5.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1(2018浙江省杭州二中模擬)已知函數(shù)f(x)lnx.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)求證：f(x)>0.(1)解f(x)lnx的定義域是(0，)，f(x)，所以f(1)，又f(1)1，則切線方程為x2y30.(2)證明令h(x)x32x23x2，則h(x)3x24x3，設(shè)h(x)0的兩根為x1，x2，由于x1x21<0，不妨設(shè)x1<0，x2>0，則h(x)在(0，x2)上是單調(diào)遞減的，在(x2，)上是單調(diào)遞增的而h(0)<0，h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)上存在唯一零點(diǎn)x0，且x0(1,2)，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增所以f(x)f(x0)lnx0，因?yàn)閤0(1,2)，lnx0>0，f(x)>>0，所以f(x)>0.2已知函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx(aR)(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，證明：對(duì)任意的x0，f(x)exx2x2.(1)解函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，f(x)2x(a2).當(dāng)a0時(shí)，f(x)0對(duì)任意x(0，)恒成立，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，得x，由f(x)0，得0x，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)證明當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2xlnx，要證明f(x)exx2x2，只需證明exlnx20，設(shè)g(x)exlnx2，則問題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的x0，g(x)0，令g(x)ex0，得ex，容易知道該方程有唯一解，不妨設(shè)為x0，則x0滿足，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)和g(x)的變化情況如下表：x(0，x0)x0(x0，)g(x)0g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增g(x)ming(x0)lnx02x02，因?yàn)閤00，且x01，所以g(x)min22220，因此不等式得證3已知函數(shù)f(x)x22x2alnx(aR)(1)若a1，求函數(shù)在A(1,1)處的切線方程；(2)若函數(shù)yf(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2，證明：f(x2)>.(1)解當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x2lnx，f(x)2x2，f(1)1，所以函數(shù)在A(1,1)處的切線方程y1f(1)(x1)，化簡(jiǎn)，得xy0.(2)證明函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2x2，則x1，x2是方程2x22xa0的兩個(gè)根，所以x1x21，x1x2，所以a2x22x，又x1<x2，所以<x2<1.所以f(x2)x2x22(2x22x)lnx2.令g(t)t22t2(2t2t2)lnt，則g(t)2t2(24t)lnt22t(24t)lnt，又t，所以g(t)>0，則g(t)在上為增函數(shù)，所以g(t)>g，所以f(x2)>.4.已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)f(x)ax2bx，函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1)處的切線平行于x軸.(1)確定a與b的關(guān)系；(2)若a0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性解(1)依題意得g(x)lnxax2bx，x>0，則g(x)2axb，由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1)處的切線平行于x軸得，g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得g(x).函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)a0時(shí)，g(x)，由g(x)>0得0<x<1，由g(x)<0得x>1；當(dāng)a>0時(shí)，令g(x)0，則x1或x，若0<<1，即a>時(shí)，由g(x)>0得x>1或0<x<，由g(x)<0得<x<1；若>1，即0<a<時(shí)，由g(x)>0得x>或0<x<1，由g(x)<0得1<x<；若1，即a時(shí)，在上恒有g(shù)(x)0.綜上得，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)a>時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增5已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)(x2ax3)ex(a為實(shí)數(shù))(1)當(dāng)a5時(shí)，求函數(shù)g(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間t，t2(t>0)上的最小值；(3)若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)x1，x2，使方程g(x)2exf(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a5時(shí)，g(x)(x25x3)ex，g(1)e，g(x)(x23x2)ex，故切線的斜率為g(1)4e，所以切線方程為ye4e(x1)，即4exy3e0.(2)f(x)xlnx的定義域?yàn)?0，)，因?yàn)閒(x)lnx1，令f(x)0，得x，所以在(0，)上，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：xf(x)0f(x)極小值(最小值)當(dāng)t時(shí)，在區(qū)間t，t2上，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)minf(t)tlnt，當(dāng)0<t<時(shí)，在區(qū)間上，f(x)為減函數(shù)，在區(qū)間上，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)minf.(3)由g(x)2exf(x)，可得2xln xx2ax3，則ax2ln x，令h(x)x2ln x，x>0，則h(x)1.當(dāng)x變化時(shí)，h(x)，h(x)的變化情況如下表：x1(1，e)h(x)0h(x)極小值(最小值)因?yàn)閔3e2，h(e)e2，h(1)4，所以h(e)h42e<0，所以h(e)<h，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.6已知函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx(a為實(shí)常數(shù))(1)若a2，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)若存在x1，e，使得f(x)0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x22ln x，則f(x)2x，f(1)0，所求切線方程為y1.(2)f(x)2x(a2)，x1，e當(dāng)1，即a2時(shí)，x1，e，f(x)0，此時(shí)f(x)在1，e上單調(diào)遞增所以f(x)的最小值為f(1)a1，所以1a2；當(dāng)1<<e，即2<a<2e，x時(shí)，f(x)<0，f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)在上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為faalna.因?yàn)?<a<2e，所以0<ln<1，所以fa<0恒成立，所以2<a<2e；當(dāng)e，即a2e時(shí)，x1，e，f(x)0，此時(shí)f(x)在1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)的最小值為f(e)e2(a2)ea，因?yàn)閍2e>，所以f(e)<0，所以a2e，綜上，a1.