直線、圓的位置關(guān)系一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 已知圓M：x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22，則圓M與圓N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( )A. 內(nèi)切 B. 相交 C. 外切 D. 相離（正確答案）B解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為M：x2+(y-a)2=a2(a>0)，則圓心為(0,a)，半徑R=a，圓心到直線x+y=0的距離d=a2，圓M：x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22，2R2-d2=2a2-a22=2a22=22，即a22=2，即a2=4，a=2，則圓心為M(0,2)，半徑R=2，圓N：(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為N(1,1)，半徑r=1，則MN=12+12=2，R+r=3，R-r=1，R-r<MN<R+r，即兩個圓相交故選：B根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，求出a的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進行判斷即可本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出a的值是解決本題的關(guān)鍵2. 已知圓的方程為x2+y2-6x=0，過點(1,2)的該圓的所有弦中，最短弦的長為( )A. 12 B. 1 C. 2 D. 4（正確答案）C解：由x2+y2-6x=0，得(x-3)2+y2=9，圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑為3如圖：當(dāng)過點P(1,2)的直線與連接P與圓心的直線垂直時，弦AB最短，則最短弦長為29-(3-1)2+(0-2)2=2故選：C化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，如何利用垂徑定理求得答案本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查垂徑定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題3. 直線l過點(0,2)，被圓C：x2+y2-4x-6y+9=0截得的弦長為23，則直線l的方程是( )A. y=43x+2 B. y=-13x+2C. y=2 D. y=43x+2或y=2（正確答案）D解：圓C：x2+y2-4x-6y+9=0的圓心坐標(biāo)(2,3)，半徑為2，直線l過點(0,2)，被圓C：x2+y2-4x-6y+9=0截得的弦長為23，圓心到所求直線的距離為：1，設(shè)所求直線為：y=kx+2.即kx-y+2=0，|2k-1|k2+1=1，解得k=0或43，所求直線方程為y=43x+2或y=2故選：D求出圓的圓心與半徑，利用弦心距、半徑、半弦長滿足勾股定理，求出所求直線的斜率，然后求出直線方程本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦心距與半徑以及半弦長的關(guān)系，考查計算能力4. 直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x-2)2+y2=2上，則ABP面積的取值范圍是( )A. 2,6 B. 4,8 C. 2,32 D. 22,32（正確答案）A解：直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，令x=0，得y=-2，令y=0，得x=-2，A(-2,0)，B(0,-2)，|AB|=4+4=22，點P在圓(x-2)2+y2=2上，設(shè)P(2+2cos,2sin)，點P到直線x+y+2=0的距離：d=|2+2cos+2sin+2|2=|2sin(+4)+4|2，sin(+4)-1,1，d=|2sin(+4)+4|22,32，ABP面積的取值范圍是：12222,122232=2,6故選：A求出A(-2,0)，B(0,-2)，|AB|=22，設(shè)P(2+2cos,2sin)，點P到直線x+y+2=0的距離：d=|2+2cos+2sin+2|2=|2sin(+4)+4|22,32，由此能求出ABP面積的取值范圍本題考查三角表面積的取值范圍的求法，考查直線方程、點到直線的距離公式、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題5. 一條光線從點(1,-1)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x-2)2+y2=1相交，則入射光線所在直線的斜率的取值范圍為( )A. -34,0 B. 0,34 C. (-34,0) D. (0,34)（正確答案）C解：如圖所示，由題意可設(shè)入射光線PQ的方程為：y+1=k(x-1)，令x=0，則y=-1-k，可得Q(0,-1-k)反射光線QAB的方程為：y=-kx-1-k則|-2k-1-k|1+k2<1，解得：-34<k<0入射光線所在直線的斜率的取值范圍為(-34,0)故選：C如圖所示，由題意可設(shè)入射光線PQ的方程為：y+1=k(x-1)，可得Q(0,-1-k).反射光線QAB的方程為：y=-kx-1-k.利用直線與圓相交可得|-2k-1-k|1+k2<1，解出即可得出本題考查了入射光線與反射光線的性質(zhì)、對稱性、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6. 直線l：x=1+22ty=2+22t(t為參數(shù))與圓C：y=1+2sinx=2+2cos(為參數(shù))的位置關(guān)系是( )A. 相離 B. 相切C. 相交且過圓心 D. 相交但不過圓心（正確答案）D解：把圓的參數(shù)方程化為普通方程得：(x-2)2+(y-1)2=4，圓心坐標(biāo)為(2,1)，半徑r=2，把直線的參數(shù)方程化為普通方程得：x-y+1=0，圓心到直線的距離d=|2-1+1|1+(-1)2=2<r=2，又圓心(2,1)不在直線x-y+1=0上，則直線與圓的位置關(guān)系為相交但不過圓心故選：D把圓的方程及直線的方程化為普通方程，然后利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離d，判定發(fā)現(xiàn)d小于圓的半徑r，又圓心不在已知直線上，則直線與圓的位置關(guān)系為相交但不過圓心本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，及直線與圓的位置關(guān)系，其中直線與圓的位置關(guān)系為：(d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑)0d<r，直線與圓相交；d=r，直線與圓相切；d>r，直線與圓相離，是基礎(chǔ)題7. 