專題三 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法析考情明重點小題考情分析大題考情分析常考點1.等差、等比數(shù)列的概念及運算(5年4考) 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(5年4考)高考對數(shù)列的考查在解答題中常以數(shù)列的相關(guān)項以及關(guān)系式，或an與Sn的關(guān)系入手，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義展開考查數(shù)學(xué)歸納法也是高考?？純?nèi)容，題型主要有：(1)等差、等比數(shù)列基本量的運算；(2)數(shù)列求和問題；(3)數(shù)列與不等式的綜合問題；(4)數(shù)學(xué)歸納法常與數(shù)列、不等式等知識綜合考查.偶考點1.數(shù)列的遞推關(guān)系式2.等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題第一講 小題考法數(shù)列的概念及基本運算考點(一)數(shù)列的遞推關(guān)系式主要考查方式有兩種：一是利用an與Sn的關(guān)系求通項an或前n項和Sn；二是利用an與an1的關(guān)系求通項an或前n項和Sn.典例感悟典例(1)(2018臺州調(diào)考)設(shè)數(shù)列an，bn滿足anbn700，an1anbn，nN*，若a6400，則()Aa4>a3Bb4<b3Ca3>b3 Da4<b4(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，an1Sn(nN*)，則通項公式an_.(3)(2018鎮(zhèn)海期中)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，對一切nN*都成立，則a2_，_.解析(1)由消去bn可得an1an280，所以an1400(an400)因為a6400，所以an400(a6400)n60，即an400，故bn300，故選C.(2)由an1Sn，可得anSn1(n2)，得an1anSnSn1an(n2)，即2(n2)，又a2S11，所以12，則數(shù)列an從第二項起是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，所以an(3)當n1時，有，即a2aa1，所以a22.由，得，則數(shù)列是常數(shù)列，故2.答案(1)C(2)an(3)22方法技巧1由遞推關(guān)系式求通項公式的常用方法(1)已知a1且anan1f(n)，可用“累加法”求an，即an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(n2)(2)已知a1且f(n)，可用“累乘法”求an，即ana1(n2)2Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化(1)利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解(2)利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解演練沖關(guān)1(2019屆高三浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an3(nN*)，則S6()A192 B189C96 D93解析：選Ba1S12a13，a13.又n2時，anSnSn1(2an3)(2an13)，即有n2時，an2an1，故數(shù)列an是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則a632596，S62a63189，故選B.2(2018衢州質(zhì)量檢測)在數(shù)列an中，a11，(n22n)(an1an)1(nN*)，則通項公式an_.解析：由(n22n)(an1an)1(nN*)，得an1an，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a111.答案：3(2018杭州七校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a11，an12an2n(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為an_.解析：an12an2n兩邊同除以2n1，可得，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，(n1)，ann2n1.答案：n2n1考點(二)等差、等比數(shù)列的基本運算主要考查與等差(比)數(shù)列的通項公式、前n項和公式有關(guān)的五個基本量間的“知三求二”運算.典例感悟典例(1)(2017浙江高考)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(2)(2018浙江考前沖刺)已知等差數(shù)列an滿足anan12n3，nN*，則a1a2a6a7_，數(shù)列an的前n項和Sn_.(3)(2017江蘇高考)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn.已知S3，S6，則a8_.解析(1)因為an為等差數(shù)列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d>0S4S6>2S5.(2)分別令n1,6，可得a1a2a6a7198.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則2n3anan1a1(n1)da1nd2dn(2a1d)對任意的nN*恒成立，所以解得故Snn(1)1.(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由S62S3，得q1，則解得則a8a1q72732.答案(1)C(2)8(3)32方法技巧等差(比)數(shù)列基本運算的解題思路(1)設(shè)基本量：首項a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運算量演練沖關(guān)1(2018諸暨質(zhì)量檢測)已知數(shù)列an的前n項和是Sn，則下列四個命題中，錯誤的是()A若數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列B若數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列an是公差為2d的等差數(shù)列C若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列D若數(shù)列an的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列，則an是等差數(shù)列解析：選DA項，若等差數(shù)列an的首項為a1，公差為d，前n項的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項為a1(n1)，即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故說法正確；B項，由題意得a1(n1)d，所以Snna1n(n1)d，則anSnSn1a12(n1)d，即數(shù)列an是公差為2d的等差數(shù)列，故說法正確；C項，若等差數(shù)列an的公差為d，則數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項都是公差為2d的等差數(shù)列，故說法正確；D項，若數(shù)列an的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列，則an不一定是等差數(shù)列，例如：1,4,3,6,5,8,7，說法錯誤故選D.2(2017全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則a4_.