2 導數在實際問題中的應用21實際問題中導數的意義 某人拉動一個物體前進，他所做的功W(單位：J)是時間t(單位：s)的函數，設這個函數可以表示為WW(t)t34t210t.問題1：t從1 s到4 s時，功W關于時間t的平均變化率是多少？提示：11(J/s)問題2：上述問題的實際意義是什么？提示：它表示從t1 s到t4 s這段時間內，這個人平均每秒做功11 J.問題3：W(1)的實際意義是什么？提示：W(t)3t28t10，W(1)5.表示此人在t1s時每秒做功為5 J.實際問題中導數的意義1功關于時間的導數是功率2降雨量關于時間的導數是降雨強度3生產成本關于產量的導數是邊際成本4路程關于時間的導數是速度速度關于時間的導數是加速度5質量關于長度的導數是線密度在日常生活中，有許多需要用導數概念來理解的量如物理學中，速度是路程關于時間的導數，功率是功關于時間的導數解決這些問題，要在閱讀材料、理解題意的基礎上，利用數學知識對模型進行分析，得到數學結論，然后再用數學結論解釋實際問題 導數在物理學中的應用例1把原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第x h時，原油的溫度(單位：)為yf(x)x27x15(0x8)(1)分別計算當x從0變到1，從2變到3時，原油溫度y關于時間x的平均變化率，比較它們的大小，并解釋它們的實際意義；(2)計算第2 h和第6 h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義思路點撥(1)平均變化率即為.(2)可利用導數公式求出y，再分別求當x2,6時的導數值精解詳析(1)由題意得f(0)15，f(1)9，當x從0變到1時，原油溫度平均變化率為6(/h)，表示從0到1這一小時內，原油溫度平均每小時降低6.又f(2)5，f(3)3，當x從2變到3時，原油溫度平均變化率為2(/h)，表示從2到3這一小時內，原油溫度平均每小時降低2.6<2，說明原油溫度在開始的1小時比以后1小時的溫度下降的多(2)y2x7，當x2時，y3，當x6時，y5.在第2 h與第6 h時，原油溫度的瞬時變化率分別為3與5.這說明x2 h時原油溫度大約以3/h的速率下降；x6 h時，原油溫度大約以5/h的速率上升一點通利用導數解決物理問題，關鍵是要熟悉相關的物理概念、公式，并聯系導數的物理意義求解1某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數WW(t)，則W(t0)表示()Att0時做的功Btt0時的速度Ctt0時的位移 Dtt0時的功率答案：D2在F1賽車中，賽車位移與比賽時間t存在函數關系s10t5t2(s的單位為m，t的單位為s)求：(1)t20，t0.1時的s與；(2)求t20時的瞬時速度解：(1)ss(20.1)s(20)(1020.1520.12)(10205202)21.05，210.5(m/s)(2)s1010t，當t20時，s101020210(m/s)，即t20時的瞬時速度為210 m/s.工作效率問題例2一名工人上班后開始連續(xù)工作，生產的產品數量y(單位：g)是工作時間x(單位：h)的函數，設這個函數表示為yf(x)4.(1)求x從1 h變到4 h時，y關于時間x的平均變化率，并解釋它的實際意義；(2)求f(1)，f(4)，解釋它的意義思路點撥利用平均變化率的計算公式求解，然后結合實際問題正確解釋其意義精解詳析(1)當x從1 h變到4 h時，產量y從f(1) (g)變到f(4) (g)，此時平均變化率為(g/h)，它表示從1 h到4 h這段時間這個人平均每小時生產 g產品(2)f(x)，于是f(1) (g/h)，f(4) (g/h)，f(1)和f(4)分別表示在第1小時和第4小時這個人每小時生產產品 g和 g.一點通工作效率即產量對時間t的導數解決該類問題時要正確表示出工作時間與產品數量之間的函數關系式，然后利用相應的求導公式及法則解決3某考生在參加2011年高考數學科考試時，其解答完的題目數量y(單位：道)與所用時間x(單位：分鐘)近似地滿足函數關系y2.(1)求x從0分鐘變化到36分鐘時，y關于x的平均變化率；(2)求f(64)，f(100)，并解釋它的實際意義解：(1)x從0分鐘變化到36分鐘，y關于x的平均變化率為：.它表示該考生前36分鐘平均每分鐘解答完道題(2)f(x)，f(64)，f(100).它們分別表示該考生在第64分鐘和第100分鐘時每分鐘可解答和道題4東方機械廠生產一種木材旋切機械，已知生產總利潤c元與生產量x臺之間的關系式為c(x)2x27 000x600.