第十九講數(shù)學(xué)文化與核心素養(yǎng)1.算數(shù)書(shū)竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)l與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式V136l2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么,近似公式V7264l2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為()A.227B.258C.15750D.3551132.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的“三斜求積”公式:設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則ABC的面積S=14c2a2-c2+a2-b222.若a2sinC=4sinA,(a+c)2=12+b2,則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為()A.3B.2C.3D.63.3世紀(jì)中期,數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí),多邊形面積可無(wú)限逼近圓的面積,并因此創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”,劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的n為(參考數(shù)據(jù):sin150.2588,sin7.50.1305)()A.12B.24C.36D.484.(2018貴州貴陽(yáng)模擬)我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位著的算法統(tǒng)宗里有一道聞名世界的題目:“一百饅頭一百僧,大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng).小僧三人分一個(gè),大小和尚各幾丁?”如圖所示的程序框圖反映了對(duì)此題的一個(gè)求解算法,執(zhí)行程序框圖,則輸出的n的值為()A.20B.25C.30D.355.(2018重慶六校聯(lián)考)九章算術(shù)中有如下問(wèn)題:“今有勾八步,股一十五步,問(wèn)勾中容圓徑幾何.”其大意:“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步,問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子,則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A.310B.320C.1-310D.1-3206.(2018云南昆明調(diào)研)如圖所示的程序框圖來(lái)源于中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng),其中定義x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),例如0.6=0,2=2,3.6=3.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的a=()A.9B.16C.23D.307.(2018吉林長(zhǎng)春監(jiān)測(cè))九章算術(shù)卷五商功中有如下問(wèn)題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高一丈,問(wèn)積幾何?芻甍:底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖,設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),那么該芻甍的體積為()A.4B.5C.6D.128.北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要成就之一為隙積術(shù),即用來(lái)計(jì)算諸如累棋、層壇的物體體積的方法.設(shè)隙積共n層,上底由ab個(gè)物體組成,以下各層的長(zhǎng)、寬依次增加一個(gè)物體,最下層(即下底)由cd個(gè)物體組成,沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為s=n6(2a+c)b+(2c+a)d+n6(c-a),其中a是上底長(zhǎng),b是上底寬,c是下底長(zhǎng),d是下底寬,n為層數(shù).已知由若干個(gè)相同小球粘黏組成的隙積的三視圖如圖所示,則該隙積中所有小球的個(gè)數(shù)為()A.83B.84C.85D.869.(2018福建福州模擬)如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代著名的孫子算經(jīng).圖中的Mod(N,m)n表示正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n,例如Mod(10,3)1.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的i等于()A.23B.38C.44D.5810.祖暅?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家,他在5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理,即祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.圖是從圓柱中挖去一個(gè)圓錐所得的幾何體,圖、圖、圖分別是圓錐、圓臺(tái)和半球,則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為()A.B.C.D.11.九章算術(shù)是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表,它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其中方田章有弧田面積計(jì)算問(wèn)題,術(shù)曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面積計(jì)算公式為:弧田面積=12(弦矢+矢矢).弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(弧田弦)圍成的平面圖形,公式中的“弦”指的是弧田弦的長(zhǎng),“矢”指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田,其弧田弦AB等于6米,其弧田弧所在圓為圓O,若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為72平方米,則cosAOB=()A.125B.325C.15D.72512.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”.如圖所示的太極圖是由黑、白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案,充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義:圖象能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”.