解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a1a2a1(1q)1，a1a3a1(1q2)3，兩式相除，得，解得q2，a11，所以a4a1q38.答案：83(2019屆高三浙江名校聯(lián)考)已知等比數(shù)列an的公比q>0，前n項和為Sn.若2(a5a3a4)a4，且a2a4a664，則q_，Sn_.解析：2(a5a3a4)a4，2a52a33a42q42q23q32q23q20，得q(舍去)或q2.a2a4a664，a64a44，a1，Sn.答案：2考點(三)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與前n項和有關(guān)的最值問題.典例感悟典例(1)(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中)已知等差數(shù)列an，Sn表示前n項的和，a5a11>0，a6a9<0，則滿足Sn<0的正整數(shù)n的最大值是()A12B13C14 D15(2)(2018杭州二中期中)已知等比數(shù)列an的前n項積為Tn，log2a3log2a72，則T9的值為()A512 B512C1 024 D1 024(3)(2019屆高三溫州十校聯(lián)考)已知數(shù)列an的首項a11，前n項和為Sn，且滿足2an1Sn2，則滿足<<的n的最大值是()A8 B9C10 D11(4)(2018紹興高三3月適應(yīng)性模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，滿足S2S6，2，則a1_，公差d_.解析(1)2a8a5a11>0，a8>0，則S151515a8>0.又a7a8a6a9<0，a7<a8<0，則S131313a7<0.而S14147(a6a9)<0，則滿足Sn<0的正整數(shù)n的最大值是14.(2)a3>0，a7>0，a5a3q2>0.log2a3log2a7log2(a3a7)log2a2，故a52.從而T9(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5a29512，故選B.(3)當n1時，由2a2S12，得a2.由2an1Sn2知，當n2時，有2anSn12，兩式相減得an1an.當n1時上式也成立，所以數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列，故Sn22n.因此原不等式化為<<，化簡得<n<，解得n4,5,6,7,8,9，所以n的最大值為9.(4)由S2S6得S6S2a6a5a4a32(a5a4)0，a5a40，2a17d0，由2得(a5a4)2，d4.a114.答案(1)C(2)B(3)B(4)144方法技巧等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略(1)解題關(guān)鍵：抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解(2)運用函數(shù)性質(zhì)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題演練沖關(guān)1已知等差數(shù)列an中，a11，前10項和等于前5項和，若ama60，則m()A10 B9C8 D2解析：選A記數(shù)列an的前n項和為Sn，由題意S10S5，所以S10S5a6a7a8a9a100，又a6a10a7a92a8，于是a80，又ama60，所以m628，解得m10.2已知數(shù)列an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn.若對任意的nN*，都有bnb8成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(8，7) B8，7)C(8，7 D8，7解析：選A因為an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，所以anna1，因為bn1，又對任意的nN*都有bnb8成立，所以11，即對任意的nN*恒成立，因為數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，所以an是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得8<a<7.3(2018臺州八中段測)等差數(shù)列an中的a1，a4 035是函數(shù)f(x)x34x26x1的極值點，則log2a2 018的值為_解析：f(x)x34x26x1，f(x)x28x6，又a1，a4 035是函數(shù)f(x)x34x26x1的極值點，a1，a4 035是方程x28x60的實根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得a1a4 0358，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2 0184，log2a2 018log242.答案：2考點(四)等差、等比數(shù)列的綜合問題主要考查等差、等比數(shù)列相結(jié)合的基本量的計算、數(shù)列有關(guān)最值問題的求解及與不等式相結(jié)合問題.典例感悟典例(1)(2018浙江六校聯(lián)考)已知數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，滿足a6a2a10，設(shè)等差數(shù)列bn的前n項和為Sn，若b92a7，則S17()A34 B39C51 D68(2)等差數(shù)列an的前n項和為Sn ，已知S100，S1525，則nSn 的最小值為()A47 B48C49 D50(3)(2018浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1a2a3a4ln(a1a2a3)，若a1>1，則()Aa1<a3，a2<a4 Ba1>a3，a2<a4Ca1<a3，a2>a4 Da1>a3，a2>a4解析(1)法一：數(shù)列an是公比q2的等比數(shù)列，由a6a2a10得a1q5a1qa1q9，a1q51，a61，b92a72a6q2124，設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則S1717b1d17(b18d)17b968，故選D.