第14練空間點、線、面的位置關(guān)系明晰考情1.命題角度：空間線面關(guān)系的判斷；空間中的平行、垂直關(guān)系.2.題目難度：中檔難度.考點一空間線面位置關(guān)系的判斷方法技巧(1)判定兩直線異面的方法反證法；利用結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.(2)模型法判斷線面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長方體、四面體等觀察線面關(guān)系，再結(jié)合定理進(jìn)行判斷.(3)空間圖形中平行與垂直的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，要掌握以下的常用結(jié)論平面圖形的平行關(guān)系：平行線分線段成比例、平行四邊形的對邊互相平行；平面圖形中的垂直關(guān)系：等腰三角形的底邊上的中線和高重合、菱形的對角線互相垂直、圓的直徑所對圓周角為直角、勾股定理.1.已知直線a與平面，a，點B，則在內(nèi)過點B的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一一條與a平行的直線答案D解析在平面內(nèi)過一點，只能作一條直線與已知直線平行.2.下列說法正確的是()A.若直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則lB.若直線a在平面外，則aC.若直線ab，直線b，則aD.若直線ab，b，那么直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線答案D解析A錯誤，直線l還可以在平面內(nèi)；B錯誤，直線a在平面外，包括平行和相交；C錯誤，a還可以與平面相交或在平面內(nèi).故選D.3.(2017全國)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交；B項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；C項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；D項，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故選A.4.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為_.答案垂直解析連接BO，AO平面BB1C1C，B1C平面BB1C1C，AOB1C.又側(cè)面BB1C1C為菱形，B1CBO，又AOBOO，AO，BO平面ABO，B1C平面ABO.AB平面ABO，B1CAB.考點二空間角的求解方法技巧(1)對于兩條異面直線所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置.(2)直線和平面所成的角的求解關(guān)鍵是找出或作出過斜線上一點的平面的垂線，得到斜線在平面內(nèi)的射影.5.(2018全國)在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角.連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故選C.6.已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若AB2，CD4，EFAB，則EF與CD所成的角的大小為()A.90B.45C.60D.30答案D解析設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為ABD，ACD的中位線.由此可得GFAB，且GFAB1，GECD，且GECD2，F(xiàn)EG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成的角.又EFAB，GFAB，EFGF.因此，在RtEFG中，GF1，GE2，sinGEF，又GEF為銳角，GEF30.EF與CD所成的角的大小為30.7.已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，AD的中點，則直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是()A.B.C.D.答案B解析連接AE，BD，過點F作FHBD交BD于H，連接EH，則FH平面BDD1B1，F(xiàn)EH是直線EF和平面BDD1B1所成的角.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是棱BB1，AD的中點，在RtDFH中，DF1，F(xiàn)DH45，可得FHDF.在RtAEF中，AF1，AE，可得EF.在RtEFH中，sinFEH，直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是.8.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，點D在棱BB1上，若BD3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為()A.B.C.D.答案B解析如圖，取AC的中點E，連接BE，可得()421252cos(為與的夾角)，所以cos，sin，又因為BE平面AA1C1C，所以所求角即為，所以tan.考點三空間線、面關(guān)系的綜合問題方法技巧解決與翻折有關(guān)的問題的兩個關(guān)鍵(1)要明確翻折前后的變化量和不變量.一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化.(2)在解決問題時，要比較翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形.9.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為()A.64B.62C.34D.32答案A解析正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，DD1的中點，EFAD1BC1.EF平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，EF平面BCC1B1.由正方體的棱長為4，可得截面是以BEC1F2為腰，EF2為上底，BC12EF4為下底的等腰梯形，故周長為64.10.如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知ADE是ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形(點A不與點F重合)，則下列命題中正確的是()動點A在平面ABC上的射影在線段AF上；BC平面ADE；三棱錐AFED的體積有最大值.A.B.C.D.答案C解析中由已知可得平面AFG平面ABC，所以點A在平面ABC上的射影在線段AF上.BCDE，根據(jù)線面平行的判定定理可得BC平面ADE.當(dāng)平面ADE平面ABC時，三棱錐AFED的體積達(dá)到最大，故選C.11.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；PDA45.正確的為_(把所有正確的序號都填上).答案解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六邊形的性質(zhì)得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，PB平面PAB，PBAE，正確；由正六邊形的性質(zhì)計算可得PAAD，故PAD是等腰直角三角形，PDA45，正確.12.等腰直角三角形BCD的腰長為2，將平面BCD沿斜邊BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如圖所示，O為BD的中點，若AC2，則三棱錐ABCD的體積為_.答案解析由題意知，ABADCBCD2，從而根據(jù)等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AOCO，又AC2，所以在AOC中，AC2AO2CO2，所以AOCO.因為AO是等腰直角三角形ABD斜邊上的中線，所以AOBD.因為COBDO，CO，BD平面BCD，所以AO平面BCD，則其體積為22.1.，是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定的是()A.，都平行于直線l，mB.內(nèi)有三個不共線的點到的距離相等C.l，m是內(nèi)的兩條直線且l，mD.l，m是兩條異面直線且l，m，l，m答案D解析對于A，l，m應(yīng)相交；對于B，應(yīng)考慮三個點在的同側(cè)或異側(cè)兩種情況；對于C，l，m應(yīng)相交，故選D.2.已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，下列說法正確的是()A.