第15練空間線面關(guān)系的判斷明晰考情1.命題角度：空間線面關(guān)系的判斷；空間中的平行、垂直關(guān)系；利用空間的平行、垂直關(guān)系求解空間角.2.題目難度：中檔難度考點一空間線面位置關(guān)系的判斷方法技巧(1)判定兩直線異面的方法：反證法；利用結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線(2)模型法判斷線面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長方體、四面體等觀察線面關(guān)系，再結(jié)合定理進行判斷(3)空間圖形中平行與垂直的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，要掌握以下的常用結(jié)論：平面圖形的平行關(guān)系：平行線分線段成比例、平行四邊形的對邊互相平行；平面圖形中的垂直關(guān)系：等腰三角形的底邊上的中線和高重合、菱形的對角線互相垂直、圓的直徑所對圓周角為直角、勾股定理1已知直線a與平面，a，點B，則在內(nèi)過點B的所有直線中()A不一定存在與a平行的直線B只有兩條與a平行的直線C存在無數(shù)條與a平行的直線D存在唯一一條與a平行的直線答案D解析在平面內(nèi)過一點，只能作一條直線與已知直線平行2下列說法正確的是()A若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則lB若直線a在平面外，則aC若直線ab，直線b，則aD若直線ab，b，那么直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線答案D解析A錯誤，直線l還可以在平面內(nèi)；B錯誤，直線a在平面外，包括平行和相交；C錯誤，a還可以與平面相交或在平面內(nèi)故選D.3將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是()A平行B垂直C相交成60角D異面且成60角答案D解析如圖，直線AB，CD異面因為CEAB，所以ECD即為異面直線AB，CD所成的角，因為CDE為等邊三角形，故ECD60.4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為_答案垂直解析連接BO，AO平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，AOB1C.又側(cè)面BB1C1C為菱形，B1CBO，又AOBOO，AO，BO平面ABO，B1C平面ABO.AB平面ABO，B1CAB.考點二空間角的求解方法技巧(1)對于兩條異面直線所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置(2)直線和平面所成的角的求解關(guān)鍵是找出或作出過斜線上一點的平面的垂線，得到斜線在平面內(nèi)的射影5(2018全國)在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析方法一如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故選C.方法二如圖，以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由題意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，(1,0，)，(1,1，)，1101()22，|2，|，cos，.故選C.6已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若AB2，CD4，EFAB，則EF與CD所成的角的大小為()A90B45C60D30答案D解析設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為ABD，ACD的中位線由此可得GFAB，且GFAB1，GECD，且GECD2，F(xiàn)EG或其補角即為EF與CD所成的角又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sinGEF，又GEF為銳角，GEF30.EF與CD所成的角的大小為30.7.已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，AD的中點，則直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A.B.C.D.答案B解析連接AE，BD，過點F作FHBD交BD于H，連接EH，則FH平面BDD1B1，F(xiàn)EH是直線EF和平面BDD1B1所成的角設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱BB1，AD的中點，在RtDFH中，DF1，F(xiàn)DH45，可得FHDF.在RtAEF中，AF1，AE，可得EF.在RtEFH中，sinFEH，直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是.8如圖，設(shè)E，F(xiàn)分別是正方形ABCD中CD，AB邊的中點，將ADC沿對角線AC對折，使得直線EF與AC異面，記直線EF與平面ABC所成的角為，與異面直線AC所成的角為，則當(dāng)tan時，tan等于()A.B.C.D.