單元質(zhì)檢二函數(shù)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.函數(shù)y=13x-2+lg(2x-1)的定義域是()A.23,+B.12,+C.23,+D.12,23答案C2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),則下列結(jié)論一定正確的是()A.y=1f(x)在R上為減函數(shù)B.y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C.y=2-f(x)在R上為減函數(shù)D.y=-f(x)3在R上為增函數(shù)答案C解析根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng),對(duì)于A,設(shè)函數(shù)f(x)=x,y=1f(x)=1x,在R上不是減函數(shù),A錯(cuò)誤;對(duì)于B,設(shè)函數(shù)f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函數(shù),B錯(cuò)誤;對(duì)于C,令t=f(x),則y=2-f(x)=12f(x)=12t,t=f(x)在R上為增函數(shù),y=12t在R上為減函數(shù),則y=2-f(x)在R上為減函數(shù),C正確;對(duì)于D,設(shè)函數(shù)f(x)=x,y=-f(x)3=-x3,在R上為減函數(shù),D錯(cuò)誤.故選C.3.(2017浙江嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)=ln|x|,g(x)=-x2+3,則f(x)g(x)的圖象為()答案C4.(2018嘉興一模)已知a為實(shí)數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)=x-2a,x<2,log2(x-2),x2,則f(2a+2)的值為()A.2aB.aC.2D.a或2答案B解析因?yàn)?a+2>2,所以f(2a+2)=log2(2a+2-2)=a,故選B.5.(2018全國(guó)1)設(shè)函數(shù)f(x)=2-x,x0,1,x>0,則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是()A.(-,-1B.(0,+)C.(-1,0)D.(-,0)答案D解析畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖可知:當(dāng)x+10且2x0,即x0時(shí),f(2x)=f(x+1),不滿足題意;當(dāng)x+1>0且2x<0,即-1<x<0時(shí),f(x+1)<f(2x)顯然成立;當(dāng)x+10時(shí),x-1,此時(shí)2x<0,若f(x+1)<f(2x),則x+1>2x,解得x<1.故x-1.綜上所述,x的取值范圍為(-,0).6.(2017天津高考)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).若a=-flog215,b=f(log24.1),c=f(20.8),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b答案C解析由題意:a=f-log215=f(log25),且log25>log24.1>2,1<20.8<2,據(jù)此:log25>log24.1>20.8,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有:f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c,c<b<a,本題選擇C選項(xiàng).7.已知函數(shù)f(x)=ln1+x1-x+sin x,則關(guān)于a的不等式f(a-2)+f(a2-4)<0的解集是()A.(3,2)B.(-3,2)C.(1,2)D.(3,5)答案A8.(2017浙江湖州高三考試)已知f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=log12(x+1),0x<1,1-|x-3|,x1,則函數(shù)y=f(x)+12的所有零點(diǎn)之和是()A.1-2B.2-1C.5-2D.2-5答案B解析當(dāng)x1時(shí),則1-|x-3|+12=0,解得x=92,或x=32,當(dāng)0x<1時(shí),則log12(x+1)+12=0,解得x=2-1,f(x)為奇函數(shù),當(dāng)-1<x<0時(shí),f(x)=-log12(-x+1),則-log12(-x+1)+12=0,解得x=1-22(舍去),當(dāng)x-1時(shí),f(x)=-1+|x+3|,則-1+|x+3|+12=0,解得x=-72或x=-52,故所有的零點(diǎn)之和為92+32+2-1-72-52=2-1.故選B.9.