第一節(jié)弧度制及任意角的三角函數(shù) 1 角的概念的推廣 2 弧度制的定義和公式 3 任意角的三角函數(shù) 教材研讀 考點一角的概念及其表示 考點二扇形的弧長 面積公式 考點突破 考點三三角函數(shù)線的應(yīng)用 考點四三角函數(shù)的定義 1 角的概念的推廣 1 定義 角可以看成是平面內(nèi)的一條射線繞著它的 端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形 2 分類 教材研讀 3 所有與角 終邊相同的角 連同角 在內(nèi) 可構(gòu)成一個集合S k 360 k Z 2 弧度制的定義和公式 1 定義 把長度等于 半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角 弧度記作rad 2 公式 3 任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù)值的符號的記憶口訣 一全正 二正弦 三正切 四余弦 1 教材習(xí)題改編 下列命題正確的是 只填序號 1 第一象限角一定不是負(fù)角 2 小于90 的角一定是銳角 3 鈍角一定是第二象限角 4 第一象限角一定是銳角 答案 3 解析 330 是第一象限角 也是負(fù)角 1 錯誤 負(fù)角都小于90 但不是銳角 2 錯誤 鈍角一定是第二象限角 3 正確 330 是第一象限角 但不是銳角 4 錯誤 2 2018鹽城伍佑中學(xué)期末 已知扇形的半徑為3cm 圓心角為2弧度 則扇形的面積為cm2 答案9 3 教材習(xí)題改編 若 與120 角終邊相同 則是第象限角 答案一或三 解析由 與120 角終邊相同 得 120 k 360 k Z 則 60 k 180 k Z 當(dāng)k為奇數(shù)時 為第三象限角 當(dāng)k為偶數(shù)時 為第一象限角 4 教材習(xí)題改編 終邊落在陰影部分的角的集合 包括邊界 為 答案 5 2018常州教育學(xué)會學(xué)業(yè)水平檢測 若 則點P tan sin 位于第象限 答案二 解析由0 則點P在第二象限 6 教材習(xí)題改編 若角 的終邊經(jīng)過點P x 6 且cos 則x 答案 解析由題意可得cos 解得x 考點一角的概念及其表示典例1已知角 回答下列問題 1 寫出所有與角 終邊相同的角 2 寫出在 4 2 內(nèi)與角 終邊相同的角 3 若角 與 終邊相同 則角是第幾象限角 考點突破 解析 1 所有與角 終邊相同的角可表示為 2k k Z 2 由 1 知 可令 4 2k 2 k Z 則有 k k Z k Z k 2 1 0 且當(dāng)k 0時 即為角 故在 4 2 內(nèi)與角 終邊相同的角有 3 由 1 知 2k k Z 則 k k Z 角是第一 三象限角 方法技巧 1 利用終邊相同的角的集合可以求符合某些條件的角 方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合 然后通過對集合中的參數(shù)賦值來求得所需角 2 利用終邊相同的角的集合S 2k k Z 判斷角 的終邊所在的象限時 只需把這個角寫成 0 2 范圍內(nèi)的一個角 與2 的整數(shù)倍的和 然后判斷角 的終邊所在的象限即可 1 1 1 把1690 表示成2k 的形式 k Z 0 2 2 求 使 與1690 角的終邊相同 且 4 2 解析 1 1690 1690 8 所以1690 4 2 2 由 1 知 與1690 角的終邊相同的角為 2k k Z 由 4 2k 2 且k Z 得k 2 所以 4 考點二扇形的弧長 面積公式典例2已知一扇形的圓心角為 0 所在圓的半徑為R 1 若 R 10cm 求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積 2 若該扇形的周長為一定值C C 0 當(dāng) 為多少時 該扇形的面積最大 解析 1 設(shè)扇形的弧長為lcm 該弧所在的弓形的面積為Scm2 R 10cm l R 10 cm S 10 102 sin 25 cm2 2 易知C 2R l 2R R 0 R S扇形 R2 當(dāng)且僅當(dāng) 即 2時 該扇形的面積最大 為 方法技巧解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項 1 