05三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.已知角的終邊經(jīng)過點P(-5,-12),則sin32+的值等于().A.-513B.-1213C.513D.1213解析因為角的終邊經(jīng)過點P(-5,-12),由三角函數(shù)的定義可知cos =xr=-5(-5)2+(-12)2=-513,所以sin32+=-cos =513.答案C2.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)(>0),滿足f(x1)=-1,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值為4,則=().A.2B.1C.12D.4解析由題意可知|x1-x2|的最小值為T4,所以T=44=,所以=2=2,故選A.答案A3.將函數(shù)y=cos 3x的圖象向左平移4個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是().A.y=cos3x+4B.y=cos3x-4C.y=cos3x-34D.y=cos3x+34解析由函數(shù)圖象的平移規(guī)則可知y=cos 3x的圖象向左平移4個單位長度得到y(tǒng)=cos 3x+4的圖象,即所求函數(shù)解析式是y=cos3x+34,故選D.答案D4.給出下列結(jié)論:函數(shù)y=sin(k-x)(kZ)為奇函數(shù);函數(shù)y=tan2x+6的圖象關(guān)于點12,0對稱;函數(shù)y=cos2x+3的圖象的一條對稱軸為直線x=-23;若tan(-x)=2,則sin2x=15.其中正確結(jié)論的序號為.解析y=sin(k-x)=(-1)k-1sin x是奇函數(shù),故正確;tan212+6=3,故不正確;cos2-23+3=-1,故正確;tan(-x)=-tan x=2,tan x=-2,sin2x=sin2xsin2x+cos2x=tan2xtan2x+1=45,故不正確.綜上,正確結(jié)論的序號為.答案能力1能運用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題【例1】已知函數(shù)f(x)=23sin xcosx+2cos2x+m-1在0,2上的最小值為-2.(1)求m的值及f(x)圖象的對稱軸;(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.解析(1)由已知得f(x)=3sin 2x+cos 2x+m=2sin2x+6+m.0x2,62x+676,當(dāng)2x+6=76,即x=2時,f(x)min=2-12+m=-2,m=-1,此時f(x)=2sin2x+6-1.由2x+6=k+2(kZ),解得x=k2+6(kZ),f(x)圖象的對稱軸為直線x=k2+6(kZ).(2)由-2+2k2x+62+2k(kZ),可得-3+kx6+k(kZ),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-3+k,6+k(kZ).有關(guān)函數(shù)y=Asin(x+)+B的性質(zhì)及應(yīng)用問題的求解思路:第一步,先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y=Asin(x+)+B的形式;第二步,把“x+”視為一個整體,借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求解y=Asin(x+)+B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題.已知函數(shù)f(x)=sin2x+3,則下列結(jié)論正確的是().A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱B.f(x)的圖象關(guān)于點4,0對稱C.把f(x)的圖象向左平移12個單位長度,得到一個偶函數(shù)的圖象D.f(x)的最小正周期為,且在0,6上為增函數(shù)解析把x=3代入函數(shù)f(x)的解析式得f3=sin =0,故A不正確;把x=4代入函數(shù)f(x)的解析式得f4=sin2+3=cos3=120,故B不正確;函數(shù)f(x)=sin2x+3的圖象向左平移12個單位長度,得到g(x)=sin2x+12+3=sin2x+6+3=cos 2x的圖象,g(x)是偶函數(shù),故C正確;由題意知函數(shù)f(x)的最小正周期為,令2k-22x+32k+2(kZ),解得k-512xk+12(kZ),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-512,k+12(kZ).令k=0,得-512x12,令k=1,得712x1312,所以函數(shù)f(x)在0,6上為增函數(shù)是錯誤的,故D不正確.故選C.