(1)求產量為1 000臺的總利潤與平均利潤；(2)求產量由1 000臺提高到1 500臺時，總利潤的平均改變量；(3)求c(1 000)與c(1 500)，并說明它們的實際意義解：(1)產量為1 000臺時的總利潤為c(1 000)21 00027 0001 0006005 000 600(元)，平均利潤為5000.6(元)(2)當產量由1 000臺提高到1 500臺時，總利潤的平均改變量為2 000(元)(3)c(x)(2x27 000x600)4x7 000，c(1 000)41 0007 0003 000(元)，c(1 500)41 5007 0001 000(元)，它指的是當產量為1 000臺時，每多生產一臺機械可多獲利3 000元而當產量為1 500臺時，每多生產一臺機械可多獲利1 000元.導數在日常生活中的應用例3某機械廠生產某種機器配件的最大生產能力為每日100件，假設日產品的總成本C(元)與日產量x(件)的函數關系為C(x)x260x2 050.(1)當日產量由10件提高到20件時，求總成本的平均改變量，并說明其實際意義；(2)求當日產量為75件時的邊際成本，并說明其實際意義思路點撥(1)利用函數平均變化率計算，然后結合實際問題解釋(2)用瞬時變化率的意義解釋精解詳析(1)當x從10件提高到20件時，總成本C從C(10)2 675(元)變到C(20)3 350(元)，此時總成本的平均改變量為67.5(元/件)，其表示產量從x10件提高到x20件時，平均每件產品的總成本的改變量(2)C(x)x60，C(75)756097.5(元/件)，它指的是當產量為75件時，每多生產一件產品，需增加成本97.5元一點通生產成本y關于產量x的函數yf(x)中，f(x0)指的是當產量為x0時，生產成本的增加速度，也就是產量為x0時，每增加一個單位的產量，需增加f(x0)個單位的成本5建造一幢長度為x m的橋梁需成本y萬元，函數關系為yf(x)(x2x3)(x>0)(1)當x從100變到200時，平均每米的成本為_；(2)f(100)_，其實際意義為_解析：(1)f(100)1 010.3，f(200)4 020.3，30.1(萬元/m)即平均變化率為30.1萬元/m.(2)f(x)(2x1)，f(100)20.1(萬元/m)，即當長度為100 m時，每增加1 m的長度，成本就增加20.1萬元答案：(1)30.1萬元(2)20.1萬元/m當長度為100 m時， 每增加1 m的長度成本就增加20.1萬元6日常生活中的飲用水通常是經過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用(單位：元)為c(x)(80<x<100)(1)求c(x)；(2)求c(90)，c(98)，并解釋它們的實際意義解：(1)c(x).(2)c(90)52.84(元/噸)，c(98)1 321(元/噸)因為函數的導數是凈化費用的瞬時變化率，所以純凈度為90%時，純凈度每提高1個百分點，每噸水的費用就要增加52.84元純凈度為98%時，純凈度每提高1個百分點，每噸水的費用就要提高1 321元1解決實際問題一般按下列思路：2解決實際問題的一般步驟：(1)審題：閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結論，找出問題的主要關系；(2)建模：將文字語言轉化成數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)解模：把數學問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數學方法求解；(4)對結果進行驗證評估，定性、定量分析，作出正確的判斷，確定其答案 1圓的面積S是半徑r的函數S(r)r2，那么在r3時，面積的變化率是()A6B9C9 D6解析：面積S在r3時的變化率即為S(3)236.答案：D2速度v關于時間t的函數關系式為vf(t)t210t，則t1時的加速度為()A9 B8C9 D8解析：f(t)2t10，f(1)21108，即為t1時的加速度答案：B3某汽車的緊急剎車裝置在遇到特別情況時需在2 s內完成剎車，其位移(單位：m)關于時間(單位：s)的函數為s(t)t34t220t15，則s(1)的實際意義為()A汽車剎車后1 s內的位移B汽車剎車后1 s內的平均速度C汽車剎車后1 s時的瞬時速度D汽車剎車后1 s時的位移解析：由導數的實際意義知，位移關于時間的瞬時變化率為該時刻的瞬時速度答案：C4從時刻t0開始的t s內，通過某導體的電量(單位：C)可由公式q2t23t表示，則第5 s時電流強度為()A27 C/s B20 C/sC25 C/s D23 C/s解析：某種導體的電量q在5 s時的瞬時變化率就是第5 s時的電流強度q4t3，當t5時，電流強度為45323(C/s)答案：D5某物體的位移是時間的函數s2t3at，物體在t1時的速度為8，則a的值為_解析：s6t2a，由題意得612a8，a2.