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立題型 綜合法的應(yīng)用(2018黃岡模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(3m)Sn2manm3(nN)其中m為常數(shù)，且m3.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的公比qf(m)，數(shù)列bn滿足b1a1，bnf(bn1)(nN，n2)，求證：為等差數(shù)列證明(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3.兩式相減，得(3m)an12man，m3，an是等比數(shù)列(2)(3m)Sn2manm3，(3m)a12ma1m3，a11.b1a11，qf(m)，當(dāng)nN且n2時(shí)，bnf(bn1)bnbn13bn3bn1.是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列1利用綜合法證題的策略用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問題；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型2綜合法證明問題的常見類型及方法(1)與不等式有關(guān)的證明：充分利用函數(shù)、方程、不等式間的關(guān)系，同時(shí)注意函數(shù)單調(diào)性、最值的應(yīng)用，尤其注意導(dǎo)數(shù)思想的應(yīng)用(2)與數(shù)列有關(guān)的證明：充分利用等差、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式證明見舉例說明. 設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，所以，都是正數(shù)所以2c，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立，2a，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號成立，2b，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)等號成立三式相加，得22(abc)，即abc，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號成立題型 反證法的應(yīng)用角度1證明否定性命題1(2018株州月考)設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項(xiàng)和公式；(2)設(shè)q1，證明：數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時(shí)，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明：假設(shè)an1是等比數(shù)列，則對任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故an1不是等比數(shù)列角度2證明“至多”“至少”“唯一”命題2已知M是由滿足下述條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：對任意f(x)M，()方程f(x)x0有實(shí)數(shù)根；()函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足0<f(x)<1.(1)判斷函數(shù)f(x)是不是集合M中的元素，并說明理由；(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì)：若f(x)的定義域?yàn)镈，則對于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立試用這一性質(zhì)證明：方程f(x)x0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根解(1)當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，所以方程f(x)x0有實(shí)數(shù)根為0；因?yàn)閒(x)cosx，所以f(x)，滿足條件0<f(x)<1.由可得，函數(shù)f(x)是集合M中的元素(2)證明：假設(shè)方程f(x)x0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，()，則f()0，f()0.不妨設(shè)<，根據(jù)題意存在c(，)滿足f()f()()f(c)因?yàn)閒()，f()，且，所以f(c)1.與已知0<f(x)<1矛盾又f(x)x0有實(shí)數(shù)根，所以方程f(x)x0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根1反證法證明問題的三步驟2反證法的適用范圍(1)否定性命題；(2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等詞語的；(3)當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆否命題又是非常容易證明的；(4)要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況很少.1已知xR，ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1.證明假設(shè)a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有abc<3，而abc2x22x32233，兩者矛盾，所以假設(shè)不成立，故a，b，c至少有一個(gè)不小于1.2已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由解(1)證明：由已知得SA2AD2SD2，所以SAAD.同理SAAB.又ABADA，所以SA平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.因?yàn)锽CAD，BC平面SAD.所以BC平面SAD.而BCBFB，所以平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，所以假設(shè)不成立所以不存在這樣的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.