法二：數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)得a6a2a10a，a61，b92a72a624，等差數(shù)列bn的前17項和S1717b968，故選D.(2)由已知得解得那么nSnn2a1d.由于函數(shù)f(x)在x處取得極小值，又6<<7，從而檢驗n6時，6S648，n7時，7S749.所以nSn 的最小值為49.(3)法一：構(gòu)造不等式ln xx1(x>0)，則a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1a2a31，所以a4a1q31.由a1>1，得q<0.若q1，則ln(a1a2a3)a1a2a3a4a1(1q)(1q2)0.又a1a2a3a1(1qq2)a1>1，所以ln(a1a2a3)>0，矛盾因此1<q<0.所以a1a3a1(1q2)>0，a2a4a1q(1q2)<0，所以a1>a3，a2<a4.法二：因為exx1，a1a2a3a4ln(a1a2a3)，所以ea1a2a3a4a1a2a3a1a2a3a41，則a41，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q<0.若q1，則a1a2a3a4a1(1q)(1q2)0，而a1a2a3a1>1，所以ln(a1a2a3)>0，與ln(a1a2a3)a1a2a3a40矛盾，所以1<q<0，所以a1a3a1(1q2)>0，a2a4a1q(1q2)<0，所以a1>a3，a2<a4，故選B.答案(1)D(2)C(3)B方法技巧等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略(1)對于等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運用等差中項、等比中項等性質(zhì)，可使運算簡便(2)數(shù)列的通項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列的有關(guān)最值問題(3)等差、等比數(shù)列與不等式交匯的問題常構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式演練沖關(guān)1已知數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q()A2 B1C1 D2解析：選C依題意，得2a3a1a5,2a36a1a56，即2(a33)(a11)(a55)，所以a11，a33，a55成等差數(shù)列又a11，a33，a55依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，因此有a11a33a55，q1.2設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列，的前n項和分別為Sn，Tn.若a5b5，a6b6，且S7S54(T6T4)，則()A BC D解析：選C設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由a5b5，a6b6，且S7S54(T6T4)，得解得故.3(2019屆高三浙江十校聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，b1是a1與a2的等差中項，b12，a35，b3a41.若當nm(mN*)時，Snbn恒成立，則m的最小值為_解析：由題意設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，q>1，則a1a22a1d2b14，又a3a12d5，所以a11，d2，an12(n1)2n1，所以b3a418，Snn2n2.因為數(shù)列bn是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以q24，q2，bn2n.因為當nm(mN*)時，Snbn恒成立，所以當nm(mN*)時，n22n恒成立，數(shù)形結(jié)合可知m的最小值為4.答案：4 (一) 主干知識要記牢1等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n項和公式Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12判斷等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列(2)通項公式法：anpnq(p，q為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列(3)中項公式法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(4)前n項和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列3判斷等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：q(q是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(2)通項公式法：ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(3)中項公式法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比數(shù)列(二) 二級結(jié)論要用好1等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman.(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd.(3)連續(xù)k項的和(如Sk，S2kSk，S3kS2k，)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列(4)若等差數(shù)列an的項數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(5)若等差數(shù)列an的項數(shù)為奇數(shù)2m1，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.針對練1一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為3227，則該數(shù)列的公差d_.解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：52等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)ana1qn1amqnm；pqmnapaqaman.(2)an，bn成等比數(shù)列anbn成等比數(shù)列(3)連續(xù)m項的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項的和必須非零才能成立)(4)若等比數(shù)列有2n項，公比為q，奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則q.(5)對于等比數(shù)列前n項和Sn，有：SmnSmqmSn；(q1)(三) 易錯易混要明了已知數(shù)列的前n項和求an，易忽視n1的情形，直接用SnSn1表示事實上，當n1時，a1S1；當n2時，anSnSn1.