第二講 小題考法平面向量考點(一)平面向量的概念及線性運算主要考查平面向量的加、減、數(shù)乘等線性運算以及向量共線定理的應(yīng)用題組練透1設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC，若12 (1，2為實數(shù))，則12的值為_解析：如圖，().又12，且與不共線所以1，2，所以12.答案：2.如圖，在ABC中，BO為邊AC上的中線，2，設(shè)，若 (R)，則的值為 _. 解析：由題意，得，(1)，因為，所以1，.答案：3(2018南京考前模擬)在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，AB2CD，M為CD的中點，N為線段BC上一點(不包括端點)，若，則的最小值為_解析：以A為坐標原點，AB為x軸建立直角坐標系如圖所示，設(shè)B(2,0)，C(1，t)，M，N(x0，y0)，因為N在線段BC上，所以y0(x02)，即y0t(2x0)，因為，所以即tty0tt(2x0)，因為t0，所以1(2x0)2x02，所以344，這里，均為正數(shù)，所以4(34)31215227，所以當且僅當，即，時取等號所以的最小值為.答案：方法技巧向量線性運算問題的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果(3)與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.考點(二)平面向量的數(shù)量積主要考查數(shù)量積的運算、夾角以及模的計算問題或求參數(shù)的值. 題組練透1已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60，則實數(shù)的值是_解析：因為，故，解得.答案：2在平行四邊形ABCD中，AD4，BAD，E為CD中點，若4，則AB的長為_解析：法一：設(shè)|x，則()()()22x2x164，解得x6或x4(舍去)，故AB的長為6.法二：以A為坐標原點，AB為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，D(2,2)，設(shè)B(2a,0)，則C(2a2,2)，E(a2,2)，從而(2a2，2)，(2a,2)，因此(2a2)(2a)124，解得a3或a2(舍去)，故AB的長為6.答案：63(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在ABC中，P是邊AB的中點，已知|，|4，ACB，則_.解析：法一：(基底法) 設(shè)|x，由2，兩邊平方，得1216x24x，即x2.所以()(164)6.法二：(坐標法)以C為坐標原點，CB為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系設(shè)C(0,0)，B(x,0)，A(2,2)，則P.由|，得x2.所以(0，)(2,2)6.答案：64(2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))在平面四邊形ABCD中，已知AB1，BC4，CD2，DA3，則的值為_解析：法一：因為0，則，平方得2222()()22，即6，則()()261610.法二：如圖，取AC中點O，連結(jié)BO，DO.所以()()()()()(2222)(16149)10.答案：10方法技巧平面向量數(shù)量積相關(guān)問題的求解策略(1)夾角和模的問題的處理方法，一是轉(zhuǎn)為基底向量結(jié)合數(shù)量積的定義進行運算；二是建立坐標系用坐標公式求解(2)平面向量的數(shù)量積可以用定義結(jié)合基底向量求解，也可以建立坐標系用坐標公式求解(3)對于極化恒等式：ab22.在ABC中，若M是BC的中點，則22.其作用是：用線段的長度來計算向量的數(shù)量積從而避開求向量的夾角.考點(三)平面向量的綜合問題主要考查與平面向量數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題或參數(shù)求值問題. 典例感悟典例(1)已知向量a，b滿足|a|，|b|1，且對于一切實數(shù)x，|axb|ab|恒成立，則a與b的夾角大小為_(2)(2018蘇州期末)如圖，ABC為等腰三角形，BAC120，ABAC4，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，點P是劣弧上的一動點，則的取值范圍是_解析(1)法一：將|axb|ab|兩邊平方可得：22xabx222ab1，即x22abx2ab10對于xR恒成立4(ab)28ab40，即4(ab1)20，所以ab1，即cos ，所以a，b夾角為.法二：圖，令a，xb(P為直線l上任意一點)，則axb，所以|axb|OP的最小值即O到直線l的距離OH，即OH|ab|，即ab，所以b.在直角三角形OHA中，AH1，OA，cosHOA，即HOA，所以a，b夾角為.(2)法一：(幾何法) 如圖，取BC的中點M，連結(jié)PM，()()22.