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課時規(guī)范練14 人造衛(wèi)星 宇宙速度
基礎對點練
1.(變軌問題)(2019山西應縣一中月考)在“嫦娥一號”奔月飛行過程中,在月球上空有一次變軌是由橢圓軌道a變?yōu)榻聢A形軌道b,如圖所示,在a、b兩軌道的切點處,下列說法正確的是( )
A.衛(wèi)星運行的速度va=vb B.衛(wèi)星受月球的引力Fa=Fb
C.衛(wèi)星的加速度aa>ab D.衛(wèi)星的動能
答案B
解析“嫦娥一號”從a軌道上經(jīng)過切點時,即將做離心運動,
vb,故A錯誤;由萬有引力為F=,半徑相等,故衛(wèi)星受月球的引力Fa=Fb,故B正確;萬有引力提供向心力,ma=,因此加速度是相等的,故C錯誤;由A可知va>vb,衛(wèi)星的動能Eka>Ekb,故D錯誤。
2.(多選)(天體運動中的能量問題)(2018東北師范大學附中等五校聯(lián)考)在天體運動中,把兩顆相距很近的恒星稱為雙星.已知組成某雙星系統(tǒng)的兩顆恒星質量分別為m1和m2,相距為L。在萬有引力作用下各自繞它們連線上的某一點,在同一平面內(nèi)做勻速同周運動,運動過程中二者之間的距離始終不變。已知萬有引力常量為G。m1的動能為Ek,則m2的動能為( )
A.-Ek B.-Ek C.Ek D.Ek
答案BC
解析設兩個行星的軌道半徑分別為r1和r2,角速度為ω,由題意可知r1+r2=L
對m1有=m1ω2r1
對m2有=m2ω2r2
解得r1=,r2=,ω=
代入r1、r2得,所以C正確。
Ek+Ek2=m1(ωr1)2+m2(ωr2)2把ω=代入解得Ek2=-Ek,所以B正確。故BC正確。
3.(多選)(變軌問題)(2019河北邯鄲永年區(qū)二中月考)“神舟十一號”飛船與“天宮二號”空間實驗室在太空中自動交會對接的成功,顯示了我國航天科技力量的雄厚。已知對接軌道所處的空間存在極其稀薄的大氣,下列說法正確的是( )
A.為實現(xiàn)對接,飛船與“天宮二號”運行速度的大小都應介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間
B.如不加干預,在運行一段時間后,“天宮二號”的動能可能會增加
C.如不加干預,“天宮二號”的軌道高度將緩慢降低
D.進入“天宮二號”的航天員處于失重狀態(tài),說明航天員不受地球引力作用
答案BC
解析飛行器在繞地圓軌道運行,而第一宇宙速度為最大環(huán)繞速度,因此飛行器不可能大于第一宇宙速度,故A項錯誤;飛船所處的空間處存在極其稀薄的大氣,如不加干預,其軌道高度降低,速度增大,故B、C項正確;航天員仍受到地球的引力,只是引力全部提供向心力,不產(chǎn)生重力作用,故D項錯誤。
4.(多選)(赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的比較)如圖所示,同步衛(wèi)星與地心的距離為r,運行速率為v1,向心加速度為a1;地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a2,第一宇宙速度為v2,地球半徑為R,則下列比值正確的是( )
A. B.=()2 C. D.
答案AD
解析地球同步衛(wèi)星軌道半徑r,運行速率v1,向心加速度a1;地球赤道上的物體軌道半徑R,隨地球自轉的向心加速度a2;近地衛(wèi)星:軌道半徑R,運行速率v2。
對于衛(wèi)星,其共同特點是萬有引力提供向心力,有G=m,故,D正確,C錯誤;對于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體,其共同點是角速度相等,有a=ω2r,故,A正確,B錯誤。
5.(天體中的“追及相遇”問題)(2018河南南陽月考)如圖所示,A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛(wèi)星,運行方向相同,A為地球同步衛(wèi)星,A、B衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k,地球自轉周期為T0。某時刻A、B兩衛(wèi)星距離達到最近,從該時刻起到A、B間距離最遠所經(jīng)歷的最短時間為( )
