第10練三角恒等變換與解三角形明晰考情1.命題角度：與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，考查解三角形及三角形的面積問(wèn)題.2.題目難度：一般在解答題的第一題位置，中檔難度.考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其實(shí)質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，適用于求三角形的邊或角.(2)邊角互化法解三角形：合理轉(zhuǎn)化已知條件中的邊角關(guān)系，適用于已知條件是邊角混和式的解三角形問(wèn)題.1.(2018天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值.解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因?yàn)閍c，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.2.(2018唐山模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBDDA2，ACB30.(1)求證：BC4cosCBD；(2)點(diǎn)C移動(dòng)時(shí)，判斷CD是否為定長(zhǎng)，并說(shuō)明理由.(1)證明在ABC中，AB2，ACB30，由正弦定理可知，所以BC4sinBAC.又ABD60，ACB30，則BACCBD90，則sinBACcosCBD，所以BC4cosCBD.(2)解CD為定長(zhǎng)，因?yàn)樵贐CD中，由(1)及余弦定理可知，CD2BC2BD22BCBDcosCBD，BC244BCcosCBDBC24BC24，所以CD2.3.在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求角A的大??；(2)若，a，求b的值.解(1)由題意，可得3，即1，整理得b2c2a2bc，由余弦定理知，cosA，因?yàn)?A，所以A.(2)根據(jù)正弦定理，得cosA，解得tanB，所以sinB.由正弦定理得，b2.考點(diǎn)二三角形的面積問(wèn)題方法技巧三角形面積的求解策略(1)若所求面積的圖形為不規(guī)則圖形，可通過(guò)作輔助線(xiàn)或其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.(2)若所給條件為邊角關(guān)系，則運(yùn)用正弦、余弦定理求出其兩邊及其夾角，再利用三角形面積公式求解.4.(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周長(zhǎng).解(1)由題設(shè)得acsinB，即csinB.由正弦定理，得sinCsinB，故sinBsinC.(2)由題設(shè)及(1)，得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由題意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周長(zhǎng)為3.5.(2018內(nèi)蒙古集寧一中月考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足2asinCsinBasinAbsinBcsinC.(1)求角C的大??；(2)若acosbcos(2kA)(kZ)且a2，求ABC的面積.解(1)由2asinCsinBasinAbsinBcsinC得，2absinCa2b2c2，sinC，sinCcosC，tanC，C(0，)，C.(2)由acosbcos(2kA)(kZ)，得asinBbcosA，由正弦定理得sinAcosA，且A(0，)，A.根據(jù)正弦定理可得，解得c，SABCacsinB2sin(AC)sin.6.ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知abcosCcsinB.(1)求B的大??；(2)若b2，求ABC面積的最大值.解(1)由已知及正弦定理得sinAsinBcosCsinCsinB，又A(BC)，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由和C(0，)，得sinBcosB.又B(0，)，B.(2)ABC的面積SacsinBac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立.因此ABC面積的最大值為1.考點(diǎn)三解三角形的綜合問(wèn)題方法技巧(1)題中的關(guān)系式可以先利用三角變換進(jìn)行化簡(jiǎn).(2)和三角形有關(guān)的最值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，要注意其中角的取值.(3)和平面幾何有關(guān)的問(wèn)題，不僅要利用三角函數(shù)和正弦、余弦定理，還要和三角形、平行四邊形的一些性質(zhì)結(jié)合起來(lái).7.(2018東北三校聯(lián)考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2a2ccosB.(1)求角C的大小；(2)求cosAsin的最大值，并求出取得最大值時(shí)角A，B的值.解(1)b2a2ccosB2a2c，整理得a2b2c2ab，即cosC，因?yàn)?<C<，所以C.(2)由(1)知C，則BA，于是cosAsincosAsin(A)cosAsinA2sin，由AB，得0<A<，<A<.故當(dāng)A時(shí)，2sin取得最大值2，此時(shí)B.8.設(shè)函數(shù)f(x)sinxcosxsin2(xR)，(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f0，c2，求ABC面積的最大值.解(1)函數(shù)f(x)sinxcosxsin2(xR)，化簡(jiǎn)可得f(x)sin2xsin2x.令2k2x2k(kZ)，則kxk(kZ)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ).令2k2x2k(kZ)，則kxk(kZ)，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ).(2)由f0，得sinC，又因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以C.