答案：26某商品價格P(單位：元)與時間t(單位：年)有函數關系式P(t)(110%)t，那么在第8個年頭此商品價格的變化速度是_解析：P(t)1.1tln 1.1，P(8)1.18ln 1.1(元/年)答案：1.18ln 1.1元/年7在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(時間：s)間的關系式為h(t)4t27t16.(1)求t從2 s到3 s時，高度關于時間t的平均變化率；(2)求h(2)，h(3)，并解釋它們的實際意義解：(1)h(2)14，h(3)1，t從2 s到3 s時，h關于t的平均變化率為13(m/s)(2)h(t)8t7，h(2)9 m/s，h(3)17 m/s.h(2)和h(3)分別表示t2 s和t3 s時，運動員每秒向下運動的高度為9 m和17 m.8蜥蜴的體溫隨周圍環(huán)境的溫度而變化，T(t)15表示蜥蜴的體溫T(t)(單位：)為太陽落山后的時間t(單位：min)的函數(1)從t0 min到t10 min，蜥蜴的體溫下降了多少？(2)從t0 min到t10 min，蜥蜴的體溫下降的平均變化率是多少？它代表什么實際意義？(3)求T(5)，并解釋它的實際意義解：(1)T(10)T(0)1516()，從t0 min到t10 min，蜥蜴的體溫下降了16.(2)從t0 min到t10 min，蜥蜴體溫的平均變化率是：1.6(/min)，它表示從t0 min到t10 min這段時間內，蜥蜴體溫平均每分鐘下降1.6.(3)T(t)，T(5)1.2(/min)，它表示t5 min時蜥蜴體溫的下降速度為1.2 /min.22最大值、最小值問題 假設函數yf(x)，yg(x)，yh(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像都是一條連續(xù)不斷的曲線(如下圖所示)，觀察圖像問題1：這三個函數在a，b上一定能夠取得最大值、最小值嗎？提示：一定能問題2：yh(x)在開區(qū)間(a，b)內有最值和極值嗎？提示：無最值，也無極值問題3：如何求函數在區(qū)間a，b上的最值？提示：先求出(a，b)內的極值，再求區(qū)間端點值進行比較，最大的就是最大值，最小的就是最小值1函數yf(x)在區(qū)間a，b上的最大(小)值點x0指的是：函數在這個區(qū)間上所有點的函數值都不超過(不小于)f(x0)2最大值和最小值統(tǒng)稱為最值1函數的最大值、最小值是一個整體概念，最大(小)值必須是整個區(qū)間內所有函數值中最大(小)的2如果在a，b上函數yf(x)圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值 求函數的最值例1求下列函數的最值(1)f(x)x32x21，x1,2；(2)f(x)xsin x，x0,2思路點撥先求函數在給定區(qū)間的極值，然后再與端點值比較，即可確定函數的最值精解詳析(1)f(x)3x24x，令f(x)0，得x10，x2.因此x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)02f(x)00f(x)2極大值1極小值1當x0或2時，f(x)取最大值1；當x1時，f(x)取最小值2.(2)f(x)cos x，令f(x)0，且x0,2，x1，x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x02f(x)00f(x)0極大值極小值當x0時，f(x)取最小值0；當x2時，f(x)取最大值.一點通求解函數在閉區(qū)間上的最值，在熟練掌握求解步驟的基礎上，還須注意以下幾點：(1)對函數進行準確求導；(2)研究函數的單調性，正確確定極值和區(qū)間端點的函數值；(3)比較極值與區(qū)間端點函數值的大小1函數yx2cos x在區(qū)間上的最大值為()A.B2C.2 D.解析：令y12sin x0，得x，比較函數在0，處的函數值，得ymax.答案：A2求下列函數的最值(1)f(x)xx3,4；(2)f(x)x33xx， 解：(1)f(x)1，x3,4，f(x)>0，即f(x)在3,4為增函數，當x3時，f(x)取最小值f(3)3；當x4時，f(x)取最大值f(4)45.(2)f(x)3x23，令f(x)0，得x1.而f(1)2，f(1)2，f()0，f()0，x1時，f(x)取最大值f(1)2；x1時，f(x)取最小值f(1)2.與最值有關的恒成立問題例2設f(x)x3x22x5.(1)求函數f(x)的單調遞增、遞減區(qū)間；(2)當x1,2時，f(x)<m恒成立，求實數m的取值范圍思路點撥(1)利用導數易求f(x)的單調區(qū)間，對于(2)可轉化為求f(x)的最大值小于m.