3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.2.了解貝努利不等式，并會證明貝努利不等式.3.體會歸納猜想證明的思想方法知識點一用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式思考1用數(shù)學(xué)歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？答案(1)歸納奠基：驗證初始值(2)歸納遞推：在假設(shè)nk成立的前提下，證明nk1時問題成立思考2證明不等式與證明等式有什么不同？答案證明不等式需注意的是對式子進行“放縮”梳理利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在運用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，由nk時命題成立，推導(dǎo)nk1命題成立時，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進行知識點二貝努利不等式對任意實數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有(1x)n1nx.類型一數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式例1證明：12(nN，n2)證明(1)當(dāng)n2時，左邊1，右邊2，由于，因此命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k2)時，命題成立，即12.當(dāng)nk1時，12222，即當(dāng)nk1時，命題成立由(1)(2)可知，不等式對一切nN，n2都成立反思與感悟在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時常用的方法之一跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1n(nN，n1)證明(1)當(dāng)n2時，左邊1，右邊2，左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k>1，kN)時，不等式成立，即1<k，則當(dāng)nk1時，有1<k<kk1，所以當(dāng)nk1時，不等式成立由(1)(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立類型二利用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2SnSn10(n2，nN)(1)判斷是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(2)證明：SSS(n1且nN)(1)解是等差數(shù)列，證明如下：S1a1，所以2.當(dāng)n2時，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，且2n.(2)證明當(dāng)n1時，S，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，不等式成立，即SSS成立，則當(dāng)nk1時，SSSS.即當(dāng)nk1時，不等式成立由可知，對任意nN不等式都成立反思與感悟(1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問題的基礎(chǔ)(2)此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān)，有時要證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明跟蹤訓(xùn)練2設(shè)0a1，定義a11a，an1a，求證：對一切正整數(shù)n，有1an.證明(1)當(dāng)n1時，a11，a11a，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，命題成立，即1ak.當(dāng)nk1時，由遞推公式知，ak1a(1a)a1.同時，ak1a1a，故當(dāng)nk1時，命題也成立，即1ak1.綜合(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，都有1an.1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN)，第一步驗證()An1Bn2Cn3Dn4答案C解析由題知，n的最小值為3，所以第一步驗證n3是否成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明“Sn1(nN)”時，S1等于()A.B.C.D.答案D解析S1.3用數(shù)學(xué)歸納法證明.假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，則當(dāng)nk1時，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_答案解析當(dāng)nk1時，目標(biāo)不等式為.4用數(shù)學(xué)歸納法證明：2n2n2，nN.證明(1)當(dāng)n1時，左邊2124；右邊1，左邊右邊；當(dāng)n2時，左邊2226，右邊224，所以左邊右邊；當(dāng)n3時，左邊23210，右邊329，所以左邊右邊因此當(dāng)n1,2,3時，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時，不等式成立，即2k2k2.當(dāng)nk1時，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)k22k1(k1)2(因為k3，所以k30，k10)所以2k12(k1)2.故當(dāng)nk1時，原不等式也成立由(1)(2)知，原不等式對任何nN都成立數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(1)證明不等式時，由nk到nk1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時，對原式進行“放大”或者“縮小”，才能使用到nk時的假設(shè)，所以需要認真分析，適當(dāng)放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法之一(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程一、選擇題1對于不等式n1(nN)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時，(k1)1，nk1時，不等式成立則上述證法()A過程全部正確Bn1驗得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確答案D解析證明過程中，當(dāng)nk1時，沒有應(yīng)用nk時的歸納假設(shè)，故選D.2用數(shù)學(xué)歸納法證明1<2(n2，nN)的第一步需證明()A1<2B1<2C1<2D1<2答案C3若不等式對大于1的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D不存在答案B解析令f(n)，取n2,3,4,5等值，發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞增的，所以f(n)min，由f(2)，得m的最大值為13.4對于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n10.1nD0.1n10.9n答案C解析由貝努利不等式(1x)n1nx(nN，x1)，得A中，當(dāng)x2時，即3n12n成立；B中，當(dāng)x0.1時，0.9n10.1n成立；D中，當(dāng)x0.9時，0.1n10.9n成立0.9n10.1n不成立5若不等式對nk成立，則它對nk2也成立若該不等式對n2成立，則下列結(jié)論正確的是()A該不等式對所有正整數(shù)n都成立B該不等式對所有正偶數(shù)n都成立C該不等式對所有正奇數(shù)n都成立D該不等式對所有自然數(shù)n都成立答案B解析因為當(dāng)n2時，不等式成立，且該不等式對nk2也成立，所以該不等式對所有的正偶數(shù)n都成立6已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：12時，若已假設(shè)nk(k2且為偶數(shù))時，等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時等式成立Bnk2時等式成立Cn2k2時等式成立Dn2(k2)時等式成立答案B解析偶數(shù)k的后繼偶數(shù)為k2，故應(yīng)再證nk2時等式成立二、填空題7證明：1n1(n1)，當(dāng)n2時，要證明的式子為_答案213解析當(dāng)n2時，要證明的式子為213.8用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對于nn0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取_答案5解析n取1,2,3,4時不等式不成立，起始值為5.9設(shè)a，b均為正實數(shù)(nN)，已知M(ab)n，Nannan1b，則M，N的大小關(guān)系為_答案MN解析當(dāng)n1時，MabN.當(dāng)n2時，M(ab)2，Na22abM.當(dāng)n3時，M(ab)3，Na33a2bM.歸納得MN.10以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“nN時，2nn2”的過程，證明：(1)當(dāng)n1時，2112，不等式顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時不等式成立，即2kk2.那么，當(dāng)nk1時，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即當(dāng)nk1時不等式也成立根據(jù)(1)和(2)可知，對任何nN不等式都成立其中錯誤的步驟為_(填序號)答案(2)解析在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，這是一個不確定的結(jié)論如當(dāng)k2時，k22k1.三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式>成立證明(1)當(dāng)n2時，左邊1，右邊，左邊>右邊，所以不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時，不等式成立，即>，那么當(dāng)nk1時，>>，所以當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立12已知Sn1(n1，且nN)，求證：S2n1.證明(1)當(dāng)n2時，S2211，即n2時命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k>1，kN)時，命題成立，即11.當(dāng)nk1時，11111，故當(dāng)nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對nN，n>1，1成立13已知遞增等差數(shù)列an滿足：a11，且a1，a2，a4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若不等式對任意nN恒成立，試猜想出實數(shù)m的最小值，并證明解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d>0)，由題意可知a1a4a，即1(13d)(1d)2，解得d1或d0(舍去)所以an1(n1)1n.(2)不等式等價于，當(dāng)n1時，m；當(dāng)n2時，m；而>，所以猜想，m的最小值為.下面證不等式對任意nN恒成立證明：當(dāng)n1時，命題成立假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，當(dāng)nk1時，只需證，只需證，只需證2k2，只需證4k28k34k28k4，即證34，顯然成立所以，對任意nN，不等式恒成立四、探究與拓展14求證：(nN)證明(1)當(dāng)n1時，左邊，右邊1，左邊右邊，所以不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時不等式成立，即成立，則當(dāng)nk1時，只需證即可，即證，即證，即證(1)，而當(dāng)k1時上式顯然成立，所以當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)可知，不等式對所有nN都成立