答案C能力2會根據(jù)三角函數(shù)的圖象求其解析式【例2】已知函數(shù)y=Asin(x+)(A>0,>0)的部分圖象如圖所示,則該函數(shù)的解析式為().A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sin2x+6D.y=2sin2x+3解析(法一)由圖象知T2=3-6=2,故T=,因此=2=2.又圖象的一個最高點的坐標(biāo)為3,2,所以A=2,且23+=2k+2(kZ),故=2k-6(kZ),結(jié)合選項可知y=2sin2x-6.(法二)當(dāng)x=3,y=2時,排除B,C,D.故選A.答案A已知圖象求解析式y(tǒng)=Asin(x+)+B(A>0,>0)的方法:(1)A=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2.(2)已知函數(shù)的周期T,則=2T.(3)求的常用方法:代入法:把圖象上的一個已知點的坐標(biāo)代入解析式(A,B已知)求解.五點法:確定值時,一般以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口.具體如下:“第一點”滿足x+=0;“第二點”滿足x+=2;“第三點”滿足x+=;“第四點”滿足x+=32;“第五點”滿足x+=2.已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0,|<)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=Acos(x+)圖象的一個對稱中心為().A.-6,0B.12,0C.2,0D.56,0解析由函數(shù)f(x)=Asin(x+)的部分圖象知,A=1,T=4712-3=,=2.由五點法畫圖知,7122+=32+2k,kZ,解得=3+2k(kZ).|<,=3,f(x)=sin2x+3,則g(x)=cos2x+3.由2x+3=2+k(kZ),解得x=k2+12(kZ).當(dāng)k=0時,對稱中心為12,0,故選B.答案B能力3能熟練進(jìn)行三角函數(shù)圖象的變換【例3】將函數(shù)f(x)=sin 2xcos +cos 2xsin |<2的圖象向左平移3個單位長度后的圖象關(guān)于原點對稱,則函數(shù)f(x)在0,2上的最小值為().A.-32B.32C.-12D.12解析由已知f(x)=sin(2x+)|<2的圖象向左平移3個單位長度后,得到函數(shù)y=sin2x+3+=sin2x+23+的圖象,再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點對稱,可得23+=k,kZ,=3+k(kZ).由|<2,得=3,故f(x)=sin2x+3.x0,2,2x+33,43, 故當(dāng)2x+3=43時,f(x)=sin2x+3取得最小值,最小值為-32,故選A.答案A由y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=sin(x+)(>0)的圖象一般有兩個途徑:途徑一,先平移變換,再伸縮變換.先將y=sin x的圖象向左(>0)或向右(<0)平移|個單位長度,再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(>0)倍,得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.途徑二,先伸縮變換,再平移變換.先將y=sin x的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(>0)倍,再沿x軸向左(>0)或向右(<0)平移|個單位長度,得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.只有區(qū)分這兩個途徑,才能靈活進(jìn)行圖象變換.已知函數(shù)f(x)=cos(2x-)-3sin(2x-)|<2的圖象向右平移12個單位長度后關(guān)于y軸對稱,則的值為().A.12B.6C.-3D.3解析由題意得函數(shù)f(x)=cos(2x-)-3sin(2x-)=2cos2x-+3|<2,所以函數(shù)f(x)的圖象向右平移12個單位長度后,可得y=2cos2x-6-+3=2cos2x-+6的圖象.由于所得圖象關(guān)于y軸對稱,故-+6=k,kZ,又因為|<2,所以=6,故選B.答案B能力4會解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合問題【例4】已知函數(shù)f(x)=sin x,將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2(縱坐標(biāo)不變),再將所得函數(shù)圖象向左平移4個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象.(1)求g(x)的解析式;(2)若關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m,x(0,)有4個不同的根,求實數(shù)m的取值范圍.解析(1)g(x)=sin 2x+4=sin2x+2=cos 2x,即g(x)的解析式為g(x)=cos 2x.