專題能力提升練 三不等式與線性規(guī)劃(45分鐘80分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.(2018順義一模)已知x,yR,且0<x<y<1,則()A.x-1<y-1<1B.1<lg x<lg yC.12x<12y<2D.0<sin x<sin y【解析】選D.因為x,yR,且0<x<y<1,所以1x>1y>1,lg x<lg y<0,12x>12y>12,0<sin x<sin y.2.設不等式組x-2y0,x-y+20,x0表示的平面區(qū)域為.則()A.原點O在內(nèi)B.的面積是1C.內(nèi)的點到y(tǒng)軸的距離有最大值D.若點P(x0,y0),則x0+y00【解析】選A.不等式組x-2y0,x-y+20,x0表示的可行域如圖:顯然O在可行域內(nèi)部.3.設x,y滿足約束條件x+2y1,2x+y-1,x-y0,則z=y-2x的最小值為()A.-23B.-13C.13D.3【解析】選B.由z=y-2x,得y=2x+z,作出不等式對應的可行域,平移直線y=2x+z,由平移可知當直線y=2x+z經(jīng)過點A時,直線y=2x+z的截距最小,此時z取得最小值,由x+2y=1,x-y=0,解得x=13,y=13,即A13,13代入z=y-2x,得z=13-213=-13,即z=y-2x的最小值為-13.4.已知實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+50,x+y0,x3,若ykx-3恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是()A.-115,0B.0,113C.(-,0115,+D.-,-1150,+)【解析】選A.由約束條件x-y+50,x+y0,x3作可行域如圖,聯(lián)立x=3,x+y=0,解得B(3,-3).聯(lián)立x+y=0,x-y+5=0,解得A-52,52.由題意得-33k-3,52-52k-3,解得-115k0.所以實數(shù)k的取值范圍是-115,0.5.(2018順義一模)已知點P(x,y)的坐標滿足條件2x+3y-90,2x-3y+90,y-10,且點P在直線3x+y-m=0上.則m的取值范圍是()A.-9,9B.-8,9C.-8,10D.9,10【解析】選C.畫出不等式組2x+3y-90,2x-3y+90,y-10表示的平面區(qū)域,如圖所示:則目標函數(shù)3x+y-m=0轉化為m=3x+y,目標函數(shù)過點A時,取得最小值,過點B時取得最大值;由2x-3y+9=0,y=1,求得A(-3,1),由2x+3y-9=0,y=1,求得B(3,1),則m=3x+y的最小值為3(-3)+1=-8,最大值為33+1=10;所以m的取值范圍是-8,10.6.設函數(shù)f(x)=mx2-mx-1,若對于x1,3,f(x)<-m+4恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為()A.-,57B.-,57C.57,+D.57,+【解析】選A.由題意,f(x)<-m+4,可得m(x2-x+1)<5.因為當x1,3時,x2-x+11,7,所以m<5x2-x+1.因為當x=3時,5x2-x+1的最小值為57,所以若要不等式m<5x2-x+1恒成立,則必須m<57,因此,實數(shù)m的取值范圍為-,57.7.已知實數(shù)x,y滿足x+y-30,x-2y0,x-y0,若z=x2+y2,則z的最小值為()A.1B.322C.52D.92【解析】選D.作出不等式組對應的平面區(qū)域,則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方,則由圖象可知,當圓心O到點A的距離最小,由y=x,x+y-3=0,解得x=y=32,則z=92.8.已知集合M=x|x-3x-10,N=x|y=log3(-6x2+11x-4),則MN=()A.1,43B.12,3C.1,43D.43,2【解析】選C.因為集合M=x|x-3x-10=x|1<x3,N=x|y=log3(-6x2+11x-4)=x|-6x2+11x-4>0=x|12<x<43.所以MN=x|1<x3x|12<x<43=1,43.9.若x,y滿足約束條件x-2y+10,3x-y+30,2x+y-30,則z=2x+y+2x+2的最小值與最大值的和為()A.-32B.-12C.32D.52【解析】選D.由約束條件x,y滿足約束條件x-2y+10,3x-y+30,2x+y-30則作可行域如圖,因為z=2x+y+2x+2=2x+4+y-2x+2=2+y-2x+2,即z-2=y-2x+2,其幾何意義是可行域內(nèi)的動點與定點P(-2,2)連線的斜率,由圖可知,當可行域內(nèi)的動點為A時,斜率最大,此時z=2+3-20+2=52,當可行域內(nèi)的動點為B時,kPB最小,z=2+0-2-1+2=0,所以z=2x+y+2x+2的最小值與最大值的和為52+0=52.10.