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在0,+)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)B.F(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)C.F(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)D.F(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)答案A10.(2017浙江寧波大學(xué))已知函數(shù)f(x)=x+2bx+a,xa,+),其中a>0,bR,記m(a,b)為f(x)的最小值,則當(dāng)m(a,b)=2時(shí),b的取值范圍為()A.b>13B.b<13C.b>12D.b<12答案D解析函數(shù)f(x)=x+2bx+a,xa,+),導(dǎo)數(shù)f(x)=1-2bx2,當(dāng)b0時(shí),f(x)>0,f(x)在xa,+)遞增,可得f(a)取得最小值,且為2a+2ba,由題意可得2a+2ba=2,a>0,b0方程有解;當(dāng)b>0時(shí),由f(x)=1-2bx2=0,可得x=2b(負(fù)的舍去),當(dāng)a2b時(shí),f(x)>0,f(x)在a,+)遞增,可得f(a)為最小值,且有2a+2ba=2,a>0,b>0,方程有解;當(dāng)a<2b時(shí),f(x)在a,2b)遞減,在(2b,+)遞增,可得f(2b)為最小值,且有a+22b=2,即a=2-22b>0,解得0<b<12.綜上可得b的取值范圍是-,12.故選D.二、填空題(本大題共7小題,多空題每小題6分,單空題每小題4分,共36分.將答案填在題中橫線上)11.(2017浙江溫州九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=log3x,x>0,x2+2x,x0,則ff13=,函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是答案-1-2,1,0解析函數(shù)f(x)=log3x,x>0,x2+2x,x0,f13=log313=-1,ff13=f(-1)=(-1)2+2(-1)=-1.當(dāng)x>0時(shí),y=f(x)=log3x,由y=0,解得x=1,當(dāng)x0時(shí),y=f(x)=x2+2x,由y=0,得x=-2或x=0.函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是-2,1,0.12.(2018嘉興一中高三9月基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試)設(shè)函數(shù)f(x)=3x-1,x<1,2x,x1,則ff23=;若f(f(a)=1,則實(shí)數(shù)a的值為.答案259解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3x-1,x<1,2x,x1,所以f23=2-1=1,ff23=f(1)=2.由f(f(a)=1,可知當(dāng)a<23時(shí),1=f(3a-1)=3(3a-1)-1,解得a=59;當(dāng)a1時(shí),2a>1,f(f(a)=1不成立;當(dāng)23a<1,f(f(a)=1,23a-1=1,解得a=13(舍去),綜上a=59.13.(2017浙江溫州模擬)設(shè)f(x)=2ex-1,x<2,log3(x2-1),x2,則f(f(1)=,不等式f(x)>2的解集為.答案1(1,2)(10,+)解析因?yàn)閒(1)=2e0=2,所以f(f(1)=f(2)=log3(4-1)=1;當(dāng)x<2時(shí),2ex-1>2ex-1>1x>1,則1<x<2;當(dāng)x2時(shí),則log3(x2-1)>2x2-1>9,即x2>10x>10;綜上不等式的解集是(1,2)(10,+).故應(yīng)填答案1,(1,2)(10,+).14.(2017浙江紹興期中)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x>0時(shí),f(x)=x2,則x<0時(shí),f(x)=,若對(duì)任意的xt,t+2,f(x+t)2f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.答案-x22,+)解析f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2,當(dāng)x<0,有-x>0,f(-x)=(-x)2,f(x)=-f(-x)=-x2.f(x)=x2,x>0,-x2,x<0,f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),且滿足2f(x)=f(2x),f(x+t)2f(x)=f(2x),又函數(shù)在定義域R上是增函數(shù),故問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)xt,t+2時(shí),x+t2x恒成立(2-1)x-t0恒成立,令g(x)=(2-1)x-t,g(x)max=g(t+2)0,解得t2.t的取值范圍為t2,故答案為:-x2;2,+).15.