若m，n，則mnB.若m，n，則mnC.若m，mn，則nD.若m，mn，則n答案B解析對于A，m，n還可能異面、相交，故A不正確；對于C，n還可能在平面內(nèi)，故C不正確；對于D，n可能平行于平面，還可能在平面內(nèi)，故D不正確；對于B，由線面垂直的定義可知正確.3.(2018長沙模擬)如圖所示，在直角梯形BCEF中，CBFBCE90，A，D分別是BF，CE上的點，ADBC，且ABDE2BC2AF(如圖1).將四邊形ADEF沿AD折起，連接AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過程中，下列說法錯誤的是()A.AC平面BEFB.B，C，E，F(xiàn)四點不可能共面C.若EFCF，則平面ADEF平面ABCDD.平面BCE與平面BEF可能垂直答案D解析A選項，連接BD，交AC于點O，取BE的中點M，連接OM，F(xiàn)M，則四邊形AOMF是平行四邊形，所以AOFM，因為FM平面BEF，AC平面BEF，所以AC平面BEF；B選項，若B，C，E，F(xiàn)四點共面，因為BCAD，所以BC平面ADEF，又BC平面BCEF，平面BCEF平面ADEFEF，所以可推出BCEF，又BCAD，所以ADEF，矛盾；C選項，連接FD，在平面ADEF內(nèi)，由勾股定理可得EFFD，又EFCF，F(xiàn)DCFF，所以EF平面CDF，所以EFCD，又CDAD，EF與AD相交，所以CD平面ADEF，所以平面ADEF平面ABCD；D選項，延長AF至G，使AFFG，連接BG，EG，可得平面BCE平面ABF，且平面BCE平面ABFBG，過F作FNBG于N，則FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.解題秘籍線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型(如長方體、正四面體等)或?qū)嵗?，以定理的結(jié)論為依據(jù)進(jìn)行推理，而不能主觀猜想.1.已知直線a平面，則“直線a平面”是“平面平面”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線a平面，直線a平面，可得平面平面；若平面平面，又直線a平面，那么直線a平面不一定成立.如正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD平面BCC1B1，直線AD平面BCC1B1，但直線AD平面ABCD；直線AD1平面BCC1B1，但直線AD1與平面ABCD不垂直.綜上，“直線a平面”是“平面平面”的充分不必要條件.2.如圖，在三棱錐PABC中，不能得出APBC的條件是()A.APPB，APPCB.APPB，BCPBC.平面PBC平面APC，BCPCD.AP平面PBC答案B解析A中，因為APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC.又BC平面PBC，所以APBC，故A可以得出APBC；C中，因為平面BPC平面APC，且平面BPC平面APCPC，BCPC，BC平面PBC，所以BC平面APC.又AP平面APC，所以PABC，故C可以得出APBC；D中，由A知D可以得出APBC；B中條件不能得出APBC，故選B.3.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出四個命題：若m，n，nm，則；若m，m，則；若m，n，mn，則；若m，n，mn，則.其中正確的命題是()A.B.C.D.答案B解析兩個平面斜交時也會出現(xiàn)一個平面內(nèi)的直線垂直于兩個平面的交線的情況，不正確；垂直于同一條直線的兩個平面平行，正確；當(dāng)兩個平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時，它們所成的二面角為直二面角，故正確；當(dāng)兩個平面相交時，分別與兩個平面平行的直線也平行，故不正確.4.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部答案A解析由ACAB，ACBC1，ABBC1B，得AC平面ABC1.因為AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.5.在如圖所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點，直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.在平面內(nèi)答案A解析取AD1的中點O，連接OE，OF，則OF平行且等于BE，四邊形BFOE是平行四邊形，BFEO.BF平面AD1E，OE平面AD1E，BF平面AD1E.6.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結(jié)論：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C與PM相交；NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是()A.B.C.D.答案B解析作出過M，N，P，Q四點的截面交C1D1于點S，交AB于點R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點A1，C分別位于這個平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論不正確.7.空間四邊形ABCD中，ABCD，ADBC，ABAD，M，N分別是對角線AC與BD的中點，則MN與()A.AC，BD之一垂直B.AC，BD都垂直C.AC，BD都不垂直D.AC，BD不一定垂直答案B解析連接AN，CN，ADBC，ABCD，BDBD，ABDCDB，則ANCN.在等腰ANC中，由M為AC的中點知MNAC.同理可證MNBD.故選B.8.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論：直線BE與直線CF異面；直線BE與直線AF異面；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確的有()A.1個B.2個C.3個D.4個答案B解析將展開圖還原為幾何體(如圖)，因為E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，所以EFADBC，即直線BE與CF共面，錯；因為B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE與AF是異面直線，正確；因為EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，錯.故選B.9.如圖，已知在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是_.答案平行解析在PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DEAB.又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE平面ABC.同理可證EF平面ABC.又DEEFE，DE，EF平面DEF，所以平面DEF平面ABC.10.(2018全國)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_.答案8解析在RtSAB中，SASB，SSABSA28，解得SA4.設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h，在RtSAO中，SAO30，所以r2，h2，所以圓錐的體積Vr2h(2)228.11.(2016全國)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么；如果m，n，那么mn；如果，m，那么m；如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有_.(填寫所有正確命題的序號)答案解析當(dāng)mn，m，n時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故錯誤，n，過直線n作平面與平面交于直線c，則nc.m，mc，mn，故正確.，m，由兩個平面平行的性質(zhì)可得m，故正確.mn，由線面角的定義和等角定理可得m與所成的角和n與所成的角相等，故正確.經(jīng)判斷知均正確.12.空間四邊形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，BCD90，且ABAD，則AC與平面BCD所成的角是_.答案45解析如圖所示，取BD的中點O，連接AO，CO.因為ABAD，所以AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，所以AO平面BCD.因此，ACO即為AC與平面BCD所成的角.由于BAD90BCD，所以AOOCBD，又AOOC，所以ACO45.