答案C解析分別連接BD交AC于點O，連接DO.因為ADCD，所以DOAC，又因為ACBD，BDDOO，所以AC平面BDD，又BD平面BDD，所以ACBD.取BC的中點S，連接FS，ES，則FSAC，ESBD，所以FSES，又因為EFS為異面直線AC與EF所成的角，所以tan，設(shè)ES1，則FS2，AC4，取CO的中點G，連接EG，SG，則EGSG1，所以EGS為等邊三角形，過點E作EHGS，由上可知ACEG，ACSG且EGSGG，則AC平面EGS.又EH平面EGS，所以EHAC，又GSACG，所以EH平面ABCD，所以EFH為EF與平面ABCD所成的角，因為EH，F(xiàn)H，所以tanEFH，故選C.考點三立體幾何中的動態(tài)問題方法技巧(1)考慮動態(tài)問題中點線面的變化引起的一些量的變化，建立目標(biāo)函數(shù)，用代數(shù)方法解決幾何問題(2)運動變化中的軌跡問題的實質(zhì)是尋求運動變化過程中的所有情況，發(fā)現(xiàn)動點的運動規(guī)律(3)運動過程中端點的情況影響問題的思考，可以利用極限思想考慮運動變化的極限位置9.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，外接球的球心為O，點E是側(cè)棱BB1上的一個動點有下列判斷：直線AC與直線C1E是異面直線；A1E一定不垂直于AC1；三棱錐EAA1O的體積為定值；AEEC1的最小值為2.其中正確的個數(shù)是()A1B2C3D4答案C解析因為點A平面BB1C1C，所以直線AC與直線C1E是異面直線；當(dāng)A1EAB1時，直線A1E平面AB1C1，所以A1EAC1，錯誤；球心O是直線AC1，A1C的交點，底面OAA1面積不變，直線BB1平面AA1O，所以點E到底面的距離不變，體積為定值；將矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展開到一個面內(nèi)，當(dāng)點E為AC1與BB1的交點時，AEEC1取得最小值2，故選C.10已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，E為CC1的中點，P在對角面BB1D1D所在平面內(nèi)運動，若EP與AC成30角，則點P的軌跡為()A圓B拋物線C雙曲線D橢圓答案A解析因為在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1與平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，所以該平行六面體ABCDA1B1C1D1是一個底面為菱形的直四棱柱，所以對角面BB1D1D底面ABCD，AC對角面BB1D1D.取AA1的中點F，則EFAC，因為EP與AC成30角，所以EP與EF成30角設(shè)EF與對角面BB1D1D的交點為O，則EO對角面BB1D1D，所以點P的軌跡是以EO為軸的一個圓錐的底面，故選A.11.如圖在正四面體(所有棱長都相等)DABC中，動點P在平面BCD上，且滿足PAD30，若點P在平面ABC上的射影為P，則sinPAB的最大值為()A.B.C.D.答案A解析以AD為軸，DAP30，AP為母線，圍繞AD旋轉(zhuǎn)一周，在平面BCD內(nèi)形成的軌跡為橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)點P位于橢圓的長軸端點(圖中點M的位置)時，PAB最大，此時ADDM，且DMBC.設(shè)正四面體DABC的各棱長為2，在RtADM中，AD2，MAD30，則MD，AM.過點D作正四面體DABC的高DO，O為底面正三角形ABC的中心，連接AO，作MP平面ABC于點P，連接PO，并延長交AB于點N，因為DMBC，MP平面ABC，DO平面ABC，所以MPDO且MPDO，四邊形MPOD為矩形，所以PODM，ON，所以PN.又在正四面體DABC中，AO2，所以DO，所以MP.在RtAOP中，AP，于是在APN中，由正弦定理可得，解得sinPAB，故選A.12如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則cos的最大值為_答案解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB2，QMm(0m2)，則F(2,1,0)，E(1,0,0)，M(0，m,2)(0m2)(2,1,0)，(1，m，2)，cos|cos，|.設(shè)y，則y.