第二講　函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.(2018華師一附中一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=ln x-x+1,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 (　　) A.0　 B.1 C.2　 D.3 【解析】選C.當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln x-x+1,f′(x)=1x-1=1-xx,所以x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減.因此,當(dāng)x>0時(shí),f(x)max=f(1)=ln 1-1+1=0.根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)作出函數(shù)y=f(x)與y=ex的大致圖象,如圖,觀察到函數(shù)y=f(x)與y=ex的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有2個(gè)零點(diǎn). 2.函數(shù)fx=kx+4ln x-xx>1,若fx>0的解集為s,t,且s,t中只有一個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 (　　) A.1ln2-2,1ln3-43 　 B.1ln2-2,1ln3-43 C.1ln3-43,12ln2-1 D.1ln3-43,12ln2-1 【解析】選B.fx>0x>1只有一個(gè)整數(shù)解等價(jià)于kx+4>xlnx只有一個(gè)大于1的整數(shù)解, 設(shè)gx=xlnx,則g′x=lnx-1lnx2,可得gx在1,e上遞減,在e,+∞上遞增,由圖可知,kx+4>xlnx只有一個(gè)大于1的整數(shù)解只能是2,所以2k+4>2ln2,3k+4≤3ln3,1ln2-2<k≤1ln3-43,故選B. 3.(2018濰坊一模)已知函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x),則 (　　) A.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增 B.f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減 C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱 D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱 【解析】選C.由題易知,f(x)=ln x+ln(2-x)的定義域?yàn)?0,2), f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)2+1],由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)f(x)=ln x +ln(2-x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,2)上單調(diào)遞減,所以排除A,B; 又f12=ln12+ln2-12=ln34, f32=ln32+ln2-32=ln34, 所以f12=f32=ln34,所以排除D. 4.(2018洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2+x有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A.(-∞,1) B.(0,1) C.-∞,1+ee2 D.0,1+ee2 【解析】選B.依題意,關(guān)于x的方程ax-1=lnxx有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根.記g(x)=lnxx,則g′(x)=1-lnxx2,當(dāng)0<x<e時(shí),g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>e時(shí),g′(x)<0,g(x)在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減,且g(e)=1e,當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)<0.設(shè)直線y=a1x-1與函數(shù)g(x)的圖象相切于點(diǎn)(x0,y0),則有a1=1-ln x0x02,a1x0-1=ln x0x0, 由此解得x0=1,a1=1.在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出直線y=ax-1與函數(shù)g(x)的大致圖象,結(jié)合圖象可知,要使直線y=ax-1與函數(shù)g(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則a的取值范圍是(0,1). 5.關(guān)于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,給出下列四個(gè)命題: ①存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根; ②存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根; ③存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根; ④存在實(shí)數(shù)k,使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.其中真命題的個(gè)數(shù)是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】選D.令t=|x2-1|,則方程化為k=-t2+t,(*) 作出函數(shù)t=|x2-1|,y=t-t2(t≥0)的圖象,結(jié)合函數(shù)的圖象可知 (1)當(dāng)k<0時(shí),方程(*)有一個(gè)正根t(t>1),方程t=|x2-1|有兩個(gè)不等實(shí)根,所以原方程有2個(gè)不同的實(shí)根. (2)當(dāng)k=14時(shí),方程(*)有兩個(gè)相等正根t=12,方程12=|x2-1|有四個(gè)不等實(shí)根,所以原方程有4個(gè)不同的實(shí)根. (3)當(dāng)k=0時(shí),方程(*)有兩個(gè)不等實(shí)根t=0或t=1,方程0=|x2-1|有兩個(gè)不等實(shí)根,方程1=|x2-1|有三個(gè)不等實(shí)根,所以原方程有5個(gè)不同的實(shí)根. (4)當(dāng)0<k<14時(shí),方程(*)有兩個(gè)不等正根t1,t2,且0<t1<0.5<t2<1,方程t1=|x2-1|,t2=|x2-1|各有四個(gè)不等實(shí)根,所以原方程有8個(gè)不同的實(shí)根. 6.(2018衡水中學(xué)一模)已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)y=(mx-1)2的圖象與y=x+m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　) A.(0,1]∪[23,+∞)　 B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0,2 ]∪[23,+∞)　 D.(0,2 ]∪[3,+∞) 【解析】選B.在同一直角坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)f(x)=y=(mx-1)2=m2x-1m2與g(x)=y=x+m的大致圖象. 分兩種情形: (1)當(dāng)0<m≤1時(shí),1m≥1,如圖①,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)與g(x)的圖象有一個(gè)交點(diǎn),符合題意; (2)當(dāng)m>1時(shí),0<1m<1,如圖②,要使f(x)與g(x)的圖象在[0,1]上只有一個(gè)交點(diǎn),只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去). 綜上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞). 二、填空題(每小題5分,共10分) 7.已知指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)y=gx和冪函數(shù)y=hx的圖象都過(guò)P12,2,如果fx1=gx2=hx3=4,那么x1+x2+x3=____________. 【解析】設(shè)fx=ax,gx=logbx,hx=xα, 代入P12,2,得a12=2,logb12=2,12α=2, 解得a=4,b=22,α=-1, 所以fx=4x,gx=log22x,hx=x-1, 所以x1=1,x2=14,x3=14,和為32. 答案:32 8.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+6x+4,則y=[f(x)]2+f(x)-30的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為____________個(gè). 【解析】令y=[f(x)]2+f(x)-30=0,解得f(x)=-6或f(x)=5.