若直線y=x+m與圓x2+y2+4x+2=0有兩個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是( )A. (2-2,2+2) B. (-4,0)C. (-2-2,-2+2) D. (0,4)（正確答案）D解：圓x2+y2+4x+2=0化為(x+2)2+y2=2，圓的圓心坐標(biāo)(-2,0)，半徑為2 直線y=x+m與圓(x+2)2+y2=2有兩個不同的公共點，d=|m-2|2<2 m2-4m<0 0<m<4 故選D利用圓心到直線的距離小于半徑，建立不等式，即可確定實數(shù)m的取值范圍本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離小于半徑，建立不等式，屬于中檔題8. 設(shè)直線x-y-a=0與圓x2+y2=4相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若AOB為等邊三角形，則實數(shù)a的值為( )A. 3 B. 6 C. 3 D. 9（正確答案）B解：由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r=2，由AOB為等邊三角形，得圓心到直線x-y-a=0的距離d=|-a|2=3，解得：a=6故選B由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)與半徑r，利用AOB為等邊三角形，點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，其中由AOB為等邊三角形，得圓心到直線x-y-a=0的距離d=|-a|2=3是解本題的關(guān)鍵9. 已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是( )A. x+y-2=0 B. x-y+2=0 C. x+y-3=0 D. x-y+3=0（正確答案）D解：由題意可得所求直線l經(jīng)過點(0,3)，斜率為1，故l的方程是y-3=x-0，即x-y+3=0，故選：D由題意可得所求直線l經(jīng)過點(0,3)，斜率為1，再利用點斜式求直線l的方程本題主要考查用點斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題10. 若直線mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圓(x+3)2+(y+1)2=1的弦長為2，則1m+3n的最小值為( )A. 4 B. 12 C. 16 D. 6（正確答案）D解：圓(x+3)2+(y+1)2=1的半徑為1，圓心(-3,-1) 直線mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圓(x+3)2+(y+1)2=1的弦長為2，直線經(jīng)過圓的圓心可得：3m+n=2則1m+3n=12(1m+3n)(3m+n)=12(3+3+nm+9mn)3+nm9mn=6當(dāng)且僅當(dāng)m=13，n=1時取等號故選：D利用已知條件求出m，n的關(guān)系式，然后利用基本不等式求解最值即可本題考查基本不等式的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力11. 已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是( )A. -2 B. -4 C. -6 D. -8（正確答案）B解：圓x2+y2+2x-2y+a=0即(x+1)2+(y-1)2=2-a，故弦心距d=|-1+1+2|2=2再由弦長公式可得2-a=2+4，a=-4，故選：B把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出弦心距，再由條件根據(jù)弦長公式求得a的值本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12. 若直線x+y=0與圓x2+(y-a)2=1相切，則a的值為( )A. 1 B. 1 C. 2 D. 2（正確答案）D解：圓x2+(y-a)2=1的圓心坐標(biāo)為(0,a)，半徑為1，直線x+y=0與圓x2+(y-a)2=1相切，圓心(0,a)到直線的距離d=r，即|a|2=1，解得：a=2故選D由直線與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點，若|AB|=23，則圓C的面積為_ （正確答案）4解：圓C：x2+y2-2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為(0,a)，半徑為a2+2，直線y=x+2a與圓C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B兩點，且|AB|=23，圓心(0,a)到直線y=x+2a的距離d=a2-1，即|a|2=a2-1，解得：a2=2，故圓的半徑r=2故圓的面積S=4，故答案為：4 圓C：x2+y2-2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為(0,a)，半徑為a2+2，利用圓的弦長公式，求出a值，進而求出圓半徑，可得圓的面積本題考查的知識點是直線與圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，難度中檔14. 已知直線l：mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|=23，則|CD|= _ （正確答案）4解：由題意，|AB|=23，圓心到直線的距離d=3，|3m-3|m2+1=3，m=-33 直線l的傾斜角為30，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，|CD|=2332=4故答案為：4先求出m，可得直線l的傾斜角為30，再利用三角函數(shù)求出|CD|即可本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長的計算，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)15. 在-1,1上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_（正確答案）34解：圓(x-5)2+y2=9的圓心為(5,0)，半徑為3圓心到直線y=kx的距離為|5k|k2+1，要使直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交，則|5k|k2+1<3，解得-34<k<34在區(qū)間-1,1上隨機取一個數(shù)k，使直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交相交的概率為34+341+1=34故答案為：34利用圓心到直線的距離小于半徑可得到直線與圓相交，可求出滿足條件的k，最后根據(jù)幾何概型的概率公式可求出所求本題主要考查了幾何概型的概率，以及直線與圓相交的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵弄清概率類型，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題16. 