專題二 立體幾何江蘇卷5年考情分析小題考情分析大題考情分析?？键c空間幾何體的表面積與體積(5年3考)本專題在高考大題中的考查非常穩(wěn)定，主要是線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系的證明，一般第(1)問是線面平行的證明，第(2)問是線線垂直或面面垂直的證明，考查形式單一，難度一般.偶考點簡單幾何體與球的切接問題第一講 小題考法立體幾何中的計算考點(一)空間幾何體的表面積與體積主要考查柱體、錐體以及簡單組合體的表面積與體積.題組練透1現(xiàn)有一個底面半徑為3 cm，母線長為5 cm的圓錐狀實心鐵器，將其高溫熔化后鑄成一個實心鐵球(不計損耗)，則該鐵球的半徑為_cm.解析：因為圓錐底面半徑為3 cm，母線長為5 cm，所以圓錐的高為4 cm，其體積為32412 cm3，設(shè)鐵球的半徑為r，則r312，所以該鐵球的半徑是 cm.答案：2(2018蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知直四棱柱底面是邊長為2的菱形，側(cè)面對角線的長為2，則該直四棱柱的側(cè)面積為_解析：由題意得，直四棱柱的側(cè)棱長為2，所以該直四棱柱的側(cè)面積為Scl42216.答案：163.(2018江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為_解析：由題意知所給的幾何體是棱長均為的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐2()21.答案：4(2018南通、泰州一調(diào))如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的幾何體已知正六棱柱的底面邊長、高都為4 cm，圓柱的底面積為9 cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個高為6 cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長為_cm(不計損耗)解析：由題意知，熔化前后的體積相等，熔化前的體積為64249460 cm3，設(shè)所求正三棱柱的底面邊長為x cm，則有x2660，解得x2，所以所求邊長為2 cm.答案：25設(shè)甲，乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等且，則的值是_解析：設(shè)甲，乙兩個圓柱的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則有2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，又，則.答案：方法技巧求幾何體的表面積及體積的解題技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積時，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解考點(二)簡單幾何體與球的切接問題主要考查簡單幾何體與球切接時的表面積、體積的計算問題，以及將空間幾何體的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形的關(guān)系的能力. 題組練透1(2017江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_解析：設(shè)球O的半徑為R，因為球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以.答案：2(2018無錫期末)直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，BB15，若三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_解析：根據(jù)條件可知該直三棱柱的外接球就是以BA，BC，BB1為棱的長方體的外接球，設(shè)其半徑為R，則2R，得R，故該球的表面積為S4R250.答案：503已知矩形ABCD的頂點都在半徑為2的球O的球面上，且AB3，BC，過點D作DE垂直于平面ABCD，交球O于點E，則棱錐EABCD的體積為_解析：如圖所示，BE過球心O，BE4，BD2，DE 2，VEABCD322.答案：24(2018全國卷改編)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為_.解析：由等邊ABC的面積為9，可得AB29，所以AB6，所以等邊ABC的外接圓的半徑為rAB2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐DABC高的最大值為246，所以三棱錐DABC體積的最大值為9618.答案：18方法技巧簡單幾何體與球切接問題的解題技巧方法解讀適合題型截面法解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作球內(nèi)切多面體或旋轉(zhuǎn)體構(gòu)造直角三角形法首先確定球心位置，借助外接的性質(zhì)球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點到底面中心的距離構(gòu)造成直角三角形，利用勾股定理求半徑正棱錐、正棱柱的外接球補(bǔ)形法因正方體、長方體的外接球半徑易求得，故將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長方體，便可借助外接球為同一個的特點求解三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從正方體或長方體的八個頂點中選取點作為頂點組成的三棱錐、四棱錐等考點(三)平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題主要考查空間圖形與平面圖形之間的轉(zhuǎn)化，面積、體積以及最值 問題的求解.典例感悟典例(1)如圖，正ABC的邊長為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AC與BC的中點，現(xiàn)將ABC沿CD翻折，使平面ADC平面DCB，則三棱錐EDFC的體積為_(2)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M為線段BB1上的一動點，則當(dāng)AMMC1最小時，AMC1的面積為_解析(1)SDFCSABC，E到平面DFC的距離h等于AD，VEDFCSDFCh.(2)將側(cè)面展開后可得：本題AMMC1最小可以等價為在矩形ACC1A1中求AMMC1的最小值如圖，當(dāng)A，M，C1三點共線時，AMMC1最小又ABBC12，AB1，BC2，CC13，所以AM，MC12，又AC1，所以cosAMC1，所以sinAMC1，故三角形面積為S2.