作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,觀察可知,f(x)=-6無(wú)解,f(x)=5有兩解,故y=[f(x)]2+f(x)-30的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 答案:2 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0). (1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的零點(diǎn). (2)若對(duì)任意b∈R,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】(1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí),f(x)=x2-2x-3, 令f(x)=0,得x=3或x=-1. 所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為3和-1. (2)依題意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有兩個(gè)不同實(shí)根. 所以b2-4a(b-1)>0恒成立, 即對(duì)于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0?a2-a<0, 所以0<a<1.因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1). 10.(2018鎮(zhèn)海中學(xué)一模)關(guān)于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在區(qū)間[0,2]上有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】設(shè)f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若f(x)=0在區(qū)間[0,2]上有一解, 因?yàn)閒(0)=1>0,所以f(2)≤0. 又因?yàn)閒(2)=22+(m-1)2+1, 所以m≤-32.而當(dāng)m=-32時(shí),f(x)=0在[0,2]上有兩解12和2,所以m<-32. ②若f(x)=0在區(qū)間[0,2]上有兩解, 則Δ≥0,0<-m-12<2,f(2)≥0,所以(m-1)2-4≥0,-3<m<1,4+(m-1)2+1≥0. 所以m≥3或m≤-1,-3<m<1,m≥-32.所以-32≤m≤-1. 由①②可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-1]. 11.(2018石家莊一模)已知函數(shù)f(x)= ax2+2x+1,(-2<x≤0),ax-3,(x>0)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+2x+1,(-2<x≤0),ax-3,(x>0)有3個(gè)零點(diǎn),圖象如圖: 所以a>0且f(x)=ax2+2x+1在(-2<x≤0)上有2個(gè)零點(diǎn),a>0,a(-2)2+2(-2)+1>0,-2<-1a<0,Δ=4-4a>0,解得34<a<1. 【提分備選】1.已知關(guān)于x的方程|2x3-8x|+mx=4有且僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (　　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 【解析】選D.依題意得,|2x3-8x|=4-mx, 即|x3-4x|=2-m2x, 故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|x3-4x|與y=2-m2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).令f(x)=x3-4x, 則f′(x)=3x2-4=3x-233x+233, 故當(dāng)x∈-233,233時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 當(dāng)x∈-∞,-233和x∈233,+∞時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示,進(jìn)而得到函數(shù)y=|x3-4x|的大致圖象如圖(2)所示,又函數(shù)y=2-m2x的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,2),當(dāng)函數(shù)y=2-m2x的圖象與曲線y=|x3-4x|相切時(shí): ①設(shè)過(guò)第一、二、三象限的切線的切點(diǎn)為(x0,y0),則易求得該切線方程為y-y0=(4-3x02)(x-x0),即y-(4x0-x03)=9(4-3x02)(x-x0),將(0,2)代入,解得x0=1,故切線斜率為1,切線方程為y=x+2,此時(shí)切線方程正好經(jīng)過(guò)(-2,0)(如圖(2)中虛線位置所示);②由對(duì)稱性可知,過(guò)第一、二、四象限的切線的斜率為-1,所以-m2>1或-m2<-1,解得m<-2或m>2,故選D. 2.若直線ax-y=0(a≠0)與函數(shù)f(x)=2cos2x+1ln 2+x2-x圖象交于不同的兩點(diǎn)A,B,且點(diǎn)C(6,0),若點(diǎn)D(m,n)滿足+=,則m+n= (　　) A.1 B.2 C.3 D.a 【解析】選B.因?yàn)閒(-x)=2cos2(-x)+1ln 2-x2+x=2cos2x+1-ln 2+x2-x=-f(x),且直線ax-y=0經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即xA+xB=0.yA+yB=0,又=(xA-m,yA-n), =(xB-m,yB-n),=(m-6,n),由+=得,xA-m+xB-m=m-6,yA-n+yB-n=n,解得m=2,n=0,所以m+n=2,故選B. (20分鐘　20分) 1.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3-92x2+6x-a. (1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值. (2)若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根,求a的取值范圍. 【解析】(1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2). 因?yàn)閤∈R,f′(x)≥m,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,所以Δ=81-12(6-m)≤0,即 m≤-34,即m的最大值為-34. (2)因?yàn)楫?dāng)x<1時(shí),f′(x)>0,當(dāng)1<x<2時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0; 所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取極大值f(1)=52-a;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取極小值f(2)=2-a; 故當(dāng)f(2)>0或f(1)<0時(shí),方程f(x)=0僅有一個(gè)實(shí)根,解得a<2或a>52. 2.(10分)已知函數(shù)f(x)=(x2+2ax)e-x,x<0,bx,x≥0,x=-2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn). (1)求實(shí)數(shù)a的值. (2)若方程f(x)-m=0有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí),f(x)=(x2+2ax)e-x, 所以f′(x)=(2x+2a)e-x-(x2+2ax)e-x =[-x2+(2-2a)x+2a]e-x. 由已知,得f′(-2)=0, 即-2+(2-2a)(-2)+2a=0,解得a=1. (2)由(1)知,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=(x2+2x)e-x, 所以f′(x)=(2-x2)e-x; 當(dāng)x≤-2時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減, f(x)∈[(2-22)e2,+∞);當(dāng)-2≤x<0時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,f(x)∈[(2-22)e2,0). ①當(dāng)b<0時(shí),f(x)的大致圖象如圖(1)所示,若方程f(x)-m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m=0或m=(2-22)e2. ②當(dāng)b=0時(shí),f(x)的大致圖象(包括x軸正半軸)如圖(2)所示,則m∈((2-22)e2,0). ③當(dāng)b>0時(shí),f(x)的大致圖象如圖(3)所示, 則m∈((2-22)e2,+∞). 綜上,當(dāng)b<0時(shí),m=0或m=(2-22)e2; 當(dāng)b=0時(shí),m∈((2-22)e2,0); 當(dāng)b>0,m∈((2-22)e2,+∞).