由余弦定理得c2a2b22abcosC，將c2，C代入得4a2b2ab，由基本不等式得a2b24ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.即ab4(2)，所以SABCabsinC4(2)2，即ABC面積的最大值為2.9.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且m(2ac，cosC)，n(b，cosB)，mn.(1)求角B的大??；(2)若b1，當(dāng)ABC的面積取得最大值時(shí)，求ABC內(nèi)切圓的半徑.解(1)由已知可得(2ac)cosBbcosC，結(jié)合正弦定理可得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，即2sinAcosBsin(BC)，又sinAsin(BC)0，所以cosB，又0<B<，所以B.(2)由(1)得B，又b1，在ABC中，b2a2c22accosB，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，當(dāng)且僅當(dāng)ac1時(shí)取等號(hào).從而SABCacsinBac，當(dāng)且僅當(dāng)ac1時(shí)，SABC取得最大值.設(shè)ABC內(nèi)切圓的半徑為r，由SABC(abc)r，得r.典例(12分)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(ab，sinAsinC)，向量n(c，sinAsinB)，且mn.(1)求角B的大小；(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，且AD，求a2c的最大值及此時(shí)ABC的面積.審題路線(xiàn)圖規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)因?yàn)閙n，所以(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0，1分由正弦定理，可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac.3分由余弦定理可知，cosB.因?yàn)锽(0，)，所以B.5分(2)設(shè)BAD，則在BAD中，由B可知，.由正弦定理及AD，有2，所以BD2sin，AB2sincossin，所以a2BD4sin，cABcossin，8分從而a2c2cos6sin4sin.由可知，所以當(dāng)，即時(shí)，a2c取得最大值4.11分此時(shí)a2，c，所以SABCacsinB.12分構(gòu)建答題模板第一步找條件：分析尋找三角形中的邊角關(guān)系.第二步巧轉(zhuǎn)化：根據(jù)已知條件，選擇使用的定理或公式，確定轉(zhuǎn)化方向，實(shí)現(xiàn)邊角互化.第三步得結(jié)論：利用三角恒等變換進(jìn)行變形，得出結(jié)論.第四步再反思：審視轉(zhuǎn)化過(guò)程的等價(jià)性與合理性.1.(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC邊上的高.解(1)在ABC中，因?yàn)閏osB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由題設(shè)知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因?yàn)閟inCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC邊上的高為asinC7.2.(2018全國(guó))在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由題意知，ADB90，所以cosADB.(2)由題意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.3.已知函數(shù)f(x)sinxcosxsin2x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，角A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，f(A)，ADBD2，求cosC.解(1)f(x)sinxcosxsin2xsin2xcos2xsin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ).(2)由f(A)，得sin1，得到2A2k，kZ，解得Ak，kZ，由0<A<，得A，所以BAD，由正弦定理得，解得sinB，所以B或B(舍去).所以cosCcos(AB)sinsincoscos.4.在某自然保護(hù)區(qū)，野生動(dòng)物保護(hù)人員歷經(jīng)數(shù)年追蹤，發(fā)現(xiàn)國(guó)家一級(jí)重點(diǎn)保護(hù)動(dòng)物貂熊的活動(dòng)區(qū)為如圖所示的五邊形ABECD內(nèi)，保護(hù)人員為了研究該動(dòng)物生存條件的合理性，需要分析貂熊的數(shù)量與活動(dòng)面積的關(guān)系，保護(hù)人員在活動(dòng)區(qū)內(nèi)的一條河的一岸通過(guò)測(cè)量獲得如下信息：A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，且ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1km.(1)求BC的長(zhǎng)；(2)野生動(dòng)物貂熊的活動(dòng)區(qū)ABECD的面積約為多少？(1.732，結(jié)果保留兩位小數(shù))解(1)在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin45(km).(2)依題意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan60(km)，又sin105sin(6045)，sin15sin(6045)，所以活動(dòng)區(qū)ABECD的面積SSACDSABCSBCEACCDACCBsin15BCCEsin1051111.87 (km2)，故野生動(dòng)物貂熊的活動(dòng)區(qū)ABECD的面積約為1.87km2.