解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題時 要注意角的單位 一般將角度化為弧度 2 求解扇形面積的最值問題時 常將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題 利用配方法或不等式的性質(zhì)使問題得到解決 3 在解決有關(guān)扇形的面積問題時 要合理地利用圓心角所在的三角形進(jìn)行求解 2 1已知扇形AOB的周長為8 1 若這個扇形的面積為3 求圓心角的大小 2 求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦AB的長 解析設(shè)扇形AOB的半徑為r 弧長為l 圓心角為 1 由題意可得解得或則 或 6 2 2r l 8 S扇形 lr l 2r 4 當(dāng)且僅當(dāng)2r l 即 2時 這個扇形的面積取得最大值4 此時r 2 所求弦長AB 2sin1 2 4sin1 解析如圖 過點作x軸的垂線 交單位圓于M N兩點 則以射線OM ON為終邊的角滿足方程cos 而終邊落入圖中陰影部分內(nèi) 不含邊界 的角所組成的集合為不等式cos 的解集 又以射線OM ON為終邊的角分別為2k k Z 2k k Z 故不等式cos 的解集為 k Z 考點三三角函數(shù)線的應(yīng)用 典例3解不等式 cos 方法技巧解三角不等式時 要注意角的取舍 另外 終邊在x軸下方的角在書寫時往往用負(fù)角表示 3 1求符合下列條件的角的集合 1 sin 2 tan 1 解析 1 如圖 過點作y軸的垂線 交單位圓于A B兩點 則以射線OA OB為終邊的角滿足方程sin 終邊落在圖中陰影部分內(nèi) 含邊界 的角滿足sin 又以射線OA OB為終邊的角分別是2k k Z 2k k Z 所以所求角的集合為 k Z 2 如圖 設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點A 過點A作垂直于x軸的直線l 在直線l上向y軸負(fù)方向取有向線段AT 使線段AT的長為1 過點O T作直線交單位圓于P1 P2兩點 則以射線OP1 OP2為終邊的角滿足方程tan 1 圖中陰影部分 不含邊界 為滿足不等式tan 1的角 的終邊所在區(qū)域 又以射線OP1 OP2為終邊的角分別為 2k k Z 2k k Z 所以所求角的集合為 k Z 考點四三角函數(shù)的定義 典例4 1 2018江蘇海安中學(xué)月考 已知角 的終邊經(jīng)過點P x 6 且cos 則實數(shù)x的值為 2 在平面直角坐標(biāo)系中 已知角的終邊經(jīng)過點P x y 且OP 2 O為坐標(biāo)原點 則點P的坐標(biāo)為 3 2018江蘇鎮(zhèn)江上學(xué)期期末 點Psin cos落在角 的終邊上 且 0 2 則 的值為 答案 1 2 1 3 解析 1 角 的終邊經(jīng)過點P x 6 且cos x 2 由三角函數(shù)的定義得x 2cos 1 y 2sin 所以點P的坐標(biāo)為 1 3 點P在角 的終邊上 則tan 點P在第四象限 且 0 2 則 易錯警示利用三角函數(shù)的定義 求一個角的三角函數(shù)值時 需確定三個量 角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x 縱坐標(biāo)y 該點到原點的距離r 若題目中已知角的終邊在一條直線 非坐標(biāo)軸 上 則要注意在終邊上任取一點有兩種情況 點所在的象限不同 4 1 2019江蘇鹽城模擬 已知角 的終邊上一點P y 且sin 求cos 和tan 的值 解析因為角 的終邊上有一點P y 所以點P到原點的距離r 由三角函數(shù)的定義知 sin 解得y 0或y 當(dāng)y 0時 r 則cos 1 tan 0 當(dāng)y 時 r 3 則cos tan 當(dāng)y 時 r 3 則cos tan 4 2已知角 的終邊在直線3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解析 角 的終邊在直線3x 4y 0上 設(shè)角 的終邊上任意一個異于原點的點為P 4t 3t t 0 則x 4t y 3t r 5 t 當(dāng)t 0時 r 5t sin cos tan 當(dāng)t 0時 r 5t sin cos tan 綜上可知 sin cos tan 或sin cos tan