A. B. C. D.
答案C
解析由開普勒第三定律得,設兩衛(wèi)星至少經(jīng)過時間t距離最遠,即B比A多轉半圈,=nB-nA=,又TA=T0,解得t=。
6.(赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的比較)(2015山東卷,15)如圖,拉格朗日點L1位于地球和月球連線上,處在該點的物體在地球和月球引力的共同作用下,可與月球一起以相同的周期繞地球運動。據(jù)此,科學家設想在拉格朗日點L1建立空間站,使其與月球同周期繞地球運動。以a1、a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大小。以下判斷正確的是( )
A.a2>a3>a1 B.a2>a1>a3 C.a3>a1>a2 D.a3>a2>a1
答案D
解析空間站與月球以相同的周期繞地球運動,由a=r()2知a1a2,故D項正確。
7.(天體運動中的能量問題)質量為m的人造地球衛(wèi)星與地心的距離為r時,引力勢能可表示為Ep=-,其中G為引力常量,M為地球質量、該衛(wèi)星原來在半徑為R1的軌道上繞地球做勻速圓周運動,由于受到極稀薄空氣的摩擦作用,飛行一段時間后其圓周運動的半徑變?yōu)镽2,此過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量為( )
A.GMm B.GMm
C. D.
答案C
解析人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供。
根據(jù)萬有引力提供向心力得G=m①
而動能Ek=mv2②
由①②式得Ek=③
由題意知,引力勢能Ep=-④
由③④式得衛(wèi)星的機械能E=Ek+Ep=-
由功能關系知,因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q=ΔE減=E1-E2=,故選項C正確。
8.(衛(wèi)星運行問題)(2018湖北八校二模)如圖,人造地球衛(wèi)星M、N在同一平面內(nèi)繞地心O做勻速圓周運動。已知M、N連線與M、O連線間的夾角最大為θ,則M、N的運動速度大小之比等于( )
A. B. C. D.
答案A
解析運動過程中OMN構成一個三角形,由正弦定理得,,由于ON與OM都是半徑為定值,可知只有ON與MN垂直時,sinα=1,sinθ值最大,同時θ最大,滿足題目條件,得到,再根據(jù)萬有引力提供向心力公式G=m,可求出M與N的速度之比為,A正確。
素養(yǎng)綜合練
9.(2015全國卷Ⅱ,16)由于衛(wèi)星的發(fā)射場不在赤道上,同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉移軌道經(jīng)過調整再進入地球同步軌道。當衛(wèi)星在轉移軌道上飛經(jīng)赤道上空時,發(fā)動機點火,給衛(wèi)星一附加速度,使衛(wèi)星沿同步軌道運行。已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1103 m/s,某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時的速度為1.55103 m/s,此時衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同,轉移軌道和同步軌道的夾角為30,如圖所示。發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為( )
A.西偏北方向,1.9103 m/s
B.東偏南方向,1.9103 m/s
C.西偏北方向,2.7103 m/s
D.東偏南方向,2.7103 m/s
答案B
解析
設衛(wèi)星經(jīng)轉移軌道到達同步軌道時速度為v轉,在此處與發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的合速度等于同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度。如圖所示,由幾何關系知v轉sin30=,解得v加≈1.9103m/s,方向為東偏南。