精解詳析(1)f(x)3x2x2，令f(x)0，即3x2x20x1或x.所以當x時f(x)>0，f(x)為增加的；當x時，f(x)<0，f(x)為減少的當x(1，)時，f(x)>0，f(x)為增加的所以f(x)的遞增區(qū)間為和(1，)，f(x)的遞減區(qū)間為.(2)當x1,2時，f(x)<m恒成立，只需使f(x)在1,2上的最大值小于m即可由(1)知f(x)極大值f()5，f(x)極小值f(1).又f(1)，f(2)7，所以f(x)在1,2上的最大值為f(2)7.所以m>7，即m的取值范圍為(7，)一點通解決恒成立問題，常用方法是轉化為求函數的最值問題，通過分離參數，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m<f(x)恒成立，只需m<f(x)的最小值即可3設f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調區(qū)間和最小值；(2)求a的取值范圍，使得g(a)g(x) 對任意x0都成立解：(1)由題設知f(x)ln x，g(x)ln x，x0，所以g(x)，令g(x)0得，x1，當x(0,1)時，g(x)0，故(0,1)是g(x)的單調遞減區(qū)間當x(1，)時，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調遞增區(qū)間因此，x1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以g(x)的最小值為g(1)1.(2)由(1)知g(x)的最小值為1，所以g(a)g(x)對任意x0成立g(a)1，即ln a1，從而得0ae.故a的取值范圍為(0，e)4已知函數f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若對所有的x1都有f(x)ax1，求實數a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1ln x，令f(x)>0，解得x>，令f(x)<0，解得0<x<.從而f(x)在(0，)上減少，在(，)上增加，所以當x時，f(x)取得最小值.(2)由題意得f(x)ax1在1，)上恒成立，即不等式aln x對于x1，)恒成立令g(x)ln x，則g(x).當x>1時，g(x)>0，g(x)在1，)上是增加的，所以g(x)的最小值為g(1)1.則a1.故a的取值范圍是(，1.面積、體積(容積)的最值問題例3某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園已知ABBC，OABC，且|AB|BC|4 km，|AO|2 km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段如果要使矩形的兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上，應如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園的用地面積最大？并求出最大的用地面積(精確到0.1 km2)思路點撥建立坐標系，求出OC所在拋物線的方程，用P(在OC上)的坐標表示矩形的面積，再求最大值精解詳析以O為原點，OA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖，依題意可設拋物線的方程為x22py(p>0)，且過點C(2,4)，所以222p4，解得p.故曲線段OC的方程為yx2(0x2)設p(x，x2)(0<x<2)是矩形落在曲線段OC上的一個頂點，則PM2x，PN4x2，工業(yè)園的用地面積SPMPN(2x)(4x2)x32x24x8，則S3x24x4.令S0，得x或x2(舍去)當x時，S>0，S是增加的；當x時，S<0，S是減少的當x時，S取得最大值，此時PM，PN，Smax9.5(km2)故把工業(yè)園規(guī)劃成長為 km，寬為 km時，工業(yè)園的用地面積最大，約為9.5 km2.一點通對于面積、容積的最值問題，正確設出變量，準確寫出面積、容積的表達式是解決問題的關鍵利用導數來求函數的最值是解決問題的方法；若在所給區(qū)間a，b上，函數f(x)存在唯一的極值，必為函數的最值5建造一個容積為8立方米，深為2米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價為每平方米100元，池底的造價為每平方米300元，則總造價的最小值為()A400元 B1 200元C1 600元 D2 800元解析：設總造價為y元，池底的一邊長x米，池底的面積為824(平方米)，池底的另一邊長為米，池壁的面積為4平方米，故有y430041004001 200(x0)y400，令y0得x2，由y 0得x 2，由y0得0x2，即y在(0,2)上是減少的，在(2，)上是增加的，所以當x2時，y取得最小值，且ymin2 800.