當(dāng)0m2時，y0，y在(0,2)上單調(diào)遞減當(dāng)m0時，y取最大值，此時cos取得最大值，(cos)max.1，是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定的是()A，都平行于直線l，mB內(nèi)有三個不共線的點到的距離相等Cl，m是內(nèi)的兩條直線且l，mDl，m是兩條異面直線且l，m，l，m答案D解析對于A，l，m應(yīng)相交；對于B，應(yīng)考慮三個點在的同側(cè)或異側(cè)兩種情況；對于C，l，m應(yīng)相交，故選D.2給出下列命題：若平面內(nèi)的直線a與平面內(nèi)的直線b為異面直線，直線c是與的交線，那么c至多與a，b中的一條相交；若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；一定存在平面同時和異面直線a，b都平行其中正確的命題為()ABCD答案C解析錯，c可與a，b都相交；錯，因為a，c也可能相交或平行；正確，例如過異面直線a，b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即滿足條件3在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，M為BC的中點，N為AC的中點，D為BC邊上一個動點，ABD沿AD翻折使BDDC，點A在平面BCD上的投影為點O，當(dāng)點D在BC上運動時，以下說法錯誤的是()A線段NO為定長BCO1，)CAMOADB180D點O的軌跡是圓弧答案C解析如圖所示，對于A，AOC為直角三角形，ON為斜邊AC上的中線，ONAC為定長，即A正確；對于B，D在M時，AO1，CO1，CO1，)，即B正確；對于D，由A可知，點O的軌跡是圓弧，即D正確，故選C.解題秘籍(1)平面的基本性質(zhì)公理是幾何作圖的重要工具(2)兩條異面直線所成角的范圍是(0，90(3)線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型或?qū)嵗远ɡ砘蚪Y(jié)論為依據(jù)進行推理，絕不能主觀判斷(4)立體幾何中的動態(tài)問題要搞清運動的實質(zhì)，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}1已知直線a平面，則“直線a平面”是“平面平面”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若直線a平面，直線a平面，可得平面平面；若平面平面，又直線a平面，那么直線a平面，直線a平面都可能成立如正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD平面BCC1B1，直線AD平面BCC1B1，但直線AD平面ABCD；直線AD1平面BCC1B1，但直線AD1與平面ABCD不垂直綜上，“直線a平面”是“平面平面”的充分不必要條件2.如圖，在三棱錐PABC中，不能得出APBC的條件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面PBC平面APC，BCPCDAP平面PBC答案B解析A中，因為APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.又BC平面PBC，所以APBC，故A可以得出APBC；C中，因為平面BPC平面APC，且平面BPC平面APCPC，BCPC，BC平面PBC，所以BC平面APC.又AP平面APC，所以PABC，故C可以得出APBC；D中，由A知D可以得出APBC；B中條件不能得出APBC，故選B.3已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出四個命題：若m，n，nm，則；若m，m，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則.其中正確的命題是()ABCD答案B解析兩個平面斜交時也會出現(xiàn)一個平面內(nèi)的直線垂直于兩個平面的交線的情況，不正確；垂直于同一條直線的兩個平面平行，正確；當(dāng)兩個平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時，它們所成的二面角為直二面角，故正確；當(dāng)兩個平面相交時，分別與兩個平面平行的直線也平行，故不正確4.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論：直線BE與直線CF異面；直線BE與直線AF異面；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確的有()A1個B2個C3個D4個答案B解析將展開圖還原為幾何體(如圖)，因為E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，所以EFADBC，即直線BE與CF共面，錯；因為B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE與AF是異面直線，正確；因為EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，錯故選B.5平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C.D.