10.(多選)(2018遼寧沈陽二中一模)如圖甲所示,一質量為m的衛(wèi)星繞地球在橢圓軌道Ⅰ上運轉,運轉周期為T0,軌道Ⅰ上的近地點A到地球球心的距離為a,遠地點C到地球球心的距離為b,BD為橢圓軌道的短軸。A、C兩點的曲率半徑均為ka(通過該點和曲線上緊鄰該點兩側的兩點作一圓,在極限情況下,這個圓就叫做該點的曲率圓,如圖乙中的虛線圓,其半徑ρ叫做該點的曲率半徑)。若地球的質量為M,引力常量為G,則( )
A.衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運行時的機械能小于在軌道Ⅱ上運行時的機械能
B.如果衛(wèi)星要從軌道Ⅱ返回到軌道Ⅰ,則在C位置時動力氣源要向后噴氣
C.衛(wèi)星從C→D→A的運動過程中,萬有引力對其做的功為GMmk
D.衛(wèi)星從C→D→A的運動過程中,萬有引力對其做的功為GMmk
答案AD
解析由題圖甲可知,衛(wèi)星從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ,要有外力對衛(wèi)星做功,所以衛(wèi)星在軌道Ⅰ上的機械能小于其在軌道Ⅱ上的,A正確;若衛(wèi)星要從軌道Ⅱ上的C位置變軌到軌道Ⅰ上,則在C位置時衛(wèi)星要減速,動力氣源要向前噴氣,B錯誤;在A、C兩點衛(wèi)星的運動可近似看作半徑均為ka,速度分別為vA、vC的圓周運動,則有G=m,G=m,從C→D→A的運動過程中,由動能定理得W=,解以上三式得W=GMmk,D正確,C錯誤。
11. 2016年2月11日,美國激光干涉引力波天文臺(LIGO)團隊向全世界宣布發(fā)現(xiàn)了引力波,這個引力波來自于距離地球13億光年之外一個雙黑洞系統(tǒng)的合并。已知光在真空中傳播的速度c,引力常量為G。黑洞密度極大,質量極大,半徑很小,以最快速度傳播的光都不能逃離它的引力,因此我們無法通過光學觀測直接確定黑洞的存在。假定黑洞為一個質量分布均勻的球形天體。
(1)因為黑洞對其他天體具有強大的引力影響,我們可以通過其他天體的運動來推測黑洞的存在。天文學家觀測到,有一質量很小的恒星獨自在宇宙中做周期為T,半徑為r0的勻速圓周運動。由此推測,圓周軌道的中心可能有個黑洞。利用所學知識求此黑洞的質量M。
(2)嚴格解決黑洞問題需要利用廣義相對論的知識,但早在相對論提出之前就有人利用牛頓力學體系預言過黑洞的存在。我們知道,在牛頓體系中,當兩個質量分別為m1、m2的質點相距為r時也會具有勢能,稱之為引力勢能,其大小為Ep=-G(規(guī)定無窮遠處勢能為霧)。請你利用所學知識,推測質量為M的黑洞,之所以能夠成為“黑”洞,其半徑R最大不能超過多少?
答案(1) (2)
解析(1)小恒星繞黑洞做勻速圓周運動,設小恒星質量為m,根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律:G=mr0。計算得出:M=。
(2)設質量為m的物體,從黑洞表面至無窮遠處,根據(jù)能量守恒定律,mv2+=0,計算得出R=因為連光都不能逃離,有v=c,所以黑洞的半徑最大不能超過R=。
12.如圖所示是月亮女神、嫦娥一號繞月球做圓周運行時某時刻的圖片,用R1、R2、T1、T2分別表示月亮女神和嫦娥一號的軌道半徑及周期,用R表示月球的半徑。
(1)請用萬有引力知識證明:它們遵循=K,其中K是只與月球質量有關而與衛(wèi)星無關的常量;
(2)經(jīng)多少時間兩衛(wèi)星第一次相距最遠;
(3)請用所給嫦娥一號的已知量,估測月球的平均密度。
答案(1)見解析 (2) (3)
解析(1)設月球的質量為M,對任一衛(wèi)星均有G=mR
得=K常量。
所以它們遵循=K
(2)兩衛(wèi)星第一次相距最遠時有=π
t=
(3)對嫦娥一號有G=mR2
M=πR3ρ,ρ=
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