(2)f(x)+g(x)=sin x+cos 2x=sin x+1-2sin2x=m.令sin x=t(x(0,),則t(0,1,當(dāng)t=1是方程2t2-t+m-1=0的根時,原方程只有1個根,不符合題意.所以關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m,x(0,)有4個不同的根,等價于關(guān)于t的方程2t2-t+m-1=0在(0,1)上有2個不同的根,令h(t)=2t2-t+m-1,則有h(0)=m-1>0,h(1)=m>0,=1-8(m-1)>0,解得1<m<98.故m的取值范圍是1,98.解決三角函數(shù)的綜合問題,要注意整體思想、數(shù)形結(jié)合思想的運用.如對于a2+b2sin(x+)型的函數(shù),先視“x+”為整體,再利用sin x的性質(zhì)來求解.已知函數(shù)y=Asin(x+)A>0,>0,|<2的圖象過點P12,0,且圖象上與P點最近的一個最高點的坐標(biāo)為3,5.(1)求該函數(shù)的解析式;(2)若將此函數(shù)的圖象向左平移6個單位長度后,再向下平移2個單位長度得到g(x)的圖象,求g(x)在-6,3上的值域.解析(1)由已知可得A=5,T4=3-12=4,T=,=2,y=5sin(2x+).由5sin212+=0得6+=2k,kZ,|<2,=-6, y=5sin2x-6.(2)g(x)=5sin2x+6-6-2=5sin2x+6-2.-6x3,-62x+656,-12sin2x+61,-92g(x)3,g(x)在-6,3上的值域為-92,3.一、選擇題1.若f(x)=sin x+cosx在a,0上是增函數(shù),則a的最小值是().A.-34B.-2C.4D.解析由題意得f(x)=sin x+cosx=2sinx+4.由-2+2kx+42+2k(kZ),得-34+2kx4+2k(kZ),令k=0,則f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為-34,4.由f(x)在a,0上是增函數(shù),得a-34,故a的最小值是-34.答案A2.已知f(x)=sin(-2x+)|<2圖象的一個對稱中心為6,0,則f(x)圖象的對稱軸可能為().A.x=-6B.x=-23C.x=1112D.x=12解析因為f(x)=sin(-2x+)|<2圖象的一個對稱中心為6,0,所以(-2)6+=k,kZ,即=k+3,kZ.又|<2,所以=3,所以f(x)=sin-2x+3.令-2x+3=k+2,kZ,得x=-k2-12,kZ.對選項逐一分析,可得x=1112符合要求,故選C.答案C3.將曲線y=cos2x+3向左平移6個單位長度后,得到曲線y=f(x),則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為().A.k-3,k+6(kZ)B.k-6,k+3(kZ)C.k+6,k+23(kZ)D.k+3,k+56(kZ)解析曲線y=cos2x+3向左平移6個單位長度后,得到y(tǒng)=f(x)的圖象,故f(x)=cos2x+3+3=cos2x+23.由2k-2x+232k(kZ),得k-56xk-3(kZ),等價于k+6xk+23(kZ),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k+6,k+23(kZ),故選C.答案C4.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x0,2時,f(x)=sin x,則f53的值為().A.-12B.32C.-32D.12解析f(x)的最小正周期是,且f(x)是偶函數(shù),f53=f53-2=f-3=f3.當(dāng)x0,2時,f(x)=sin x,f53=f3=sin3=32,故選B.答案B5.已知函數(shù)f(x)=Acos(x+)(A>0,>0,|<)的部分圖象如圖所示,為了得到g(x)=2cos 2x的圖象,可以將f(x)的圖象().A.向右平移12個單位長度B.向左平移12個單位長度C.向右平移6個單位長度D.向左平移6個單位長度解析由函數(shù)f(x)的圖象得A=2,T4=712-3,解得T=,則=2.當(dāng)x=3時,f3=2cos23+=0,解得=-6,f(x)=2cos2x-6.為了得到g(x)=2cos 2x的圖象,可以將f(x)的圖象向左平移12個單位長度,故選B.答案B6.函數(shù)y=cos2x-3sin x的最大值與最小值的和為().A.-2B.14C.0D.174解析ycos=2x-3sin x=sin-2x-3sin x+1=-sinx+322+134.令t=sin x,得y=-t+322+134.因為sin x-1,1,所以t-1,1.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)在-1,1上單調(diào)遞減,所以ymax=-1+3+1=3,ymin=-1-3+1=-3,所以ymax+ymin=0,故選C.答案C7.已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+)(|<),若5,58是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間,則的取值范圍為().A.