14個填空題專項強化練(九)數列A組題型分類練題型一等差、等比數列的基本運算1設Sn是等差數列an的前n項和，若a27，S77，則a7的值為_解析：因為等差數列an滿足a27，S77，所以S77a47，a41，所以d4，所以a7a25d13.答案：132(2018鹽城高三模擬)設數列an的前n項和為Sn，若Sn2ann(nN*)，則數列an的通項公式為an_.解析：Sn2ann(nN*)，當n1時，得a11，當n2時，Sn12an1n1，得an2an2an11(n2)，即an12(an11)(n2)，則數列an1是以2為首項，2為公比的等比數列，則an122n12n，a11符合上式所以數列an的通項公式為an12n.答案：12n3已知等比數列an的各項均為正數，若a4a，a2a4，則a5_.解析：法一：設等比數列an的首項為a1(a1>0)，公比為q(q>0)，由題意解得所以a5a1q4.法二：(整體思想)依題意由得16a16a250，即(4a25)(4a21)0，又等比數列an各項均為正數，所以a2，從而a4，從而由q2，又q>0，所以q，a5a4q.答案：臨門一腳1等差、等比數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想解決問題2在等差、等比混合后考查基本量的計算容易造成公式和性質混淆，從而造成計算失誤3等差、等比數列的通項公式：等差數列an的通項公式為ana1(n1)dam(nm)d；等比數列an的通項公式為ana1qn1amqnm(a10，q0)4等差、等比數列的前n項和：(1)等差數列的前n項和為：Snna1dn2n(二次函數)特別地，當d0時，Sn是關于n的二次函數，且常數項為0，即可設Snan2bn(a，b為常數)(2)等比數列的前n項和為：Sn特別地，若q1，設a，則Snaaqn，要注意對q是否等于1討論題型二等差、等比數列的性質1(2018蘇北四市質檢)已知等差數列an滿足a1a3a5a7a910，aa36，則a11的值為_解析：因為數列an是等差數列，所以a1a3a5a7a95a510，a52，則aa(a8a2)(a8a2)12a5d24d36，d，則a11a56d11.答案：112設Sn是等比數列an的前n項和，若3，則_.解析：設S2k，S43k，由數列an為等比數列，得S2，S4S2，S6S4為等比數列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，.答案：3若等比數列an的各項均為正數，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.解析：因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案：504已知數列an是等差數列，且an>0，若a1a2a100500，則a50a51的最大值為_解析：法一：設等差數列an的公差為d(d0)，由題意得，100a14 950d500，所以a1549.5d，所以a50a51(a149d)(a150d)(50.5d)(50.5d)0.25d225.又d0，所以當d0時，a50a51有最大值25.法二：由等差數列的性質知，50(a50a51)500，即a50a5110，所以由基本不等式得a50a51225，當且僅當a50a515時取等號，所以a50a51有最大值25.答案：255已知兩個等差數列an和bn的前n項和分別為An和Bn，若，則使得為整數的正整數n的個數是_解析：由7.因此nN*，N*，故n12,3,4,6,12，即n共有5個答案：5臨門一腳1若序號mnpq，在等差數列中，則有amanapaq；特別的，若序號mn2p，則aman2ap；在等比數列中，則有amanapaq；特別的，若序號mn2p，則amana；該性質還可以運用于更多項之間的關系2在等差數列an中，Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數列，其公差為kd；其中Sn為前n項的和，且Sn0(nN*)；在等比數列an中，當q1或k不為偶數時Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數列，其中Sn為前n項的和(nN*)題型三數列的綜合問題1已知等比數列an的前4項和為5，且4a1，a2，a2成等差數列，若bn，則數列bnbn1的前10項和為_解析：由4a1，a2，a2成等差數列，可得4a1a23a2，則2a1a2，則等比數列an的公比q2，則數列an的前4項和為5，解得a1，所以an2n1，bn，則bnbn1，其前10項和為.答案：2對于數列an，定義數列bn滿足：bnan1an(nN*)，且bn1bn1(nN*)，a31，a41，則a1_.解析：由a31，a41及bnan1an得b3a4a32，又由bn1bn1得數列bn是等差數列，bnb3(n3)1n5，所以an1ann5，從而得a3a23a24，a2a14a18.答案：83(2018南京四校聯考)已知數列an的前n項和Sn8nn2，令bnanan1an2(nN*)，設數列bn的前n項和為Tn，當Tn取得最大值時，n_.解析：法一：當n1時，a17；當n2時，anSnSn192n，經檢驗，n1時也符合，故an92n，則bnanan1an2(92n)(72n)(52n)，當Tn取得最大值時，應滿足bn的前n項均為非負項令bn0得，n2.5或3.5n4.5，又nN*，所以n1,2,4，而T1105，T2120，T4120，故當Tn取得最大值時，n2或4.法二：由Sn8nn2知，數列an為等差數列，且an92n，即7,5,3,1，1，3，5，7，枚舉知，T1105，T2120，T3117，T4120，T5105，故當Tn取得最大值時，n2或4.