答案(1)(2)方法技巧解決翻折問題需要把握的兩個關(guān)鍵點(1)解決與翻折有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量一般情況下，折線同一側(cè)的線段的長度是不變量，位置關(guān)系可能會發(fā)生變化，抓住兩個“不變性”與折線垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；與折線平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變(2)解決問題時，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形演練沖關(guān)1有一根長為6 cm，底面半徑為0.5 cm的圓柱型鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的長度最少為_cm.解析：由題意作出圖形如圖所示，則鐵絲的長度至少為2.答案：22(2018南京、鹽城、連云港二模)在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個全等的等腰三角形(如圖中陰影部分)，折疊成底面邊長為的正四棱錐SEFGH(如圖)，則正四棱錐SEFGH的體積為_解析：連結(jié)EG，HF，交點為O(圖略)，正方形EFGH的對角線EG2，EO1，則點E到線段AB的距離為1，EB，SO2，故正四棱錐SEFGH的體積為()22.答案：3如圖所示，平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，將其沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一個球面上，則該球的體積為_解析：如圖，取BD的中點E，BC的中點O，連接AE，OD，EO，AO.因為ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因為ABADCD1，BD，所以AE，EO.所以O(shè)A.在RtBDC中，OBOCODBC，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為.所以該球的體積V3.答案：必備知能自主補(bǔ)缺(一) 主干知識要牢記1空間幾何體的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體側(cè)面展開圖側(cè)面積公式直棱柱S直棱柱側(cè)chc為底面周長h為高正棱錐S正棱錐側(cè)chc為底面周長h為斜高即側(cè)面等腰三角形的高正棱臺S正棱臺側(cè)(cc)hc為上底面周長c為下底面周長h為斜高，即側(cè)面等腰梯形的高圓柱S圓柱側(cè)2rlr為底面半徑l為側(cè)面母線長圓錐S圓錐側(cè)rlr為底面半徑l為側(cè)面母線長圓臺S圓臺側(cè)(r1r2)lr1為上底面半徑r2為下底面半徑l為側(cè)面母線長2.柱體、錐體、臺體的體積公式(1)V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V臺(SS)h(不要求記憶)3球的表面積和體積公式：(1)S球4R2(R為球的半徑)；(2)V球R3(R為球的半徑)4立體幾何中相鄰兩個面之間的兩點間距離路徑最短問題，都可以轉(zhuǎn)化為平面幾何中兩點距離最短(二) 二級結(jié)論要用好1長方體的對角線與其共點的三條棱之間的長度關(guān)系d2a2b2c2；若長方體外接球半徑為R，則有(2R)2a2b2c2.針對練1設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長度分別為2,2，4，則其外接球的表面積為_解析：依題意，設(shè)題中的三棱錐外接球的半徑為R，可將題中的三棱錐補(bǔ)形成一個長方體，則R2，所以該三棱錐外接球的表面積為S4R232.答案：322棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑ra，外接球的半徑Ra.又正四面體的高h(yuǎn)a，故rh，Rh.針對練2正四面體ABCD的外接球半徑為2，過棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為_解析：由題意知，面積最小的截面是以AB為直徑的圓，設(shè)AB的長為a，因為正四面體外接球的半徑為2，所以a2，解得a，故截面面積的最小值為2.答案：3認(rèn)識球與正方體組合的3種特殊截面：一是球內(nèi)切于正方體；二是球與正方體的十二條棱相切；三是球外接于正方體它們的相應(yīng)軸截面如圖所示(正方體的棱長為a，球的半徑為R)課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練A組抓牢中檔小題1. 若圓錐底面半徑為1，高為2，則圓錐的側(cè)面積為 _.解析：由題意，得圓錐的母線長l，所以S圓錐側(cè)rl1.答案：2已知正六棱柱的側(cè)面積為72 cm2，高為6 cm，那么它的體積為_cm3.解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長為x cm，由題意得6x672，所以x2，于是其體積V226636cm3.答案：363已知球O的半徑為R，A，B，C三點在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為R，ABACBC2，則球O的表面積為_解析：設(shè)ABC外接圓的圓心為O1，半徑為r，因為ABACBC2，所以ABC為正三角形，其外接圓的半徑r2，因為OO1平面ABC，所以O(shè)A2OOr2，即R2222，解得R216，所以球O的表面積為4R264.答案：644. 已知一個棱長為6 cm的正方體塑料盒子(無上蓋)，上口放著一個半徑為5 cm的鋼球，則球心到盒底的距離為_cm.解析：球心到正方體的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距離為4，所以球心到盒底的距離為4610(cm)答案：105(2018揚州期末)若圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3且圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為_解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，則由l23，得l3，又由l2r，得r1，從而有h2，所以Vr2h.答案：6. 一塊邊長為10 cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器當(dāng)x6 cm時，該容器的容積為_cm3.解析：由題意知，這個正四棱錐形容器的底面是以6 cm為邊長的正方形，側(cè)面高為5 cm，則正四棱錐的高為 4 cm，所以所求容積V62448 cm3.答案：487已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_解析：由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R3，R，所以這個球的體積為R3.答案：8設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_解析：由題意知，V1a3，S16a2，V2r3，S2r2，由，即，得ar，從而.