直線y=kx+3被圓(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦長為23，則直線的傾斜角為_（正確答案）6或56解：圓(x-2)2+(y-3)2=4的圓心C(2,3)，半徑r=2，圓心到直線y=kx+3的距離d=|2k-3+3|k2+1=|2k|k2+1，直線y=kx+3被圓(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦長為23，23=2r2-d2=24-4k2k2+1，解得k=33，直線的傾斜角為6或56故答案為：6或56求出圓心到直線y=kx+3的距離d=|2k|k2+1，由直線y=kx+3被圓(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦長為23，得23=2r2-d2=24-4k2k2+1，由此能求出直線的傾斜角本題考查直線的傾斜角的求法，考查直線、圓、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為=2，直線l的參數(shù)方程為x=2+tcosy=2+tsin(t為參數(shù))(1)點P在曲線C上，Q在直線l上，若=34，求線段|PQ|的最小值；(2)設(shè)直線l與曲線C有兩個不同的交點，求直線l的斜率k的范圍（正確答案）解：(1)=34時，易知直線l的方程為x+y-4=0，(2分) 曲線C：=2的普通方程為x2+y2=2.(3分) 由題意知|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，所以|PQ|min=|0+0-4|12+12-2=22-2=2.(5分) (2)因為=90時，直線l與C沒有交點，所以直線l可化為普通方程為y-2=tan(x-2)，(7分) 令k=tan，即kx-y+2-2k=0，當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時，即|2-2k|k2+1=2，解得k=23，此時它們相切，(9分) 所以k(2-3,2+3).(10分)(1)點P在曲線C上，Q在直線l上，若=34，利用|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即可求線段|PQ|的最小值；(2)設(shè)直線l與曲線C有兩個不同的交點，當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑時，即|2-2k|k2+1=2，即可求直線l的斜率k的范圍本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題18. 已知直線l經(jīng)過點P(1,1)，傾斜角=6，(1)寫出直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)l與圓x2+y2=4相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積（正確答案）解：(1)直線的參數(shù)方程為x=1+tcos6y=1+tsin6，即x=1+32ty=1+12t.(5分) (2)把直線x=1+32ty=1+12t代入x2+y2=4，得(1+32t)2+(1+12t)2=4,t2+(3+1)t-2=0，t1t2=-2，則點P到A，B兩點的距離之積為2(1)利用公式和已知條件直線l經(jīng)過點P(1,1)，傾斜角=6，寫出其極坐標(biāo)再化為一般參數(shù)方程；(2)由題意將直線x=1+32ty=1+12t代入x2+y2=4，從而求解此題考查參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實際情況選擇不同的方程進行求解，這也是每年高考必的熱點問題19. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(-1,0)，B(1,2)，直線l與AB平行(1)求直線l的斜率；(2)已知圓C：x2+y2-4x=0與直線l相交于M，N兩點，且MN=AB，求直線l的方程；(3)在(2)的圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點P的個數(shù)；若不存在，說明理由（正確答案）解：(1)點A(-1,0)，B(1,2)，直線l與AB平行，直線l的斜率k=kAB=2-01-(-1)=1(2)圓C：x2+y2-4x=0，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-2)2+y2=4，圓心C(2,0)，半徑為2，由(1)知直線l的斜率k=1，設(shè)直線l的方程為x-y-m=0，則圓心C到直線l的距離d=|2-0+m|2=|2+m|2，MN=AB=22+22=22，而CM2=d2+(MN2)2，4=(2+m)22+2，解得m=0或m=-4，故直線l的方程為x-y=0或x-y+4=0(3)假設(shè)圓C上存在點P，設(shè)P(x,y)，則(x-2)2+y2=4，PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12，整理，得x2+y2-2y-3=0，即x2+(y-1)2=4，|2-2|<(2-0)2+(0-1)2<2+2，圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交，點P的個數(shù)為2(1)由點A(-1,0)，B(1,2)，直線l與AB平行，利用斜率公式和直線與直線平行的性質(zhì)能求出直線l的斜率(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-2)2+y2=4，圓心C(2,0)，半徑為2，設(shè)直線l的方程為x-y-m=0，求出圓心C到直線l的距離d=|2+m|2，由MN=AB=22，求出m=0或m=-4，由此能求出直線l的方程(3)假設(shè)圓C上存在點P，設(shè)P(x,y)，則(x-2)2+y2=4，由PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12，得到x2+(y-1)2=4，從而求出圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交，由此能求出點P的個數(shù)本題考查直線的斜率、直線方程、滿足條件的點的個數(shù)的求法，涉及到斜率、直線、圓、直線與直線平行、點到直線距離公式、圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題