已知函數(shù)f(x)=-x2+2x-2(x1),2-|1-x|-2(x>1),g(x)=|a-1|cos x(xR),若對任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2),則實數(shù)a的取值范圍為()A.0,2B.RC.-2,0 D.(-,-20,+)【解析】選A.對任意的x1,x2R,都有f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min,函數(shù)f(x)=-x2+2x-2(x1),2-|1-x|-2(x>1),注意到f(x)max=f(1)=-1,又g(x)=|a-1|cos x-|a-1|,故-|a-1|-1,解得0a2.11.直線x+my+1=0與不等式組x+y-30,2x-y0,x-20表示的平面區(qū)域有公共點,則實數(shù)m的取值范圍是()A.13,43B.-43,-13C.34,3D.-3,-34【解析】選D.由題意,知直線x+my+1=0過定點D(-1,0),作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖陰影所示,當m=0時,直線為x=-1,此時直線和平面區(qū)域沒有公共點,故m0.x+my+1=0的斜截式方程為y=-1mx-1m,斜率k=-1m.要使直線和平面區(qū)域有公共點,則直線x+my+1=0的斜率k>0,即k=-1m>0,即m<0,且滿足kCDkkAD.由x+y-3=0,x-2=0,解得x=2,y=1,即C(2,1),CD的斜率kCD=0-1-1-2=13.由2x-y=0,x-2=0,解得x=2,y=4,即A(2,4),AD的斜率kAD=4-02-(-1)=43,即13k43,則13-1m43,解得-3m-34,故選D.12.設x,y滿足約束條件2x-y0,x+13y1,y0,若z=-ax+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為()A.2或-3B.3或-2C.-13或12D.-13或2【解析】選A.作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖:(陰影部分OAB).由z=y-ax得y=ax+z,即直線的截距最大,z也最大.若a=0,此時y=z,此時,目標函數(shù)只在A處取得最大值,不滿足條件,若a>0,目標函數(shù)y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則直線y=ax+z與直線2x-y=0平行,此時a=2,若a<0,目標函數(shù)y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則直線y=ax+z與直線x+13y=1平行,此時a=-3,綜上a=-3或a=2.二、填空題(每小題5分,共20分)13.不等式|x-3|<2的解集為_.【解析】不等式|x-3|<2,即-2<x-3<2,求得1<x<5,答案:(1,5)14.設x,y滿足約束條件x-y6,4x+5y6,5x+4y3,則z=x+y的最大值為_.【解析】x,y滿足約束條件x-y6,4x+5y6,5x+4y3的可行域如圖,則z=x+y經(jīng)過可行域的A時,目標函數(shù)取得最大值,由x-y=6,4x+5y=6,解得A(4,-2),所以z=x+y的最大值為2.答案:2【加固訓練】 (2018安陽市一模)已知向量a=(2,3),b=(x,y),且變量x,y滿足y0,yx,x+y-30,則z=ab的最大值為_.【解析】由約束條件y0,yx,x+y-30,作出可行域如圖,聯(lián)立y=x,x+y-3=0,解得A32,32,因為a=(2,3),b=(x,y),所以z=ab=2x+3y,化為y=-23x+z3,由圖可知,當直線y=-23x+z3過A時,直線在y軸上的截距最大,z有最大值為152.答案:15215.已知aR,函數(shù)f(x)=x2+2x+a-2,x0,-x2+2x-2a,x>0,若對任意x-3,+),f(x)|x|恒成立,則a的取值范圍是_.【解析】當-3x0時,由f(x)|x|得:x2+2x+a-2-x.即a-x2-3x+2,而-x2-3x+2的最小值為2,所以a2.當x>0時,由f(x)|x|得:-x2+2x-2ax.即2a-x2+x,而-x2+x的最大值為14,所以a18.綜上可知:18a2.答案:18a216.(2018信陽市二模)若偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0上單調遞減,且f(3)=0,則不等式(x-1)f(x)>0的解集是_.【解析】根據(jù)題意,偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,0上單調遞減,則其在0,+)上為增函數(shù),又由f(3)=0,則f(-3)=0,由圖象知當x<-3或x>3時,f(x)>0;當-3<x<3時,f(x)<0,(x-1)f(x)>0等價為x-1<0,f(x)<0或x-1>0,f(x)>0,即x>1,x>3或x<-3或x<1,-3<x<3,得x>3或-3<x<1.綜合可得:不等式(x-1)f(x)>0的解集是(-3,1)(3,+).答案:(-3,1)(3,+)