因為MC為定值，所以的變化可由PM的變化確定易得AM2，MC2.當P為劣弧與AM的交點時，PM取最小值A(chǔ)M11；PM的最大值為EMFM.所以PM2MC2的取值范圍是11，9，即11，9法二：(坐標法)以A為坐標原點，垂直于BC的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系xAy，則B(2，2)，C(2,2)，設(shè)P(cos ，sin )，其中.所以(2cos ，sin 2)(2cos ，2sin )(cos 2)2sin21274cos .因為cos ，所以11，9答案(1)(2)11，9方法技巧平面向量有關(guān)最值(范圍)問題求解的2種思路形化即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷數(shù)化即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決演練沖關(guān)1已知|，且1.若點C滿足|1，則|的取值范圍是_解析：如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則，因為|，1，所以|，由|1得|1，所以點C在以點D為圓心，1為半徑的圓上，而|表示點C到點O的距離，從而|1|1，即1|1，即|的取值范圍是1，1答案：1，12已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB8，CD6，則 的取值范圍是_解析：因為，又 ，因此2()22216.因為M是弦CD上的動點，所以MOmax4，此時點M在圓上；MOmin，此時點M為弦CD的中點，故9,0答案：9,03.如圖，在同一平面內(nèi)，點A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1,3.點B，C分別在m，n上，|5，則的最大值是_解析：設(shè)P為BC的中點，則2，從而由|5得|，又()()222，因為|2，所以21，故1，當且僅當|2時等號成立答案：必備知能自主補缺(一) 主干知識要記牢1平面向量的兩個充要條件若兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.2平面向量的性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .(4)|ab|a|b|.(二)二級結(jié)論要用好1三點共線的判定(1)A，B，C三點共線，共線(2)向量，中三終點A，B，C共線存在實數(shù)，使得，且1.針對練在ABCD中，點E是AD邊的中點，BE與AC相交于點F，若mn (m，nR)，則_.解析：如圖，2，mn，m(2n1)，F(xiàn)，E，B三點共線，m2n11，2.答案：22中點坐標和三角形的重心坐標(1)設(shè)P1，P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段P1P2的中點P的坐標為，.(2)三角形的重心坐標公式：設(shè)ABC的三個頂點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC的重心坐標是G.3三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則(1)O為ABC的外心|.(2)O為ABC的重心0.(3)O為ABC的垂心.(4)O為ABC的內(nèi)心abc0.4極化恒等式ab22提醒極化恒等式的使用是最近考查的熱點，要有將平面向量數(shù)量積用此工具轉(zhuǎn)化的基本意識課時達標訓(xùn)練A組抓牢中檔小題1(2018南京學(xué)情調(diào)研)設(shè)向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b.若ac，則實數(shù)x_.解析：因為a(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，43x)又ac，所以43x80，解得x4.答案：42(2018無錫期末)已知向量a(2,1)，b(1，1)，若ab與mab垂直，則m的值為_解析：因為a(2,1)，b(1，1)，所以ab(1,2)，mab(2m1，m1)，因為ab與mab垂直，所以(ab)(mab)0，即2m12(m1)0，解得m.答案：3已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.解析：由題意知abk(b3a)，所以解得答案：4已知|a|1，|b|，且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為_解析：a(ab)，a(ab)a2ab1cosa，b0，cosa，b，a，b.答案：5在ABC中，O為ABC的重心，AB2，AC3，A60，則_.解析：設(shè)BC邊中點為D，則，()，()(32cos 6032)4.答案：46.如圖，在ABC中，已知BAC，AB2，AC3，2，3，則|_.解析：()，而()，故，從而|.