針對練2已知數(shù)列an的前n項和Snn21，則該數(shù)列的通項公式為_解析：當n1時，a1S12.當n2時，anSnSn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1，又當n1時，21112.an答案：an A組107提速練一、選擇題1設(shè)等比數(shù)列an的公比q2，前n項和為Sn，則()A2B4C D解析：選Cq2，S415a1，.故選C.2(2017全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為()A1 B2C4 D8解析：選C設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得即解得d4.3設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S1a2，S2a3，則公比q()A1 B4C4或0 D8解析：選BS1a2，S2a3，解得或，故所求的公比q4.故選B.4(2019屆高三湖州五校聯(lián)考)若an是公差為d(d0)的等差數(shù)列，Sn是其前n項和，則下列結(jié)論中正確的是()A若a1a2>0，則a1a3>0B若a1a4>0，則a1a4>a2a3C若d>0且a1>0，則>D若S3S7>2S5，則d>0解析：選D由a1a22a1d>0，得d>2a1，由a1a32a12d>0，得d>a1，顯然不符，A錯；a1a4a3a1d，a2a3a3a1d2d2，因為d0，所以a1a4<a2a3，B錯；由a1，2a13d，a1，得，C錯；S33a13d，S55a110d，S77a121d，由S3S710a124d>2S510a120d，解得d>0，D正確5(2018金華統(tǒng)考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足S7S11，且a1>0，則Sn中最大的是()AS7 BS8CS9 DS10解析：選C法一：設(shè)數(shù)列an的公差為d，根據(jù)S7S11可得7a1d11a1d，即da1，則Snna1dna1(n9)2a1，由a1>0可知<0，故當n9時，Sn最大法二：根據(jù)S7S11可得a8a9a10a110，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a8a11a9a100，由a1>0可知a9>0，a10<0，所以數(shù)列an的前9項和最大6(2019屆高三浙江名校聯(lián)考信息卷)已知數(shù)列an是正項數(shù)列，則“an為等比數(shù)列”是“aa2a”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A若an為等比數(shù)列，則有anan2a，所以aa22a，當且僅當anan2時取等號，所以充分性成立；當aa2a時，取ann，則aa2an2(n2)22(n1)22n24n42n24n22>0，所以aa2a成立，但an是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，所以必要性不成立所以“an為等比數(shù)列”是“aa2a”的充分不必要條件故選A.7若等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為()A10 B11C12 D13解析：選C由S6>S7>S5，得S7S6a7<S6，S7S5a6a7>S5，所以a7<0，a6a7>0，所以S1313a7<0，S126(a6a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為12，故選C.8(2018浙江考前熱身聯(lián)考)我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷(u)長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)二十四個節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復(fù)始若冬至晷長一丈三尺五寸夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個節(jié)氣(小暑)晷長是()A五寸 B二尺五寸C三尺五寸 D四尺五寸解析：選B設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列an，公差為d，a115，a13135，則1512d135，解得d10.a2151025，小暑的晷長是25寸故選B.9已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，且對任意nN*都有<t，則實數(shù)t的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選D依題意得，當n2時，an2n2(n1)222n1，又a1212211，因此an22n1，n1，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和等于<，因此實數(shù)t的取值范圍是.10若數(shù)列an滿足a11，且對于任意的nN*都有an1ann1，則等于()A. B.C. D.解析：選C由an1ann1，得an1ann1，則a2a111，a3a221，a4a331，anan1(n1)1，以上等式相加，得ana1123(n1)n1，把a11代入上式得，an123(n1)n，2，則22.二、填空題11(2018杭州高三質(zhì)檢)設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S480，S28，則公比q_，a5_.解析：由題意得解得或(舍去)，從而a5a1q4234162.答案：316212已知數(shù)列an滿足an1若a1，則a2 018_.解析：因為a1，根據(jù)題意得a2，a3，a4，a5，所以數(shù)列an以4為周期，又2 01850442，所以a2 018a2.答案：13(2018寧波調(diào)研)已知an，bn是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，且Ananbn，Bnanbn.若A11，A23，則An_；若Bn為等差數(shù)列，則d1d2_.解析：an，bn是公差分別為d1，d2的等差數(shù)列，且Ananbn，數(shù)列An是等差數(shù)列，又A11，A23，數(shù)列an的公差dA2A12.則An12(n1)2n1；Bnanbn，且Bn為等差數(shù)列，Bn1Bnan1bn1anbn(and1)(bnd2)anbnand2bnd1d1d2a1(n1)d1d2b1(n1)d2d1d1d2a1d2b1d1d1d22d1d2n為常數(shù)d1d20.答案：2n1014已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a310，S450，則公差d_，若Sn取到最大值，則n_.解析：由已知條件可得S4a32da3da3a3d4a32d50，又a310，所以d5.