3.數(shù)列1在等差數(shù)列an中，a12，a1220.(1)求數(shù)列an的通項an；(2)若bn，求數(shù)列3bn的前n項和Sn.解(1)因為an2(n1)d，所以a12211d20，于是d2，所以an2n4(nN*)(2)因為an2n4，所以a1a2ann(n3)，于是bnn3，令cn，則cn3n3，顯然數(shù)列cn是等比數(shù)列，且c132，公比q3，所以數(shù)列3bn的前n項和Sn(nN*)2已知數(shù)列an滿足a1，2(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：aaaa<.(1)解由條件可知數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為2，公差為2，所以2(n1)22n，故an(nN*)(2)證明依題意可知a2<，n2，nN*.又因為a，所以aaaa<<2.故aaaa<.3已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，且a11，S981.記bnlog5an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，log5161.(1)求b1，b14，b61；(2)求數(shù)列bn的前200項和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知S981，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S99a59(a14d)81，a14d9.a11，d2，an2n1，b1log510，b14log5272，b61log51212.(2)當1n2時，1an3(anN*)，bnlog5an0，共2項；當3n12時，5an23，bnlog5an1，共10項；當13n62時，25an123，bnlog5an2，共50項；當63n200時，125an399，bnlog5an3，共138項數(shù)列bn的前200項和為201015021383524.4已知數(shù)列an滿足a11，Sn2an1，其中Sn為an的前n項和(nN*)(1)求S1，S2及數(shù)列Sn的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn，且bn的前n項和為Tn，求證：當n2時，|Tn|.(1)解數(shù)列an滿足Sn2an1，則Sn2an12(Sn1Sn)，即3Sn2Sn1，所以，所以S2，S1a11，即數(shù)列Sn是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列所以Snn1(nN*)(2)證明在數(shù)列bn中，bn1，bn的前n項和的絕對值|Tn|，而當n2時，1，即|Tn|.5設(shè)數(shù)列an滿足a1a，an1(a>0且a1，nN*)(1)證明：當n2時，an<an1<1；(2)若b(a2,1)，求證：當整數(shù)k1時，ak1>b.證明(1)由an1知，an與a1的符號相同，而a1a>0，所以an>0，所以an11，當且僅當an1時，an11，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：因為a>0且a1，所以a2<1，>1，即有a2<a3<1；假設(shè)當nk時，有ak<ak1<1(k2)，則ak2<1，且>1，即ak1<ak2<1，即當nk1時，不等式成立綜上，對任意n2，均有an<an1<1成立(2)若akb，則由(1)知當k2時，1>ak1>akb；若ak<b，由0<x<1及二項式定理知(1x)n1CxCxn1nx，而a1<b21<b1，且a2<a3<<ak<b<1，所以ak1a2a2>a2k1>a2k1a2k1a2.因為k1，所以(k1)11，所以ak1>b.6已知數(shù)列an滿足a12，點(an，an1)在直線y3x2上數(shù)列bn滿足b12，.(1)求b2的值；(2)求證數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項公式；(3)求證：2<.(1)解由已知得a23a128，所以，解得b24.(2)解由條件得an13an2，則3，所以數(shù)列an1是以3為公比的等比數(shù)列an1(a11)3n13n，所以數(shù)列an的通項公式為an3n1.(3)證明由題設(shè)，知(n2)，得，則，即(n2)當n1時，2，1<，所以原不等式成立；當n2時，(1bn)(1bn)(1bn)333，先證明不等式左邊，因為>，所以3332.再證明不等式右邊，當n2時，3333<.所以2<成立綜上所述，不等式成立