答案：7已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，則a與2ab夾角的余弦值為_解析：法一：因為非零向量a，b滿足|a|b|ab|，所以a2b2a22abb2，aba2b2，所以a(2ab)2a2aba2，|2ab|a|，所以cosa,2ab.法二：因為非零向量a，b滿足|a|b|ab|，所以a，b，所以a(2ab)2a2ab2a2|a|b|cosa2，|2ab|a|.所以cosa,2ab.答案：8在邊長為2的菱形ABCD中，ABC60，P是線段BD上的任意一點，則_.解析：如圖所示，由條件知ABC為正三角形，ACBP，所以()cos 60222.答案：29已知菱形ABCD的邊長為2，BAD120，點E，F(xiàn)分別在邊上BC，DC上，t，m，若1，則tm_.解析：因為tt；mm，所以(t)(m)22tm4t4m1；2(1t)(1m)22m2t2tm，聯(lián)立解得tm.答案：10在ABC中，已知AB1，AC2，A60，若點P滿足，且1，則實數(shù)的值為_解析：由題意可得，.又(1)，所以(1)|21，即(2)41，所以42310，解得1或.答案：1或11.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA3，OC5.若7，則的值是_解析：因為()()()()OC2OD2，同理：AO2OD27，所以O(shè)C2OD2OC2AO279.答案：912已知A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，動點P滿足2|2，則|的最大值為_解析：設(shè)動點P(x，y)，因為A(0,1)，B(0，1)，C(1,0)，2|2，所以(x，y1)(x，y1)2(x1)2y2，即(x2)2y21.因為|2，所以|表示圓(x2)2y21上的點到原點距離的2倍，所以|的最大值為2(21)6.答案：613已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則()的最小值是_解析：如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則(x, y)，(1x，y)，(1x，y)，所以()(x，y)(2x，2y)2x222，當x0，y時，()取得最小值，為.答案：14已知在RtABC中，C90，9，SABC6，P為線段AB上的點，且xy，則xy的最大值為_解析：因為C90，所以29，所以|3，即AC3.因為SABCACBC6，所以BC4.又P為線段AB上的點，且，故12，即xy3，當且僅當，即x，y2時取等號答案：3B組力爭難度小題1在ABC中，若2，則的值為_解析：由2，得2bcacab，化簡可得ac.由正弦定理得，.答案：2已知向量a(1，)，b(0，t21)，則當t，2時，的取值范圍是_解析：由題意，(0,1)，根據(jù)向量的差的幾何意義，表示同起點的向量t的終點到a的終點的距離，當t時，該距離取得最小值1，當t時，該距離取得最大值，即的取值范圍是1， 答案：1， 3在直角坐標系xOy中，已知三點A(a,1)，B(2，b)，C(3,4)，若，則a2b2的最小值為_解析：因為0，所以0，從而有(a2,1b)(3,4)0，即3a4b2.則(a，b)可視為直線l：3x4y2上的動點，設(shè)其為P，則為坐標原點O到P的距離，故|OP|mind(O，l)，故(a2b2)min2.答案：4.如圖，已知ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P，交BC于點Q.若3，5，則()()的值為_解析：因為，所以2，而，由于，所以0，所以()()(2)2，又因為Q是BC的中點，所以2，故2()()2292516.答案：165.如圖，已知|AC|BC|4，ACB90，M為BC的中點，D為以AC為直徑的圓上一動點，則的最大值是_解析：以AC的中點為坐標原點，AC所在的直線為x軸，建立直角坐標系(圖略)，則M(2,2)，A(2,0)，C(2,0)設(shè)D點的坐標為(2cos ，2sin )，則(4,2)，(22cos ，2sin )，所以4(22cos )2(2sin )88cos 4sin 8sin()84.答案：846.如圖，已知AC2，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點(不含端點A，B，C)，且BMBN，則的最大值為_解析：法一(坐標法)：以點B為坐標原點，線段AC所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系設(shè)NBCMAB，則M(sin2，sin cos )，N(cos ，sin )，A(1,0)，C(1,0)，(1sin2，sin cos )(cos 1，sin )(1sin2)(cos 1)sin2cos cos 1sin2cos2cos 2，當cos ，時，的最大值為.法二(定義法)：設(shè)NBCMAB，()()cos 1|sin cos 1|2|AM|1|2|，令|t,0<t<1，tt2，所以的最大值為.答案：