第3講小題考法導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用一、主干知識要記牢1導(dǎo)數(shù)公式及運算法則(1)基本導(dǎo)數(shù)公式：c0(c為常數(shù))；(xm)mxm1(mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ax)axln a(a>0且a1)；(ex)ex；(logax) (a>0且a1)；(ln x)(2)導(dǎo)數(shù)的四則運算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)2導(dǎo)數(shù)與極值、最值(1)函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右負”f(x)在x0處取極大值；函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)0且f(x)在x0附近“左負右正”f(x)在x0處取極小值(2)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點處函數(shù)值中的“最大者”；函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點處函數(shù)值中的“最小者”二、二級結(jié)論要用好1常用乘式與除式的求導(dǎo)(1)xnf(x)nxn1f(x)xnf(x)；(2)；(3)exf(x)exf(x)f(x)；(4)2不等式恒成立(或有解)問題的常用結(jié)論(1)恒成立問題a>f(x)恒成立a>f(x)max；af(x)恒成立af(x)max；a<f(x)恒成立a<f(x)min；af(x)恒成立af(x)min(2)有解問題a>f(x)有解af(x)min；af(x)有解af(x)min；a<f(x)有解af(x)max；af(x)有解af(x)max三、易錯易混要明了1不能準確理解導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，易忽視切點(x0，f(x0)既在切線上，又在函數(shù)圖象上，導(dǎo)致某些求導(dǎo)數(shù)的問題不能正確解出2易混淆函數(shù)的極值與最值的概念，錯以為f(x0)0是函數(shù)yf(x)在xx0處有極值的充分條件3如果已知f(x)為減函數(shù)求參數(shù)取值范圍，那么不等式f(x)0恒成立，但要驗證f(x)是否恒等于0.增函數(shù)亦然4求曲線的切線方程時，要注意題目條件中的已知點是否為切點考點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義1求曲線yf(x)的切線方程的3種類型及方法(1)已知切點P(x0，y0)，求yf(x)在點P的切線方程：求出切線的斜率f(x0)，由點斜式寫出方程(2)已知切線的斜率為k，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0，y0)，通過方程kf(x0)解得x0，再由點斜式寫出方程(3)已知切線上一點(非切點)，求yf(x)的切線方程：設(shè)切點P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，再由點斜式或兩點式寫出方程2利用切線(或方程)與其他曲線的關(guān)系求參數(shù)已知過某點的切線方程(斜率)或其與某線平行、垂直，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切點坐標、切線斜率之間的關(guān)系構(gòu)建方程(組)或函數(shù)求解1(2018延安一模)已知函數(shù)f(x)的圖象在點(1，f(1)處的切線方程為x2y10，則f(1)2f(1)的值為(D)A B1C D2解析因為切線方程為yx，則直線的斜率k，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f(1)，所以f(1)2f(1)122，故選D2(2018綿陽三診)若曲線yln x1的一條切線是yaxb，則4aeb的最小值是(C)A2 B2 C4 D4解析設(shè)切點為(m，ln m1)，f(x)，f(m)，故切線方程為y(ln m1)(xm)，即yxln m，所以a，bln m,4aebm24. 故選C3(2018煙臺二模)已知直線2xy10與曲線yln xa相切，則實數(shù)a的值是_2ln_2_解析yln xa求導(dǎo)得：y，設(shè)切點是(x0，ln x0a)，則y2，故x0，ln x0ln 2，切點是 代入直線得：2ln 2a10，解得a2ln 2考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f(x)；(3)求方程f(x)0在定義域內(nèi)的所有實數(shù)根；(4)將函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)無定義的點)的橫坐標和各實數(shù)根按從小到大的順序排列起來，分成若干個小區(qū)間；(5)確定f(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號，由此確定每個區(qū)間的單調(diào)性1(2018山西統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)ex2xa，若曲線yx3x1(x1,1)上存在點(x0，y0)使得f(y0)y0，則實數(shù)a的取值范圍是(B)A(，e39e3，)Be39，e3C(e39，e26)D(，e39(e3，)解析因為曲線yx3x1在(x1,1)上遞增，所以曲線yx3x1(x1,1)上存在點(x0，y0), 可知y01,3，由f(y0)y0，可得y0ey02y0a，aey03y0，而aey03y0在1,3上單調(diào)遞減，ae39，e3，故選B2(2018齊魯名校聯(lián)考)定義在x|x0上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)0，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足f(1)0，當x0時，xf(x)2f(x)，則使得不等式f(x)0的解集為(D)A(，1)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(1,0)(0,1)解析令g(x)，則x0時，g(x)0，g(x)在(0，)上遞減，由f(1)0，知f(x)0可得0x1，又f(x)為偶函數(shù)，所以解集為(1,0)(0,1). 故選D3(2018煙臺模擬)已知函數(shù)yf(x)對任意的x(0，)滿足f(x)sin xf(x)cos x(其中f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式成立的是(B)Aff BffCff Dff解析令F(x)，x(0，)，則F(x)，因為f(x)sin xf(x)cos x，則f(x)sin xf(x)cos x0，所以F(x)0，所以FF，即，即ff，故選B考點三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法(1)若求極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值1(2018河南聯(lián)考)若函數(shù)f(x)|在x|1|x|4，xR上的最大值為M，最小值為m，則Mm(A)A B2 C D解析f(x)|為偶函數(shù)，當1x4時，f(x)，f(x)0.f(x)因此M，m0，Mm，選A2(2018曲靖一模)若函數(shù)f(x)extln x有兩個極值點，則實數(shù)t的取值范圍是(A)A BC D解析f(x)ex0有兩個正根，即txex有兩個正根，令g(x)xex，g(x)exxex，當g(x)0時，x1，故yg(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(1)，當x時，g(x)0，所以t，故選A3設(shè)函數(shù)f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的極大值點，則a的取值范圍是_(1，)_解析f(x)的定義域為(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1af(x)axa1若a0，由f(x)0，得x1.當0<x<1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當x>1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減所以x1是f(x)的極大值點若a<0，由f(x)0，得x1或x因為x1是f(x)的極大值點，所以>1，解得1<a<0.綜合得a的取值范圍是(1，)