法一：可得a45，a50，a65，故當n4或5時，Sn取到最大值法二：可知a120，an5n25，Sn，根據(jù)二次函數(shù)的知識可得，當n4或5時，Sn取到最大值答案：54或515設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_解析：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n.記t(n27n)2，結(jié)合nN*可知n3或4時，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.答案：6416已知等差數(shù)列an滿足a31，a4a1212，則數(shù)列an的通項公式an_；若數(shù)列的前n項和為Sn，則使Sn>的最大正整數(shù)n為_解析：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知可得解得故數(shù)列an的通項公式為an2n.Sna1，.得a111，所以Sn，由Sn>，得0<n5，故最大正整數(shù)n為5.答案：2n517(2018南昌調(diào)研)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若a13且當n2時，2anSnSn1(nN*)，則數(shù)列an的通項公式an_.解析：當n2時，由2anSnSn1可得2(SnSn1)SnSn1，即，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，(n1)，Sn.當n2時，anSnSn1，又a13，an答案：B組能力小題保分練1(2016浙江高考)如圖，點列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*.(PQ表示點P與Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn1的面積，則()ASn是等差數(shù)列BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列Dd是等差數(shù)列解析：選A由題意，過點A1，A2，A3，An，An1，分別作直線B1Bn1的垂線，高分別記為h1，h2，h3，hn，hn1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得h1，h2，h3，hn，hn1，成等差數(shù)列，又Sn|BnBn1|hn，|BnBn1|為定值，所以Sn是等差數(shù)列故選A.2(2017全國卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A440 B330C220 D110解析：選A設(shè)第一項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推，則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為.由題意可知，N>100，令>100，得n14，nN*，即N出現(xiàn)在第13組之后易得第n組的所有項的和為2n1，前n組的所有項的和為n2n1n2.設(shè)滿足條件的N在第k1(kN*，k13)組，且第N項為第k1組的第t(tN*)個數(shù)，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則第k1組的前t項的和2t1應(yīng)與2k互為相反數(shù)，即2t1k2，2tk3，tlog2(k3)，當t4，k13時，N495<100，不滿足題意；當t5，k29時，N5440；當t>5時，N>440，故選A.3(2018浙江考前沖刺卷)已知數(shù)列an是首項為1，公差d不為0的等差數(shù)列，且a2a3a8，數(shù)列bn是等比數(shù)列，其中b22，b516，若數(shù)列cn滿足cnanbn，則|c1|c2|c3|cn|()A3(2n3)2n1 B3(2n3)2nC3(2n3)2n D3(2n3)2n解析：選B由題意知，(a1d)(a12d)a17d，a11，得d2，所以ana1(n1)d2n1.設(shè)數(shù)列bn的公比為q，則q38，q2，所以bn(2)n1，所以|cn|(2n1)(2)n1|(2n1)2n1，所以|c1|c2|c3|cn|120321(2n1)2n1.令Tn120321(2n1)2n1，則2Tn121322(2n3)2n1(2n1)2n，兩式相減得Tn2(21222n1)(2n1)2n13(2n3)2n，所以選B.4(2018浙江高三模擬)已知在數(shù)列an中，a1，1(1)nan(1)nan12(n2)，且對任意的nN*，(an1p)(anp)<0恒成立，則實數(shù)p的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A1(1)nan(1)nan12(n2)，(*)a1，當n為偶數(shù)時，化簡(*)式可知，an12，an2(n為奇數(shù))；當n為奇數(shù)時，化簡(*)式可知，2anan12，即4an12，即an16，an6(n為偶數(shù))于是an對任意nN*，(an1p)(anp)<0恒成立，對任意nN*，(pan1)(pan)<0恒成立又數(shù)列a2k1單調(diào)遞減，數(shù)列a2k單調(diào)遞增，當n為奇數(shù)時，有an<p<an1，則a1<p<a11，即<p<；當n為偶數(shù)時，有an1<p<an，則a21<p<a2，即<p<.綜上所述，<p<，故選A.5已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列an為，若Sk14，則ak_.解析：因為，所以數(shù)列，是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前n項和Tn1.令Tn14，解得n7(n8舍去)，所以ak.答案：6已知在首項都為2的數(shù)列an，bn中，a2b24,2an1anan2，bn1bn<2n，bn2bn>32n1，且bnZ，則bn_，數(shù)列的前n項和為_解析：由2an1anan2，知數(shù)列an是等差數(shù)列，因為a12，a24，所以其公差為2，所以an2n.由bn1bn<2n，得bn2bn1<2n1，所以bn2bn<32n1，又bn2bn>32n1，且bnZ，所以bn2bn32n，又b12，b24，所以bn2n.所以2n1，則數(shù)列的前n項和為2n1.答案：2n2n1第二講 大題考法數(shù)列的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)歸納法題型(一)等差、等比數(shù)列基本量的計算主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的求解，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題.典例感悟典例1已知數(shù)列an是等差數(shù)列，滿足a12，a48，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足b24，b532.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d2，所以ana1(n1)d2(n1)22n.