答案：2或44在等差數列an中，首項a13，公差d2，若某學生對其中連續(xù)10項進行求和，在漏掉一項的前提下，求得余下9項的和為185，則此連續(xù)10項的和為_解析：由已知條件可得數列an的通項公式an2n1，設連續(xù)10項為ai1，ai2，ai3，ai10，iN，設漏掉的一項為aik,1k10，由aik185，得(2i32i21)52i2k1185，即18i2k66，即9ik33，所以349ik3343,3<i<5，所以i4，此時，由3633k得k3，所以aika715，故此連續(xù)10項的和為200.答案：200臨門一腳1數列求和的方法主要有錯位相減法、倒序相加法、公式法、拆項并項法、裂項相消法等2根據遞推關系式求通項公式的方法有累加法，累積法，待定系數法，取倒數、取對數等3數列單調性可以用定義研究，也可以構造函數進行研究，要注意數列和所構造函數的定義域的差別B組高考提速練1設Sn為等差數列an的前n項和，若a21，a45，則S5_.解析：法一：由等差數列的通項公式，得512d，則d2，a11，S55(1)215.法二：S515.答案：152在數列an中，a13，且對任意大于1的正整數n，則an_.解析：由定義知是以為首項，以為公差的等差數列，故n，即an3n2.答案：3n23在等比數列an中，若a11，a3a54(a41)，則a7_.解析：法一：設等比數列an的公比為q，因為a11，a3a54(a41)，所以q2q44(q31)，即q64q340，q32，所以a7q64.法二：設等比數列an的公比為q, 由a3a54(a41)得a4(a41)，即a4a440，所以a42，因為a11，所以q32，a7q64.答案：44記Sn為等差數列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為_解析：設等差數列an的公差為d，則由得即解得d4.答案：45已知等比數列an的前n項和為Sn，公比q3，S3S4，則a3_.解析：因為等比數列an的公比q3，所以S3S42S3a42a33a3a3，所以a33.答案：36設公差不為0的等差數列an的前n項和為Sn.若S3a，且S1，S2，S4成等比數列，則a10_.解析：設等差數列an的公差為d(d0)，由S3a得3a2a，解得a20或a23.又由S1，S2，S4成等比數列可得SS1S4.若a20，則S1S2a10，S2S4a1，a2a3a43a30，a30，則d0，故a20舍去；若a23，則S13d，S26d，S4122d，有(6d)2(3d)(122d)(d0)，得d2，此時a10a28d19.答案：197在等差數列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數列an的前n項和，若Sn取得最大值，則n_.解析：因為3a47a7，所以3(a13d)7(a16d)，所以a1d>0，所以d<0，所以ana1(n1)d(4n37)，當n9時，an>0，當n10時，an<0，所以使Sn取得最大值的n9.答案：98我國古代數學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈_盞解析：每層塔所掛的燈數從上到下構成等比數列，記為an，則前7項的和S7381，公比q2，依題意，得S7381，解得a13.答案：39已知等差數列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4S6>2S5”的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：因為an為等差數列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d>0S4S6>2S5.故“d>0”是“S4S6>2S5”的充要條件答案：充要10設數列滿足a11，(1an1)(1an)1(nN*)，則(akak1)的值為_解析：因為(1an1)(1an)1，所以anan1anan10，從而1，1，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以1n1n，所以an，故anan1，因此(akak1)1.答案：11已知Sn是等比數列an的前n項和，若存在mN*，滿足9，則數列an的公比為_解析：設數列an的公比為q，若q1，則2，與題中條件矛盾，故q1.因為qm19，所以qm8.所以qm8，所以m3，所以q38，所以q2.答案：212數列an滿足a11，且an1an n1(nN*)，則數列的前8項和為_解析：因為an1ann1，所以a2a111，a3a221，a4a331，anan1(n1)1，以上等式相加，得ana1123(n1)n1，把a11代入上式得，an123(n1)n，2，數列的前n項的和Sn22，數列的前8項和為.答案：13設Sn是等比數列an的前n項和，an>0，若S62S35，則S9S6的最小值為_解析：法一：當q1時，S62S30，不合題意，所以q1，從而由S62S35得5，從而得<0，故1q<0，即q>1，故S9S6(q6q9)，令q31t>0，則S9S6520，當且僅當t1，即q32時等號成立法二：因為S6S3(1q3)，所以由S62S35得S3>0，從而q>1，故S9S6S3(q6q31)S3(q31)S3q6，以下同法一答案：2014已知數列bn的每一項都是正整數，且b15，b27<b3，數列an是公差為d(dN*)的等差數列，且有a76，則使得數列abn是等比數列的d的值為_解析：法一：ab1a562d，ab2a76，易知d3，等比數列abn的公比q，abn(62d)n1，又abn6(bn7)d，所以6(bn7)d(62d)n1，所以6(b37)d(62d)2，即6(b37)d，由b3>7，得3d>0，由dN*得d1或2，當d1時，bn4n11，不合題意，當d2時，bn3n14，符合題意，所以所求d的值為2.法二：由數列abn是等比數列得ab1ab3a2b2，而abna7(bn7)d，所以，由b15，b27得，(62d)6(b37)d36，易知d3，解得b37>0，由dN*得，d1或2，當d1時，bn4n11，不合題意，當d2時，bn3n14，符合題意，所以所求d的值為2.答案：2