答案：D6用總長為14.8 m的鋼條制成一個長方形容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積解：設容器底面短邊長為x m，則另一邊長為(x0.5) m，容器的高為14.84x4(x0.5)(3.22x) (m)由x>0,3.22x>0，得0<x<1.6.容器的體積為yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0<x<1.6)y6x24.4x1.6，令y0，得15x211x40.x11，x2(不合題意，舍去)當0<x<1時，y>0，當1<x<1.6時，y<0.當x1時，y取極大值，也是最大值，此時y22.21.61.8，高為3.2211.2.容器的高為1.2 m時容積最大，最大容積為1.8 m3.生活中的最值問題例4如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為200 m2的三級污水處理池，由于地形限制，長、寬都不能超過16 m，如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元(池壁厚度忽略不計，且池無蓋)(1)寫出總造價y(元)與污水處理池長x(m)的函數關系式，并指出其定義域；(2)污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求出最低總造價思路點撥可設長為x m，則寬為 m，然后表示出外周壁造價、中間隔墻造價及池底造價，這三部分的和即為總造價，用導數可求出最小值精解詳析(1)設長為x m，則寬為 m，據題意得解得x16，y40024816 000800x16 000(x16)(2)y8000，解得x18.當x(0,18)時，函數y為減少的；當x(18，)時，函數y為增加的又x16，當x16時，y取最小值45 000.當且僅當長為16 m、寬為12.5 m時，總造價y最低為45 000元一點通費用、用料最省、成本最低、利潤最大等問題是日常生活中常見問題，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象，正確寫出函數表達式，準確求導，把數學結論返回到實際問題中去7某工廠生產的機器銷售收入y1(萬元)是產量x(千臺)的函數：y117x2(x0)，生產總成本y2(萬元)也是產量x(千臺)的函數：y22x3x2(x0)，為使利潤y(萬元)最大，應生產()A6千臺 B7千臺C8千臺 D9千臺解析：利潤yy1y218x22x3(x0)，y6x236x，令y0得x6；由y0得0x6，y單調遞增；由y0得x6，y單調遞減所以當x6時，y取得最大值答案：A8某工廠生產某種水杯，每個水杯的原材料費、加工費分別為30元、m元(m為常數，且2m3)，設每個水杯的出廠價為x元(35x41)，根據市場調查，水杯的日銷售量與ex(e為自然對數的底數)成反比例，已知每個水杯的出廠價為40元時，日銷售量為10個(1)求該工廠的日利潤y(元)與每個水杯的出廠價x(元)的函數關系式；(2)當每個水杯的出廠價為多少元時，該工廠的日利潤最大，并求日利潤的最大值解：(1)設日銷售量為s，則s，因為x40時，s10，故10，則k10e40，所以s，故y(x30m)(35x41)(2)y10e4010e40.令y10e400，則x31m.當2m3時，y0，所以y在35x41上為減函數，所以x35時，日利潤取得最大值，且最大值為10e5(5m)元用導數解決應用問題求最值的方法步驟： 1函數f(x)在x2,4上的最小值為()A0B.C. D.解析：f(x)，f(x).當x2,4時，f(x)0，即函數f(x)在2,4上是減少的，故當x4時，函數f(x)的最小值為.答案：C2函數f(x)x3x2xa在區(qū)間0,2上的最大值是3，則a的值為()A2 B1C2 D1解析：由題意f(x)3x22x1，令f(x)0，得x1或x(舍去)又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，所以f(x)的最大值為a23，故a1.答案：B3已知函數f(x)axln x，若f(x)>1在區(qū)間(1，)內恒成立，則實數a的取值范圍是()A(，1) B(，1C(1，) D1，)解析：f(x)axln x，f(x)>1在(1，)內恒成立，a>在(1，)內恒成立設g(x)，x(1，)時，g(x)<0，即g(x)在(1，)上是減少的，g(x)<g(1)1，a1，即a的取值范圍是1，)答案：D4.