給出下列命題:對(duì)于任意一個(gè)圓O,其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè);函數(shù)f(x)=ln(x2+x2+1)可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”;正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”;函數(shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.其中正確的命題為()A.B.C.D.13.如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是.14.(2018四川成都模擬)“更相減損術(shù)”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的算法案例,其對(duì)應(yīng)的程序框圖如圖所示.若輸入的x,y,k的值分別為4,6,1,則輸出的k的值為.15.九章算術(shù)中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的體積為.答案精解精析1.A依題意,設(shè)圓錐的底面半徑為r,則V=13r2h7264l2h=7264(2r)2h,化簡(jiǎn)得227.故選A.2.A根據(jù)正弦定理及a2sinC=4sinA,得ac=4.再結(jié)合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,則S=14c2a2-c2+a2-b222=16-44=3,故選A.3.B按照程序框圖執(zhí)行,n=6,S=3sin60=332,不滿足條件S3.10,執(zhí)行循環(huán);n=12,S=6sin30=3,不滿足條件S3.10,執(zhí)行循環(huán);n=24,S=12sin15120.2588=3.1056,滿足條件S3.10,跳出循環(huán),輸出n的值為24,故選B.4.B解法一:執(zhí)行程序框圖,n=20,m=80,S=60+803100;n=21,m=79,S=63+793100;n=25,m=75,S=75+25=100,退出循環(huán).輸出n=25.故選B.解法二:由題意,得m+n=100,3n+m3=100,且m,n都是整數(shù),解得n=25,m=75,故選B.5.D如圖,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為82+152=17,設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r,則8-r+15-r=17,解得r=3,內(nèi)切圓的面積為r2=9,豆子落在內(nèi)切圓外的概率P=1-912815=1-320.6.C執(zhí)行程序框圖,k=1,a=9,9-3932;k=2,a=16,16-3163=12;k=3,a=23,23-3233=2,23-5235=3,滿足條件,退出循環(huán),則輸出a=23.故選C.7.B如圖所示,由三視圖可還原得到幾何體ABCDEF,過(guò)E,F分別作垂直于底面的截面EGH和FMN,可將原幾何體切割成直三棱柱EHG-FNM,四棱錐E-ADHG和四棱錐F-MBCN,易知直三棱柱的體積為12312=3,兩個(gè)四棱錐的體積相同,都為13131=1,則原幾何體的體積為3+1+1=5.故選B.8.C由三視圖知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=n6(2a+c)b+(2c+a)d+n6(c-a),得s=85,故選C.9.AMod(11,3)2成立,Mod(11,5)3不成立,i=12;Mod(12,3)2不成立,i=13;Mod(13,3)2不成立,i=14;Mod(14,3)2成立,Mod(14,5)3不成立,i=15;Mod(15,3)2不成立,i=16;Mod(16,3)2不成立,i=17;Mod(17,3)2成立,Mod(17,5)3不成立,i=18;Mod(18,3)2不成立,i=19;Mod(19,3)2不成立,i=20;Mod(20,3)2成立,Mod(20,5)3不成立,i=21;Mod(21,3)2不成立,i=22;Mod(22,3)2不成立,i=23;Mod(23,3)2成立,Mod(23,5)3成立,Mod(23,7)2成立,結(jié)束循環(huán).故輸出的i=23.故選A.10.D設(shè)截面與下底面的距離為h,則中截面內(nèi)的圓半徑為h,則截面圓環(huán)的面積為(R2-h2);中截面圓的半徑為R-h,則截面圓的面積為(R-h)2;中截面圓的半徑為R-h2,則截面圓的面積為R-h22;中截面圓的半徑為R2-h2,則截面圓的面積為(R2-h2).所以中截面的面積相等,滿足祖暅原理,故選D.11.D如圖,AB=6,設(shè)CD=x(x>0),則12(6x+x2)=72,解得x=1.設(shè)OA=y,則(y-1)2+9=y2,解得y=5.由余弦定理得cosAOB=25+25-36255=725,故選D.12.A過(guò)圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積等分成兩部分,故對(duì)于任意一個(gè)圓O,其“太極函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè),故正確;函數(shù)f(x)=ln(x2+x2+1)的大致圖象如圖所示,故其不可能為圓的“太極函數(shù)”,故錯(cuò)誤;將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx圖象的對(duì)稱中心上,則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“太極函數(shù)”,從而正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”,故正確;函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形,則y=f(x)是“太極函數(shù)”,但函數(shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”時(shí),圖象不一定是中心對(duì)稱圖形,如圖,故錯(cuò)誤,故選A.13.答案8解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則正方形的內(nèi)切圓的半徑為1,其中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心對(duì)稱,則黑色部分的面積為2,所以在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自黑色部分的概率P=222=8.14.答案4解析x=4,y=6,k=1,k=1+1=2,因?yàn)?>6不成立,4=6不成立,所以y=6-4=2;k=2+1=3,因?yàn)?>2成立,所以x=4-2=2;k=3+1=4,因?yàn)?>2不成立,2=2成立,所以輸出的k=4.15.答案2053解析如圖,在長(zhǎng)方體中可找到符合題意的三棱錐P-ABC,則球O的直徑2R=PC=PA2+AC2=20=25,所以R=5.故球O的體積V=43R3=2053.