(2018金麗衢十二校第二次聯(lián)考)若f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x(1-x),則當(dāng)x<0時(shí),f(x)=;方程5f(x)-1f(x)+5=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為.答案-x(1+x)6個(gè)解析設(shè)x<0,則-x>0,則f(-x)=-x(1+x),又f(-x)=f(x),所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x(1+x).方程5f(x)-1f(x)+5=0知f(x)=15或f(x)=-5,x(1-x)=15(x>0)有2個(gè)根,x(1-x)=-5(x>0)有1個(gè)根,又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以方程5f(x)-1f(x)+5=0共有6個(gè)根.16.已知函數(shù)f(x)=1x+2-m|x|有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.答案m>1解析函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程1x+2=m|x|有且僅有三個(gè)實(shí)根.當(dāng)m=0時(shí),不合題意,舍去;當(dāng)m0時(shí),1x+2=m|x|1m=|x|(x+2),作函數(shù)y=|x|(x+2)的圖象,如圖所示,由圖象可知m應(yīng)滿足0<1m<1,解得m>1.17.(2018寧波鎮(zhèn)海中學(xué)高三上期中)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|-3x+a,aR,若關(guān)于x的方程f(x)=2有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,且它們成等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值構(gòu)成的集合為.答案-95,5+3338解析f(x)=|x-a|-3x+a=x-3x,xa,-x-3x+2a,x<a,由x-3x=2,解得x=-1或3,當(dāng)a-1時(shí),xa時(shí)f(x)=2的兩個(gè)根為-1或3,因?yàn)榉匠蘤(x)=2有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,且它們成等差數(shù)列,所以另一個(gè)根為-5,即-5<a且5+35+2a=2,解得a=-95,滿足題意;當(dāng)-1<a3時(shí),x<a時(shí)f(x)=2有兩根,設(shè)為x1,x2,xa時(shí)f(x)=2有一根為3,且有x1+3=2x2.-x-3x+2a=2,即x2-(2a-2)x+3=0的兩根為x1,x2.有x1+x2=2a-2,x1x2=3,解得a=53338,因?yàn)?1<a3,所以a=5+3338;當(dāng)a>3時(shí),f(x)=2最多有兩個(gè)根,不符合題意.綜上實(shí)數(shù)a的取值構(gòu)成的集合為-95,5+3338.三、解答題(本大題共5小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)18.(14分)函數(shù)f(x)=log2(4x)log2(2x),14x4.(1)若t=log2x,求t的取值范圍;(2)求f(x)的最值,并給出取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.解(1)t=log2x,14x4,log214tlog24,即-2t2.(2)f(x)=(log2x)2+3log2x+2,令t=log2x,則y=t2+3t+2=t+322-14,當(dāng)t=-32,即log2x=-32,x=2-32時(shí),f(x)min=-14.當(dāng)t=2,即x=4時(shí),f(x)max=12.19.(15分)(2017浙江杭州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2-kx.(1)若k=2時(shí),求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最小值;(2)若f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(1)k=2時(shí),f(x)=2x2-2x-1,x>1或x<-1,1-2x,-1x1.所以f(x)在(-,1)單調(diào)遞減,在(1,+)單調(diào)遞增,f(x)min=f(1)=-1.(2)f(x)=2x2-kx-1,x<-1或x>1,1-kx,-1x1.當(dāng)-1x1時(shí),由f(x)0恒成立得-1k1;當(dāng)x>1時(shí),由f(x)0恒成立得k2x-1x恒成立,解得k1;當(dāng)x<-1時(shí),由f(x)0恒成立得k2x-1x恒成立,解得k-1.綜上,-1k1.20.