如圖，將直徑為d的圓木鋸成長方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強度系數為k，k0)要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬x應為()A. B.C.d D.d解析：設斷面高為h，則h2d2x2.設橫梁的強度函數為f(x)，則f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去負值)當0xd時，f(x)0，f(x)是增加的；當dxd時，f(x)0，f(x)是減少的所以函數f(x)在定義域(0，d)內只有一個極大值點xd.所以xd時，f(x)有最大值答案：C5已知函數f(x)x312x8在區(qū)間3,3上的最大值與最小值分別為M，m，則Mm_.解析：令f(x)3x2120，解得x2.計算f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，故Mm32.答案：326.如圖，已知一罐圓柱形紅牛飲料的容積為250 mL，則它的底面半徑等于_時(用含有的式子表示)，可使所用的材料最省解析：設圓柱的高為h，表面積為S，容積為V，底面半徑為r，則表面積S2rh2r2，而V250r2h，得h，則S2r2r22r2，S4r，令S0得r，因為S只有一個極值，所以當r時，S取得最小值，即此時所用的材料最省答案：7函數f(x)x3fx2x.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)求f(cos x)的最小值和最大值解：(1)f(x)3x22fx1，則f322f1，得f1，故f(x)x3x2x.令f(x)3x22x10，解得x或x1.故f(x)的單調遞增區(qū)間為和(1，)；同理可得f(x)的單調遞減區(qū)間為.(2)設cos xt1,1，由(1)知f(x)在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，故f(cos x)maxf；又f(1)f(1)1，故f(cos x)min1.8某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經測算，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關于x的函數關系式；(2)當m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？解：(1)設需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.當0x64時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(0,64)內為減少的；當64x640時，f(x)0，f(x)在區(qū)間(64,640)內為增加的所以f(x)在x64處取得最小值此時n119.故需新建9個橋墩才能使y最小對應學生用書P58一、導數與函數的單調性利用導數求函數單調區(qū)間的步驟：(1)求導數f(x)；(2)解不等式f(x)>0或f(x)<0；(3)寫出單調增區(qū)間或減區(qū)間特別注意寫單調區(qū)間時，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對不能用“”連接二、導數與函數的極值利用導數求函數極值的步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗f(x)0的根的兩側的f(x)的符號，若左正右負，則f(x)在此根處取極大值；若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值否則此根不是f(x)的極值點三、求函數f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)，f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值特別地，當f(x)在a，b上單調時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；當f(x)在(a，b)內只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以判斷f(x)在該點處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(，)四、導數的實際應用利用導數求實際問題的最大(小)值時，應注意的問題：(1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的值應舍去(2)在實際問題中，由f(x)0常常僅解到一個根，若能判斷函數的最大(小)值在x的變化區(qū)間內部得到，則這個根處的函數值就是所求的最大(小)值(時間90分鐘，滿分120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1函數f(x)2xcos