答案：9已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點，沿AE，EF，AF折成一個四面體，使B，C，D三點重合，則這個四面體的體積為_解析：設(shè)B，C，D三點重合于點P，得到如圖所示的四面體PAEF.因為APPE，APPF，PEPFP，所以AP平面PEF，所以V四面體PAEFV四面體APEFSPEFAP112.答案：10(2018常州期末)已知圓錐的高為6，體積為8，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是7，則該圓臺的高為_解析：設(shè)截得的小圓錐的高為h1，底面半徑為r1，體積為V1rh1；大圓錐的高為h6，底面半徑為r，體積為Vr2h8.依題意有，V11，3，得h1h3，所以圓臺的高為hh13.答案：311.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_解析：連結(jié)A1B，沿BC1將CBC1展開，與A1BC1在同一個平面內(nèi)，如圖所示，連結(jié)A1C，則A1C的長度就是所求的最小值因為A1C16，A1B2，BC12，所以A1CBCA1B2，所以A1C1B90.又BC1C45，所以A1C1C135，由余弦定理，得A1C2A1CCC2A1C1CC1cosA1C1C3622650，所以A1C5，即CPPA1的最小值是5.答案：512(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào))現(xiàn)有一正四棱柱形鐵塊，底面邊長為高的8倍，將其熔化鍛造成一個底面積不變的正四棱錐形鐵件(不計材料損耗)設(shè)正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為S1，S2，則的值為_解析：設(shè)正四棱柱的高為a，所以底面邊長為8a，根據(jù)體積相等，且底面積相等，所以正四棱錐的高為3a，則正四棱錐側(cè)面的高為5a，所以.答案：13已知圓錐的底面半徑和高相等，側(cè)面積為4，過圓錐的兩條母線作截面，截面為等邊三角形，則圓錐底面中心到截面的距離為_解析：如圖，設(shè)底面半徑為r，由題意可得：母線長為r.又側(cè)面展開圖面積為r2r4，所以r2.又截面三角形ABD為等邊三角形，故BDABr，又OBODr，故BOD為等腰直角三角形設(shè)圓錐底面中心到截面的距離為d，又VOABDVABOD，所以dSABDAOSOBD.又SABDAB282，SOBD2，AOr2，故d.答案：14. 底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個半徑為 cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水_cm3.解析：設(shè)四個實心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為下層兩球的球心，O1O2O3O4為正四面體，棱O1O2到棱O3O4的距離為，所以注水高為1.故應(yīng)注水體積為43.答案：B組力爭難度小題1.(2018天津高考)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為_解析：如圖，連結(jié)AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因為E，H分別為AD1，CD1的中點，所以EHAC，EHAC，因為F，G分別為B1A，B1C的中點，所以FGAC，F(xiàn)GAC，所以EHFG，EHFG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EGHF，EHHG，所以四邊形EHGF為正方形，又點M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐MEFGH的體積為2.答案：2.(2018蘇州期末)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90榫卯起來若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為_(容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留)解析：設(shè)球形容器的最小半徑為R，則“十字立方體”的24個頂點均在半徑為R的球面上，所以兩根并排的四棱柱體組成的長方體的八個頂點在這個球面上球的直徑就是長方體的體對角線的長度，所以2R，得4R230.從而S球面4R230.答案：303已知三棱錐PABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為2，則三棱錐PABC的體積為_解析：由條件知，表面展開圖如圖所示，由正弦定理得大正三角形的邊長為a22sin 606，從而三棱錐的所有棱長均為3，底面三角形ABC的高為，故三棱錐的高為2，所求體積為V(3)229.答案：94(2018渭南二模)體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為_解析：設(shè)球的半徑為R，由R3，得R1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)2.設(shè)底面邊長為a，則a1，所以a2.所以V2326.答案：65.如圖所示，在直三棱柱中，ACBC，AC4，BCCC12，若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一側(cè)面的平面去截此三棱柱，使得到的兩個幾何體能夠拼接成長方體，則長方體表面積的最小值為_解析：用過AB，AC的中點且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一個邊長為2的正方體，其表面積為24；用過AB，BC的中點且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一個長、寬、高分別為4,1,2的長方體，其表面積為28；用過AA1，BB1，CC1的中點且平行于平面ABC的平面截此三棱柱，可以拼接成一個長、寬、高分別為4,2,1的長方體，其表面積為28，因此所求的長方體表面積的最小值為24.答案：246.如圖，在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，D1C1上的動點，點G為正方形B1BCC1的中心則空間四邊形AEFG在該正方體各個面上的正投影所構(gòu)成的圖形中，面積的最大值為_解析：四邊形AEFG在前、后面的正投影如圖，當(dāng)E與A1重合，F(xiàn)與B1重合時，四邊形AEFG在前、后面的正投影的面積最大值為12；四邊形AEFG在左、右面的正投影如圖，當(dāng)E與A1重合，四邊形AEFG在左、右面的正投影的面積最大值為8；四邊形AEFG在上、下面的正投影如圖，當(dāng)F與D重合時，四邊形AEFG在上、下面的正投影的面積最大值為8.綜上所述，所求面積的最大值為12.答案：12