專題46 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【熱點聚焦與擴展】高考對圓的方程的考查，一般是以小題的形式出現(xiàn)，也有與向量、圓錐曲線等相結(jié)合的問題縱觀近幾年的高考試題，主要考查以下幾個方面：一是考查圓的方程，要求利用待定系數(shù)法求出圓的方程，并結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題；二是考查直線與圓的位置關(guān)系，高考要求能熟練地解決圓的切線問題，弦長問題是高考熱點，其中利用由圓心距、半徑與半弦長構(gòu)成的直角三角形，是求弦長問題的關(guān)鍵三是判斷圓與圓的位置關(guān)系，確定公共弦所在的直線方程.近幾年多與圓錐曲線問題綜合考查.本專題通過例題說明關(guān)于直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系問題的解法與技巧.1、定義：在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：3、圓的一般方程：圓方程為（1）的系數(shù)相同（2）方程中無項（3）對于的取值要求：4、直線與圓位置關(guān)系的判定：相切，相交，相離，位置關(guān)系的判定有兩種方式：（1）幾何性質(zhì)：通過判斷圓心到直線距離與半徑的大小得到直線與圓位置關(guān)系，設(shè)圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則： 當(dāng)時，直線與圓相交 當(dāng)時，直線與圓相切 當(dāng)時，直線與圓相離（2）代數(shù)性質(zhì)：可通過判斷直線與圓的交點個數(shù)得到直線與圓位置關(guān)系，即聯(lián)立直線與圓的方程，再判斷解的個數(shù).設(shè)直線：，圓：，則：消去可得關(guān)于的一元二次方程，考慮其判別式的符號 ，方程組有兩組解，所以直線與圓相交 ，方程組有一組解，所以直線與圓相切 ，方程組無解，所以直線與圓相離 5、直線與圓相交：弦長計算公式：6、直線與圓相切：（1）如何求得切線方程：主要依據(jù)兩條性質(zhì)：一是切點與圓心的連線與切線垂直；二是圓心到切線的距離等于半徑（2）圓上點的切線結(jié)論： 圓上點處的切線方程為 圓上點處的切線方程為（3）過圓外一點的切線方程（兩條切線）：可采取上例方法二的做法，先設(shè)出直線方程，再利用圓心到切線距離等于半徑求得斜率，從而得到方程.（要注意判斷斜率不存在的直線是否為切線）7、與圓相關(guān)的最值問題（1）已知圓及圓外一定點，設(shè)圓的半徑為則圓上點到點距離的最小值為，最大值為（即連結(jié)并延長，為與圓的交點，為延長線與圓的交點.（2）已知圓及圓內(nèi)一定點，則過點的所有弦中最長的為直徑，最短的為與該直徑垂直的弦.（3）已知圓和圓外的一條直線，則圓上點到直線距離的最小值為，距離的最大值為（過圓心作的垂線，垂足為，與圓交于，其反向延長線交圓于 （4）已知圓和圓外的一條直線，則過直線上的點作圓的切線，切線長的最小值為.8、圓與圓的位置關(guān)系：外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含（1）可通過圓心距離與半徑的關(guān)系判定：設(shè)圓的半徑為， 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含（2）可通過聯(lián)立圓的方程組，從而由方程組解的個數(shù)判定兩圓位置關(guān)系.但只能判斷交點的個數(shù).例如方程組的解只有一組時，只能說明兩圓有一個公共點，但是外切還是內(nèi)切無法直接判定【經(jīng)典例題】例1.【2016高考山東】已知圓M：截直線所得線段的長度是，則圓M與圓N：的位置關(guān)系是（ ）（A）內(nèi)切（B）相交（C）外切（D）相離【答案】B【解析】試題分析：由（）得（），所以圓的圓心為，半徑為，因為圓截直線所得線段的長度是，所以，解得，圓的圓心為，半徑為，所以，因為，所以圓與圓相交，故選B例2.【2018屆湖北省華師一附中調(diào)研】已知圓C： （）及直線： ，當(dāng)直線被C截得的弦長為時，則= （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意，得，解得，又因為，所以；故選C.例3.【2018屆黑龍江省海林市朝鮮中學(xué)高考綜合卷（一）】已知兩點， （），若曲線上存在點，使得，則正實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B例4.已知直線上總存在點，使得過點作的圓： 的兩條切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. 或 B. C. D. 或【答案】C【解析】如圖，設(shè)切點分別為A，B連接AC，BC，MC，由及知，四邊形MACB為正方形，故若直線l上總存在點M使得過點M的兩條切線互相垂直，只需圓心到直線的距離，即，故選C例5.過點作圓的弦，其中最短的弦長為 .【答案】.點睛：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是解析幾何的重要特征，解題過程中要通過分析題目的條件和結(jié)論，靈活的加以轉(zhuǎn)化.例6【2016高考新課標(biāo)3】已知直線：與圓交于兩點，過分別做的垂線與軸交于兩點，若，則_.【答案】4【解析】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識知在梯形中，例7已知圓，圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長 【答案】,.【解析】將兩圓方程相減得相交弦的方程為：.將配方得： ，圓心到公共弦的距離為.所以弦長為.例8. 求過點的圓的切線方程【答案】，.點睛：求過某點的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系，再求直線方程若點在圓上(即為切點)，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應(yīng)注意斜率不存在的切線例9. 已知點及圓：.若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；設(shè)過點P的直線與圓交于、兩點，當(dāng)時，求以線段為直徑的圓的方程；設(shè)直線與圓交于，兩點，是否存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】或；不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦.【解析】設(shè)直線的斜率為（存在），則方程為. 即又圓C的圓心為，半徑，由 ， 解得.所以直線方程為， 即 . 當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，經(jīng)驗證也滿足條件 由于，而弦心距， 所以.即，解得則實數(shù)的取值范圍是.設(shè)符合條件的實數(shù)存在，由于垂直平分弦，故圓心必在上所以的斜率，而，所以由于，故不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦例10. 已知半徑為2，圓心在直線上的圓C.（）當(dāng)圓C經(jīng)過點A（2,2）且與軸相切時，求圓C的方程；（）已知E(1，1),F(1，-3),若圓C上存在點Q，使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）因為原心在直線上故可設(shè)原心為，則可根據(jù)圓心和圓上的點的距離為半徑列出方程。又因為此圓與軸相切則，解方程組可得。（）設(shè)，根據(jù)可得，即點在直線上。又因為點在圓上，所以直線與圓必有交點。所以圓心到直線的距離小于等于半徑。試題解析：解: （）圓心在直線上，可設(shè)圓的方程為， 其圓心坐標(biāo)為（； 2分圓經(jīng)過點A（2,2）且與軸相切，有解得，所以圓的橫坐標(biāo)的取值范圍是【精選精練】1.已知條件：，條件：直線與圓相切，則是的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分又不必要條件【答案】C【解析】由，可得直線為.所以圓心（0,0）到該直線的距離等于半徑，所以直線與圓相切.所充分性成立.當(dāng)直線與圓相切，可解得.所以必要性成立.綜上是的充要條件.2.已知圓與直線有兩個交點，則正實數(shù)的值可以為（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即，由題意，圓心到直線的距離，結(jié)合選項，可得D正確，故選D.3.已知圓，當(dāng)圓的面積最小時，直線與圓相切，則（ ）A B C D【答案】C【解析】4.若直線與圓相切，且為銳角，則這條直線的斜率是( )A B C D【答案】A【解析】由題意：，所以，因為且為銳角，所以，所以直線的斜率是，故選A5.已知圓與直線相切于第三象限，則的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知有圓心 到直線的距離為1,所以有 ,當(dāng) 時,圓心為 在第一象限,這時切點在第一象限,不符合;當(dāng)時, 圓心為 在第三象限,這時切點也在第三象限,符合,所以.選B.6.【2018屆安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校聯(lián)考】設(shè)直線與圓交于兩點，過分別作軸的垂線與軸交于兩點.若線段的長度為，則（ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】D7.已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的最大值為（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，點P在以原點（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因為點P在已知圓上，所以只要兩圓有交點即可，所以，故選B.8.已知點， ， 在圓上運動，且.若點的坐標(biāo)為，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由題意知AC是圓的直徑，所以O(shè)是AC中點，故，PO的長為5，所以,顯然當(dāng)B在PO上時， 有最小值，當(dāng)B在PO的延長線上時， 有最大值，故選C9.過定點的直線： 與圓： 相切于點，則_ _【答案】4【解析】直線： 過定點， 的圓心，半徑為：3；定點與圓心的距離為： 過定點的直線： 與圓： 相切于點，則10.【2018屆江蘇省泰州中學(xué)月考】知動圓與直線相切于點，圓被軸所截得的弦長為，則滿足條件的所有圓的半徑之積是_【答案】11. 已知圓關(guān)于直線對稱的圓為.（1）求圓的方程；（2）過點作直線與圓交于兩點， 是坐標(biāo)原點，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形中？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在直線和【解析】試題分析：（1）將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，將圓關(guān)于直線對稱問題轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題，進而求出圓的方程；（2）先由條件判定四邊形為矩形，將問題轉(zhuǎn)化為判定兩直線垂直，利用平面向量是數(shù)量積為0進行求解.解得： ，所以圓的方程為.（2）由，所以四邊形為矩形，所以.要使，必須使，即： .當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線的方程為，與圓交于兩點， .因為，所以，所以當(dāng)直線的斜率不存在時，直線滿足條件.當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為.設(shè)由得： .由于點在圓內(nèi)部，所以恒成立， ，要使，必須使，即，也就是： 整理得： 解得： ，所以直線的方程為存在直線和，它們與圓交兩點，且四邊形對角線相等.12. 已知定點，圓C： ，（1）過點向圓C引切線l，求切線l的方程；（2）過點A作直線 交圓C于P,Q，且，求直線的斜率k； （3）定點M,N在直線 上，對于圓C上任意一點R都滿足，試求M,N兩點的坐標(biāo).【答案】（1）x2或（2）（3）【解析】解：(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意； 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為yk(x2)即kxy2k0.若直線l與圓C相切，則有，解得k，直線l： 故直線l的方程為x2或 （2）設(shè)，由 知點P是AQ的中點，所以點Q的坐標(biāo)為 .又 得 ， 由、得 ，由于關(guān)于 的方程有無數(shù)組解，所以， 解得 所以滿足條件的定點有兩組