x在(，)上()A無最值B有極值C有最大值 D有最小值解析：f(x)2xcos x，f(x)2sin x0恒成立故f(x)2xcos x在(，)上是增加的，既沒有最大值也沒有最小值答案：A2函數f(x)2x2ln x的遞增區(qū)間是()A. B.C. D.和解析：f(x)4x(x>0)，令f(x)>0，得x>.f(x)的單調遞增區(qū)間為.答案：C3已知對任意實數x，有f(x)f(x)，且x0時，f(x)0，則x0時()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 D無法確定解析：因為f(x)f(x)，所以f(x)為偶函數又x0時，f(x)0，故f(x)在x0時為增加的，由偶函數在對稱區(qū)間上單調性相反，可知當x0時，f(x)為減少的答案：B4設函數f(x)ax3bx2cxd(a0)，則f(x)在R上為增加的充要條件是()Ab24ac0 Bb0，c0Cb0，c0 Db23ac0解析：要使f(x)在R上為增加的，則f(x)3ax22bxc0在R上恒成立(但f(x)不恒等于零)，故只需4b212ac0，即b23ac0.答案：D5若函數f(x)在(0，)上可導，且滿足f(x)xf(x)，則一定有()A函數F(x)在(0，)上為增加的B函數F(x)在(0，)上為減少的C函數G(x)xf(x)在(0，)上為增加的D函數G(x)xf(x)在(0，)上為減少的解析：設yxf(x)，則yxf(x)f(x)0，故yxf(x)在(0，)上為增加的答案：C6函數y2x33x212x5在0,3上的最大值與最小值分別是()A5，15 B5,4C4，15 D5，16解析：y6x26x12，令y0，得x1,2，又f(2)15，f(0)5，f(3)4，最大值、最小值分別是5，15.答案：A7函數f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3處取得極值，則a()A2 B3C4 D5解析：f(x)3x22ax3，又f(x)在x3處取得極值，f(3)306a0.得a5.答案：D8把長為12 cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形的面積之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析：設一個三角形的邊長為x cm，則另一個三角形的邊長為(4x) cm，兩個三角形的面積和為Sx2(4x)2x22x4(0<x<4)令Sx20，則x2，且x<2時，S<0,2<x<4時，S>0.所以x2時，S取最小值2.答案：D9設函數f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1為函數f(x)ex的一個極值點，則下列圖像不可能為yf(x)的圖像的是()解析：f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，又x1為函數f(x)ex的一個極值點，f(1)f(1)0，而選項D中f(1)>0，f(1)>0，故D中圖像不可能為yf(x)的圖像答案：D10某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q8 300170pp2，則最大毛利潤(毛利潤銷售收入進貨支出)為()A30元 B60元C28 000元 D23 000元解析：設毛利潤為L(p)，由題意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此時，L(30)23 000.因為在p30附近的左側L(p)>0，右側L(p)<0，所以L(30)是最大值，即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23 000元答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確的答案填在題中的橫線上)11已知函數f(x)x3ax2x1有極大值和極小值，則a的取值范圍是_解析：令f(x)3x22ax0，此方程應有兩個不相等的實數根，所以>0.即4a212>0，a23a2>0，a>2或a<1.