(15分)某校學(xué)生研究性學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn),學(xué)生上課的注意力指標(biāo)隨著聽(tīng)課時(shí)間的變化而變化,老師講課開(kāi)始時(shí),學(xué)生的興趣激增;接下來(lái)學(xué)生的興趣將保持較理想的狀態(tài)一段時(shí)間,隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散.設(shè)f(t)表示學(xué)生注意力指標(biāo),該小組發(fā)現(xiàn)f(t)隨時(shí)間t(分鐘)的變化規(guī)律(f(t)越大,表明學(xué)生注意力越集中)如下:f(t)=100at10-60(0<t10),340(10<t20),-15t+640(20<t40)(a>0,a1),若上課后第5分鐘時(shí)的注意力指標(biāo)為140,回答下列問(wèn)題:(1)求a的值.(2)上課后第5分鐘時(shí)和下課前第5分鐘比較,哪個(gè)時(shí)間注意力更集中?(3)在一節(jié)課中,學(xué)生的注意力指標(biāo)至少達(dá)到140的時(shí)間能保持多長(zhǎng)?解(1)當(dāng)t=5時(shí),f(5)=100a510-60=140,解得a=4.(2)f(5)=140,f(35)=115,所以,上課開(kāi)始后第5分鐘學(xué)生的注意力比下課前第5分鐘注意力更集中.(3)當(dāng)0<t10時(shí),函數(shù)y=1004t10-60為增函數(shù),且f(5)=140,所以5t10時(shí)滿足題意;當(dāng)20<t40時(shí),令f(t)=-15t+640140,解得20<t1003.則學(xué)生的注意力指標(biāo)在140以上所持續(xù)的時(shí)間為1003-5=853(分鐘).21.(15分)(2017浙江溫州模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式2xf(x)12(x+1)2恒成立,(1)求f(-1)的取值范圍;(2)對(duì)任意x1,x2-3,-1,恒有|f(x1)-f(x2)|1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意可知f(1)2,f(1)2,f(1)=2,a+b+c=2,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)2x,即ax2+(b-2)x+c0恒成立,a>0,(b-2)2-4ac0,由a+b+c=2,a=c,b=2-2a.此時(shí)f(x)-12(x+1)2=a-12(x-1)2,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x)12(x+1)2成立,0<a12,f(-1)=a-b+c=4a-2的取值范圍是(-2,0.(2)對(duì)任意x1,x2-3,-1都有|f(x1)-f(x2)|1等價(jià)于在-3,-1上的最大值與最小值之差M1,由(1)知f(x)=ax2+2(1-a)x+a,a0,12,即f(x)=ax-a-1a2+2-1a,對(duì)稱軸:x0=1-1a(-,-1據(jù)此分類討論如下:當(dāng)-2<x0-1,即13<a12時(shí),M=f(-3)-f(x0)=16a+1a-819-1732a9+173213<a9+1732.當(dāng)-3<x0-2,即14<a13時(shí),M=f(-1)-f(x0)=4a+1a-41恒成立.當(dāng)x0-3,即0<a14時(shí),M=f(-1)-f(-3)=4-12a1a=14.綜上可知,14a9+1732.22.(15分)已知f(x)=x2+ax+1-a(x0),f(x+2)(x<0).(1)若a=-8,求當(dāng)-6x5時(shí),|f(x)|的最大值;(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1(x13),存在x2(x2x1),使得f(x2)=f(x1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)a=-8時(shí),f(x)=x2-8x+9,x0,f(x+2),x<0.當(dāng)-6x<0時(shí),存在0t<2,使f(x)=f(t),從而只要求當(dāng)0x5時(shí)|f(x)|的最大值,而f(x)=x2-8x+9=(x-4)2-7,-7f(x)9;則|f(x)|9.故|f(x)|的最大值為9.(2)當(dāng)x1<2時(shí),取x2=x1-2,則f(x2)=f(x1-2)=f(x1),符合題意.只要考慮2x13,存在x2(x2x1),使得f(x2)=f(x1).當(dāng)-a20,即a0時(shí),f(x)=x2+ax+1-a在0,+)上單調(diào)遞增,故不存在x2(x2x1),f(x2)=f(x1).當(dāng)0<-a2<2,即-4<a<0時(shí),則只要f(3)f(0),即10+2a1-a,從而解得-4<a-3.當(dāng)2-a23,即-6a-4時(shí),取x1=-a2時(shí),不存在x2(x2x1),使f(x2)=f(x1).當(dāng)-a2>3,即a<-6時(shí),取x2=-a-x1>3,必有f(x2)=f(x1),符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a<-6或-4<a-3.