-910,-310B.910,C.10,4D.-,1034,+解析令2k+2<2x+<2k+32,kZ,所以k+4-2xk+34-2,kZ,所以函數(shù)f(x)在k+4-2,k+34-2上單調(diào)遞增.因為5,58是f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間,所以58k+34-2,且k+4-25,kZ,解得2k+102k+4,kZ.又|<,所以104.故選C.答案C8.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+)(其中>0,為常數(shù))的圖象關(guān)于直線x=2對稱,且f38=1,f(x)在-38,-4上單調(diào),則的可能取值的個數(shù)為().A.2B.3C.4D.5解析函數(shù)f(x)=2sin(x+)(其中>0,為常數(shù))的圖象關(guān)于直線x=2對稱,當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)取得最大值或最小值,即2+=2+k,kZ.f38=1,sin38+=22,即38+=4+2k或38+=34+2k,kZ.f(x)在-38,-4上是同一單調(diào)區(qū)間,8<T2,即<8,0<<8.由解得=84+k或=8-4+k,kZ.經(jīng)檢驗:的可能取值為2,6,其個數(shù)為2.故選A.答案A二、填空題9.函數(shù)f(x)=2cosx+4sinx+4的最小正周期為.解析f(x)=2cosx+4sinx+4=sin2x+2=cos 2x,周期T=.答案10.函數(shù)y=sin(x+)>0,|<2的圖象的一條對稱軸與它相鄰零點的距離為4,且圖象過點0,12,則該函數(shù)的解析式為.解析因為函數(shù)圖象的一條對稱軸與它相鄰零點的距離為14個周期,所以T=.所以=2T=2,代入原式得y=sin(2x+).因為該函數(shù)的圖象過點0,12,所以12=sin ,又|<2,所以=6,所以y=sin2x+6.答案y=sin2x+611.函數(shù)f(x)=Asin(x+)A,是常數(shù),且A>0,>0,|<2的部分圖象如圖所示,給出下列結(jié)論:f(x)的最小正周期為;f(0)=2;56,0是f(x)圖象的一個對稱中心;將f(x)的圖象向左平移6個單位長度,所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).其中正確的結(jié)論是.(填序號)解析A=2,T4=712-3,T=,=2=2.2712+=32+2k,kZ,=3,f(x)=2sin2x+3.f(x)的最小正周期為,f(0)=2sin3=3,正確,錯誤.f56=2sin53+3=2sin 2=0,正確.將f(x)的圖象向左平移6個單位長度得到g(x)的圖象,g(x)=2sin2x+6+3=2sin2x+23,該函數(shù)不是偶函數(shù),錯誤.因此正確的結(jié)論是.答案12.將函數(shù)f(x)=2sin2x+6的圖象先向左平移12個單位長度,再向下平移2個單位長度,得到g(x)的圖象,若g(x1)g(x2)=16,且x1,x2-2,2,則x1-x2的最大值為.解析函數(shù)f(x)=2sin2x+6的圖象向左平移12個單位長度,可得y=2sin2x+3的圖象,再向下平移2個單位長度,得到g(x)=2sin2x+3-2的圖象.又g(x1)g(x2)=16,且x1,x2-2,2,則g(x1)=g(x2)=-4.令g(x)=-4,得2x+3=-2+2k,kZ,即x=-512+k,kZ.由x1,x2-2,2,得x1,x2-1712,-512,712,1912.當(dāng)x1=1912,x2=-1712時,x1-x2取得最大值,最大值為3.答案3三、解答題13.已知函數(shù)f(x)=2cos2-xsin x-(sin x-cos x)2.(1)若x0,求函數(shù)f(x)的值域;(2)把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移4個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)的圖象的對稱中心坐標(biāo).解析(1)f(x)=2cos2-xsin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-sin2x+2sin xcosx-cos2x=sin2x-cos2x+2sin xcosx=sin 2x-cos 2x=2sin2x-4.因為x0,所以-42x-474,所以-12sin2x-42,故函數(shù)f(x)的值域是-1,2.(2)由(1)知f(x)=2sin2x-4,把y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=2sinx-4的圖象,再把得到的圖象向左平移4個單位長度,得到g(x)=2sin x的圖象,所以函數(shù)g(x)=2sin x的圖象的對稱中心是(k,0)(kZ).