答案：(，1)(2，)12若函數f(x)ax22xln x(a0)在區(qū)間1,2上是增加的，則實數a的最小值為_解析：易知x0，且f(x)ax2，函數f(x)在區(qū)間1,2上是增加的，f(x)0對x1,2恒成立，即不等式ax22x10對x1,2恒成立，即a21恒成立，故amax，而當x2時，21取到最大值，實數a的取值范圍為a，即實數a的最小值為.答案：13某廠生產產品x件的總成本c(x)1 200x3(萬元)，已知產品單價P(萬元)與產品件數x滿足：P，則產量定為_件時，總利潤最大解析：總利潤L(x)x1 2005001 200(x 0)由L(x)x20得x25；令L(x)0得0x25；令L(x)0得x25.故L(x)在(0,25)上是增加的，在(25，)上是減少的，所以當產量定為25件時，總利潤最大答案：2514已知函數f(x)2ln x(a0)若當x(0，)時，f(x)2恒成立，則實數a的取值范圍是_解析：f(x)2，即a2x22x2ln x，令g(x)2x22x2ln x，則g(x)2x(12ln x)由g(x)0，得xe，0(舍去)，且0xe時，g(x)0，當xe時，g(x)0，xe時，g(x)取最大值g(e)e，ae.答案：e，)三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)設函數f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x21，求實數a的值；(2)是否存在實數a，使得f(x)是(，)上的單調函數？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解：f(x)18x26(a2)x2a.(1)由已知有f(x1)f(x2)0，從而x1x21，所以a9.(2)因為36(a2)24182a36(a24)>0，所以不存在實數a，使得f(x)是(，)上的單調函數16(本小題滿分12分)已知f(x)ax3bx22xc在x2時有極大值6，在x1時有極小值，求a，b，c的值；并求f(x)在區(qū)間3,3上的最大值和最小值解：(1)f(x)3ax22bx2，由條件知解得a，b，c.(2)f(x)x3x22x，f(x)x2x2(x1)(x2)列表如下：x3(3，2)2(2,1)1(1,3)3f(x)00f(x)6由上表知，在區(qū)間3,3上，當x3時，f(x)取最大值，x1時，f(x)取最小值.17(本小題滿分12分)已知函數f(x)x33ax23x1.(1)當a時，討論f(x)的單調性；(2)若x2，)時，f(x)0，求a的取值范圍解：(1)當a時，f(x)x33x23x1.f(x)3x26x3.令f(x)0，得x11，x21.當x( ， 1)時，f(x)0，f(x)在(，1)上是增加的；當x(1，1)時，f(x)0，f(x)在(1，1)上是減少的；當x(1，)時，f(x)0，f(x)在(1，)上是增加的(2)要使x2，)時，f(x)0恒成立，只需x2，)時，f(x)min0即可由于f(x)3(x22ax1)3(xa)21a2，當a21時，f(x)0且不恒為零，所以f(x)在2，)上的最小值為f(2)；當a21時，由f(x)0可得xa，記x1a，x2a.結合二次函數的性質易知，當x(，x1)(x2，)時，f(x)0，當x(x1，x2)時，f(x)0.所以f(x)在(，x1)和(x2，)上是增加的，在(x1，x2)上是減少的而由x1x20知x22，即f(x)在2，)上是增加的，故此時也有f(x)minf(2)綜上可知，f(x)在2，)上的最小值為f(2)3(4a5)，由f(2)0，得a，故a的取值范圍為.18(本小題滿分12分)已知函數f(x)x2aln x，aR.(1)若a2，求這個函數的圖像在點(1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間1，e上的最小值解：(1)a2時，f(x)x22ln x，f(1)，f(x)x，f(1)1，所以切線方程為y(x1)，即2x2y30.(2)依題意，x0，f(x)x(x2a)，當a1時，因為x1，e，1x2e2，所以f(x)0(當且僅當xa1時等號成立)，所以f(x)在區(qū)間1，e上是增加的，最小值為f(1).當ae2時，因為1x2e2，所以f(x)0(當且僅當xe，ae2時等號成立)，所以f(x)在區(qū)間1，e上是減少的，最小值為f(e)e2a.當1ae2時，解f(x)(x2a)0得x(負值舍去)，f(x)的符號和f(x)的單調性如下表：x1，)(，ef(x)0f(x)最小值故f(x)在區(qū)間1，e上的最小值為f()aa ln a.綜上所述，a1時，f(x)的最小值為f(1)；1ae2時，f(x)的最小值為f()aaln a；ae2時，f(x)的最小值為f(e)e2a.