答案A解析如圖所示，設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，則m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小而B1CB1D1CD1(均為面對角線)，因此CD1B1，得sinCD1B1，故選A.6如圖，四邊形ABCD為矩形，平面PCD平面ABCD，且PCPDCD2，BC2，O，M分別為CD，BC的中點，則異面直線OM與PD所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析連接BD，OB，則OMDB，PDB或其補角為異面直線OM與PD所成的角由條件可知PO平面ABCD，OB3，PO，BD2，PB2，在PBD中，由余弦定理可得cosPDB.7(2018浙江省杭州市第二中學(xué)模擬)等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體ABCD的側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下列說法：四面體EBCD的體積有最大值和最小值；存在某個位置，使得AEBD；設(shè)二面角DABE的平面角為，則DAE；AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓其中，正確說法的個數(shù)是()A1B2C3D4答案D解析根據(jù)正四面體的特征，以及等腰直角三角形的特征，可以得到當(dāng)直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)的過程中，存在著最高點和最低點，并且最低點在底面的上方，所以四面體EBCD的體積有最大值和最小值，故正確；要想使AEBD，就要使AE落在豎直方向的平面內(nèi)，而轉(zhuǎn)到這個位置的時候，使得AEBD，且滿足是等腰直角三角形，所以正確；利用二面角的平面角的定義，找到其平面角，設(shè)二面角DABE的平面角為，則DAE，所以是正確的；根據(jù)平面截圓錐所得的截面可以斷定，AE的中點M與AB的中點N連線交平面BCD于點P，則點P的軌跡為橢圓，所以正確故正確的命題的個數(shù)是4，故選D.8(2018浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)模擬)已知在矩形ABCD中，ADAB，沿直線BD將ABD折成ABD，使得點A在平面BCD上的射影在BCD內(nèi)(不含邊界)，設(shè)二面角ABDC的大小為，直線AD，AC與平面BCD所成的角分別為，則()A<<B<<C<<D<<答案D解析如圖，四邊形ABCD為矩形，BAAD，當(dāng)A點在底面上的射影O落在BC上時，有平面ABC底面BCD，又DCBC，平面ABC平面BCDBC，DC平面BCD，可得DC平面ABC，則DCBA，BA平面ADC，在RtBAC中，設(shè)BA1，則BC，AC1，說明O為BC的中點；當(dāng)A點在底面上的射影E落在BD上時，可知AEBD，設(shè)BA1，則AD，AE，BE.要使點A在平面BCD上的射影F在BCD內(nèi)(不含邊界)，則點A的射影F落在線段OE上(不含端點)可知AEF為二面角ABDC的平面角，直線AD與平面BCD所成的角為ADF，直線AC與平面BCD所成的角為ACF，可求得DFCF，ACAD，且AE<1，而AC的最小值為1，sinADFsinACFsinAEO，則.9如圖，DC平面ABC，EBDC，EB2DC，P，Q分別為AE，AB的中點則直線DP與平面ABC的位置關(guān)系是_答案平行解析連接CQ，在ABE中，P，Q分別是AE，AB的中點，所以PQBE，PQBE.又DCEB，DCEB，所以PQDC，PQDC，所以四邊形DPQC為平行四邊形，所以DPCQ.又DP平面ABC，CQ平面ABC，所以DP平面ABC.10，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的序號)答案解析當(dāng)mn，m，n時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故錯誤，經(jīng)判斷知均正確11.如圖，在三棱錐SABC中，若AC2，SASBSCABBC4, E為棱SC的中點，則直線AC與BE所成角的余弦值為_，直線AC與平面SAB所成的角為_答案60解析取SA的中點M，連接ME，BM，則直線AC與BE所成的角等于直線ME與BE所成的角，因為ME，BMBE2，cosMEB，所以直線AC與BE所成角的余弦值為.取SB的中點N，連接AN，CN，則ANSB，CNSBSB平面ACN平面SAB平面ACN，因此直線AC與平面SAB所成的角為CAN，因為ANCNAC2，所以CAN60，因此直線AC與平面SAB所成的角為60.12在正方體ABCDA1B1C1D1中(如圖)，已知點P在直線BC1上運動，則下列四個命題：三棱錐AD1PC的體積不變；直線AP與平面ACD1所成的角的大小不變；二面角PAD1C的大小不變；若M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是直線A1D1.其中真命題的序號是_答案解析為定值；因為BC1AD1，所以BC1平面AD1C，因此P到平面AD1C的距離不變，但AP長度變化，因此直線AP與平面ACD1所成的角的大小變化；二面角PAD1C的大小就是平面ABC1D1與平面AD1C所成二面角的大小，因此不變；到點D和C1距離相等的點在平面A1BCD1上，所以M點的軌跡是平面A1BCD1與平面A1B1C1D1的交線A1D1.綜上，真命題的序號是.