設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由題意得q38，解得q2.因為b12，所以bnb1qn122n12n.(2)因為an2n，bn2n，所以anbn2n2n，所以Snn2n2n12.備課札記 方法技巧等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略(1)分析已知條件和求解目標，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序(2)注意細節(jié)例如：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項問題中，第一項和后面的項能否用同一個公式表示等演練沖關(guān)1(2018浙江第二次聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an的首項a1，前n項和為Sn，且滿足2an1Sn3(nN*)(1)求a2及an；(2)求證：anSn的最大值為.解：(1)由題意得2a2S13，即2a2a13，所以a2.當n2時，由2an1Sn3，得2anSn13，兩式相減得2an1an0，即an1an.因為a1，a2，所以a2a1，即當n1時，an1an也成立所以an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以an.(2)證明：因為2an1Sn3，且an1an，所以Sn32an13an.于是，anSnan(3an)2，當且僅當an，即n1時等號成立故anSn的最大值為.題型(二)等差、等比數(shù)列的判定與證明主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項及等比中項，且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題.典例感悟典例2已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.備課札記 方法技巧判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法定義法對于n1的任意自然數(shù)，驗證an1an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)中項公式法若2anan1an1(nN*，n2)，則an為等差數(shù)列；若aan1an10(nN*，n2)，則an為等比數(shù)列演練沖關(guān)2(2018溫州高考適應(yīng)性測試)已知數(shù)列an的前n項積為Tn，且Tn1an.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項和Sn.解：(1)證明：由Tn1an得，當n2時，Tn1，兩邊同時除以Tn，得1.T11a1a1，a1，2，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列(2)由(1)知n1，則Tn，從而an1Tn，故n.數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，Sn.題型(三)數(shù)列求和問題主要考查錯位相減法求和、裂項相消法求和以及分組求和、含絕對值的數(shù)列求和，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式、周期等命題.典例感悟典例3(2018浙江高考)已知等比數(shù)列an的公比q>1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項和為2n2n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項公式解(1)由a42是a3，a5的等差中項，得a3a52a44，所以a3a4a53a4428，解得a48.由a3a520，得820，解得q2或q.因為q>1，所以q2.(2)設(shè)cn(bn1bn)an，數(shù)列cn的前n項和為Sn.由cn解得cn4n1.由(1)可得an2n1，所以bn1bn(4n1)n1，故bnbn1(4n5)n2，n2，bnb1(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)(4n5)n2(4n9)n373.設(shè)Tn37112(4n5)n2，n2.則Tn372(4n9)n2(4n5)n1，得Tn34424n2(4n5)n1，所以Tn14(4n3)n2，n2.又b11，所以bn15(4n3)n2.備課札記 方法技巧1分組求和中分組的策略(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號、負號分組2裂項相消的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多3錯位相減法的關(guān)注點(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應(yīng)項相乘(anbn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比；將兩個和式錯位相減；整理結(jié)果形式演練沖關(guān)3(2018浙江高三模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且a111，b11，a2b211，a3b311.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列|anbn|的前12項和S12.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，bn的公比為q(q0)，則由a3b3a2b2a111，可得得d2，q2，從而an2n13，bn2n1.(2)不妨設(shè)cnanbn132n2n1，若n3，則cn>0；若n4，則cn<0，因此S12|c1|c2|c3|c4|c5|c12|c1c2c3(c4c5c12)2(c1c2c3)(c1c2c12)2(c1c2c3)(a1a2a12)(b1b2b12)2(1073)1240021214 135.4(2018浙江考前沖刺卷)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比q>0，S22a22，S3a42.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnTn為數(shù)列bn的前n項和，求T2n.解：(1)S22a22，S3a42，得a3a42a2，即q2q20.又q>0，q2.S22a22，a1a22a22，即a1a1q2a1q2，a12，an2n.(2)由(1)知bn即bnT2nb1b2b3b2n222424626(2n)22n222424626(2n)22n設(shè)A222424626(2n)22n，則22A224426628(2n2)22n(2n)22n2，兩式相減得A2(24262822n)(2n)22n2，整理得A，T2n.題型(四)數(shù)列與不等式的綜合問題主要考查證明不等式、比較數(shù)列中項的大小問題.典例感悟典例4(2018衢州質(zhì)量檢測)已知數(shù)列an滿足a11，Sn2an1，其中Sn為an的前n項和(nN*)(1)求S1，S