4.圓錐曲線1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點是原點，以x軸為對稱軸，且經(jīng)過點P(1,2)(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，|PM|PN|.求直線AB的斜率解(1)依題意，設(shè)拋物線C的方程為y2ax(a0)，由拋物線C經(jīng)過點P(1,2)，得a4，所以拋物線C的方程為y24x.(2)因為|PM|PN|，所以PMNPNM，所以12，所以直線PA與PB的傾斜角互補，所以kPAkPB0.依題意，直線AP的斜率存在，設(shè)直線AP的方程為y2k(x1)(k0)，將其代入拋物線C的方程，整理得k2x22(k22k2)xk24k40.設(shè)A(x1，y1)，則1x1，y1k(x11)22，所以A，以k替換點A坐標(biāo)中的k，得B.所以kAB1.所以直線AB的斜率為1.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F(1,0)和直線l：x4，圓C與直線l相切，并且圓心C關(guān)于點F的對稱點在圓C上，直線l與x軸相交于點P.(1)求圓心C的軌跡E的方程；(2)過點F且與直線l不垂直的直線m與圓心C的軌跡E相交于點A，B，求PAB面積的取值范圍解(1)設(shè)圓心C(x，y)，則圓心C到點F的距離等于它到直線l距離的一半，|4x|，化簡得圓心C的軌跡方程為1.(2)設(shè)直線m的方程為xky1，由得(3k24)y26ky90，0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，|y1y2|12，PAB的面積S|y1y2|PF|18.設(shè)tk211，則，設(shè)f(t)9t6，t1，則f(t)90，f(t)在1，)上單調(diào)遞增，f(t)f(1)16，S18，即PAB面積的取值范圍為.3已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且C過點.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交于P，Q兩點(點P，Q均在第一象限)，且直線OP，l，OQ的斜率成等比數(shù)列，證明：直線l的斜率為定值(1)解由題意可得解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，直線l與橢圓交于兩點，64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)>0.設(shè)點P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.直線OP，l，OQ的斜率成等比數(shù)列，k2，整理得km(x1x2)m20，m20，又m0，k2，結(jié)合圖象(圖略)可知k，故直線l的斜率為定值4已知拋物線：x22py(p>0)，直線y2與拋物線交于A，B(點B在點A的左側(cè))兩點，且|AB|4.(1)求拋物線在A，B兩點處的切線方程；(2)若直線l與拋物線交于M，N兩點，且MN的中點在線段AB上，MN的垂直平分線交y軸于點Q，求QMN面積的最大值解(1)由x22py，令y2，得x2，所以44，解得p3，所以x26y，由y，得y，故.所以在A點的切線方程為y2(x2)，即2xy20，同理可得在B點的切線方程為2xy20.(2)由題意得直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得x26kx6m0，36k224m>0，所以x1x26k，x1x26m，故|MN|2.又y1y2k(x1x2)2m6k22m4，所以m23k2，所以|MN|2，由36k224m>0，得<k<且k0.因為MN的中點坐標(biāo)為(3k,2)，所以MN的垂直平分線方程為y2(x3k)，令x0，得y5，即Q(0,5)，所以點Q到直線kxy23k20的距離d3，所以SQMN233.令1k2u，則k2u1，則1<u<，故SQMN3.設(shè)f(u)u2(73u)，則f(u)14u9u2，結(jié)合1<u<，令f(u)>0，得1<u<；令f(u)<0，得<u<，所以當(dāng)u，即k時，(SQMN)max3.5.如圖，A，B是焦點為F的拋物線y24x上的兩動點，線段AB的中點M在定直線xt上.(1)求|FA|FB|的值；(2)若t1，設(shè)ABF的面積為S，求S的最大值解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(t，m)，則x1x22t，y1y22m.由拋物線的定義知|FA|x11，|FB|x21.所以|FA|FB|x1x2222t.(2)由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)所以.故可設(shè)直線AB的方程為(ym)x1，即xy1.聯(lián)立消去x并整理，得y22my2m240，則164m2>0，即m2<4.y1y22m，y1y22m24.|y1y2|2.|x1x2|y1y2|m|.所以ABF的面積S|m|x1x2|m2.令0<gm2<4，u4g2g3，則u8g3g2，令8g3g20，得g.當(dāng)0<g<時，u>0，當(dāng)<g<4時，u<0，所以u在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)所以當(dāng)gm2時，Smax.6已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在橢圓上(異于橢圓C的左、右頂點)，過右焦點F2作F1PF2的外角平分線L的垂線F2Q，交L于點Q，且|OQ|2(O為坐標(biāo)原點)，橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為4.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：xmy4(mR)與橢圓C交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為A，直線AB交x軸于點D，求當(dāng)ADB的面積最大時，直線l的方程解(1)由橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為4ab4，得ab2.延長F2Q交直線F1P于點R，因為F2Q為F1PF2的外角平分線的垂線，所以|PF2|PR|，Q為F2R的中點，所以|OQ|a，所以a2，b，所以橢圓C的方程為1. (2)聯(lián)立消去x，得(3m24)y224my360，所以(24m)2436(3m24)144(m24)>0，即m2>4. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A(x1，y1)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2，y1y2，直線AB的斜率k，所以直線AB的方程為yy1(xx1)，令y0，得xD4，故xD1，所以點D到直線l的距離d，所以SADB|AB|d18.令t(t>0)，則SADB18，當(dāng)且僅當(dāng)3t，即t2m24，即m2>4，m時，ADB的面積最大，所以直線l的方程為3x2y120或3x2y120.